1、广东省广州市执信中学 2015 届高三上学期期中考试数学（理）试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共 10 页，满分为 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用 2B 铅笔将自己的 学号填涂在答题卡上。2、选择题每小题选出答案后，有 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。3、非选择题必须用 黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答
2、案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。第一部分选择题(共 40 分)一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若集合 ，且 ，则集合 可能是（ ）0|xABAA B C D 2, 1|1,0R2下列说法正确的是（ ）A命题“若 x21，则 x1”的否命题为“ 若 x21，则 x1”B命题“ x0， x2 x10” 的否定是“ x00， x x010”20C命题“若 x y，则 sin xsin y”的逆否命题为假命题D若“ ”为真命题，则 p， q
3、 中至少有一个为真命题qp3 已知数列 为等差数列，公差 ， 为其前 n 项和.若 ，则 =（ na2dnS10S1a）A B C D1820244将正方形（如图 1 所示）截去两个三棱锥，得到图 2 所示的几何体，则该几何体的左视图为（） D.C.B.A.5 在 中，已知 ,则 的面积是（ ）C30,4,3BAACA B C 或 D 34883左1 11111DAABBDCC CDBBADFA EDBC6设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 （ ）1xy)2,3( 01yaxaA B C D2 227 在 中，点 在 上，且 ，点 是 的中点，若 ，C PPQA4,3PA，则 （ ）1,5
4、PQA B C D26,212,76,218已知函数 )0(,)(xfx,把函数 的零点按从小到大的顺)(f xfxg)(序排列成一个数列,则该数列的通项公式为（ ）A 2)1(naB 1na C )1(naD 2na 第二部分非选择题(共 110 分)二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（一）必做题（9 13 题）9 已知复数 i1iab（其中 ,abR， i是虚数单位） ，则 ab的值为 10若 ，则常数 T 的值为_920dxT11 设 满足约束条件 ,则 的最大值是 ,y021yx2zxy12已知 的展开式中第 5 项的系数与第 3 项的nx系数比为 56：3
5、 ， 则 13如图，在平面直角坐标系 中，点 A 为椭圆xoyE ： 的左顶点，B、C 在椭圆上，21(0)xyaba若四边形 OABC 为平行四边形，且OAB30，则椭圆 E 的离心率等于 （二）选做题（14 15 题，考生只能从中选做一题）14在极坐标系中,曲线 与 的公共点到极点的距离为 _cos1cs15如图,已知圆中两条弦 与 相交于点 ,ABCDF是 延长线上一点,且 ,EAB2C y x OA B,若 与圆相切, 1:24:BEFACE则线段 的长为 C三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（本小题满分 13 分）已知函数 1
6、()sinco)s2fxxx（）用五点作图法列表，作出函数 在 上的图象简图(f,0（）若 ， ，求 的值3()265f2in)417 （本小题满分 14 分）在三棱柱 ABCA1B1C1 中，已知 ，51AC，4BC在底面 的射影是线段 的中点 1AO（）证明：在侧棱 上存在一点 ，1AE使得 平面 ，并求出 的长；OECB（II）求二面角 的余弦值1118 （本小题满分 14 分）袋中装着标有数学 1，2，3 ，4，5 的小球各 2 个，从袋中任取 3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用 表示取出的 3 个小球上的最大数字，求：（）取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率；（）随机变量
7、 的概率分布和数学期望；19 （本小题满分 12 分）已知 ，点 在函数 的图像上，其21a1,naxf2)(中 *Nn（）证明：数列 是等比数列；)lg(n（）设 ，求)1(12nn aaT nT（）记 ，求数列 的前项和nnbbS111A CBBCA O20 （本小题满分 13 分）已知椭圆 1:C2(0)xyab的离心率为63e，过1C的左焦点 1F的直线 :0lxy被圆222:3(0)yr截得的弦长为 2.（）求椭圆 1的方程；（）设 1C的右焦点为 2F，在圆 2C上是否存在点 P，满足21aFPb,若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）;若不存在，说明理由.21 （本小题满
