1、1PvxyAOMT 高中数学必修 4 复习资料正 角 :按 逆 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角1、 任 意 角 负 角 按 顺 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角零 角 :不 作 任 何 旋 转 形 成 的 角2、角 的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角x 第一象限角的集合为 二象限36090,kkk 360936018,kkk第三象限 第四象限1827 27终边在 轴上的角的集合为 终边在 轴上的角的集合为x18,ky9,kk终边在坐标轴上的角的集合为 903、与角 终边相同的角的集合为36,k4、已知 是第几象限角，确定 所在象限
2、的方法：先把各象限均分 等份，再从 轴的正半轴的上*nnx方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则 原来是第几象限对应的标号即为 终边所落在的区域5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 弧度16、半径为 的圆的圆心角 所对弧的长为 ，则角 的弧度数的绝对值是 rllr7、弧度制与角度制的换算公式： ， ， 236018057.38、若扇形的圆心角为 ，半径为 ，弧长为 ，周长为 ，面积为 ，则 ，为 弧 度 制 rlCSlr， 2Crl21Slr9、设 是一个任意大小的角， 的终边上任意一点 的坐标是 ，它与原点的距离是,xy，则 ， ， 20rxysinyrcosxrtan010、三角函数在
3、各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正11、三角函数线： ， ， sistA12、同角三角函数的基本关系： 221inco1；22sin1cos,ssitaniita,tan 213、三角函数的诱导公式：（ 口诀：奇变偶不变，符