8、分 14 分）设函数 .lnln0,kxaf xa且 为 常 数（）当 时，判断函数 的单调性，并加以证明；1kfx（）当 时，求证： 对一切 恒成立；00（）若 ，且 为常数，求证： 的极小值是一个与 无关的常数.kfxa班级：_姓名：_学号：_O密O封 O线O2014-2015 学 年 度 第 一 学 期高三级理科数学期中考试答卷注意事项：1、本答卷为第二部分非选择题答题区。考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在各题目指定区域内的相应位置上答题，超出指定区域的答案无效。2、如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。题号 选择题 填空题16
9、 17 18 19 20 21 总分得分二、填空题9 ； 10 ； 11 ；12 ； 13 ； 14 ； 15 ；三、解答题16 （本小题满分 13 分）17 （本小题满分 14 分）111A CBBCA OO18 （本小题满分 14 分） 19 （本小题满分 12 分）20 （本小题满分 13 分）21 （本小题满分 14 分）期中考试答案：1-8 ADBB CDBB9.2 10.3 11.5 12.10 13. 14. 32 251(2) 3()sin2()sin()cos.6625f40,.2527siicos,coss1.27in()(in)45017. 解 ： （本题满分 14 分）
10、()证明:连接 AO,再 中,作 于点 E,因为 ,所以 ,1AO1EA1/AB1OEB因为 ,所以 ,所以 ,所以1ABC平 面 O平 面 C1OEBC平 面又 得 .21,5,AA215AOE()如图,分别以 OA,OB, 所在直线为 x,y,z 轴1O,建立空间直角坐标系,则 ,(0)1(02),(,),2BCA由 ,得点 E 的坐标是 ,15AE4()5由()知平面 的一个法向量为 2(0)5O设平面 的法向量是 ,1BC()nxyz由 得 可取 ,10nA20yz(21)所以 .3cos,OEn18.（本小题满分 14 分）解() 一次取出的 3 个小球上的数字互不相同的事件记为 A
11、,一次取出的 3 个小球上有两个数字相同的事件记为 B，则事件 A 和 B 是对立事件。, 1)(308215CBP32)(1)(P答：一次取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率为 .5 分（2）由题意 5,42, 301)(3102CP 152)3(310424CP)4(3102626 8)5(310228所以随机变量 的概率分布列为2 3 4 5P 301152103158.14 分38452E19.（本题满分 12 分） 解：（）由已知 ， ，两边取对21nna21()na1a1n数得，即 是公比为 2 的等比数列.1lg()lg()nn 1lg()nlg()n（）由（）知 （* ）1
12、1l2l()naa 1122l3nn13na=1()nT+01n-12n-1+2-由（* ）式得 123n（） 210nna1()na11()2nnaa1nn又 2nnba1()nnba12nS+1231( )na+12()na1213,3n naa2nnS20. （本题满分 13 分）解：（1）因为直线 l的方程为 :20lxy，令 y，得2x，即 1(,0)F 1 分 c ，又63cea， 2 ， 22bac 椭圆 1C的方程为21:xy.分（2 ）存在点 P，满足21aFPb 圆心 2(3,)C到直线 :20lxy的距离为32d，又直线 :0lxy被圆 610Cxym截得的弦长为 2，由
13、垂径定理得2()2lrd，故圆 2C的方程为22:34xy.分设圆 2上存在点 (,)P，满足21aFPb即 123F，且 12,F的坐标为1(,0)F，则223()xyxy， 整理得259()4，它表示圆心在5(,0)2C，半径是32的圆。 222 37(3)(0)C分故有 2，即圆 C与圆 2相交，有两个公共点。圆 2C上存在两个不同点 P，满足 12aFPb.分21. （本题满分 14 分） （1）当 时，k axaxf ln1ln)(212，所以函数 在 上是单022)( 23xxaxf )(f,0调减函数（2 ）当 时，0kaxflnln)(21，令 ，则axf21)( 30)(xf4a所以函数 在 上是单调减函数，在 上是单调增函数)(f4,0,所以当 时，函数 取得最小值，最小值为4ax)(xf 02lnl2)4(eaf所以 恒成立0)(f（3 ） ，axakxf lnln2121xkxf21)( 231令 ，得 ， ，0f 0axk舍 去 ）kax1(10020)(k所以函数 在 上是单调减函数，在 上是单调增函数xf0, ,0x所以 ，而 是与 无关的常数，00ln)(xakaf 2)1(ka所以 的极小值是一个与 无关的常数.fx
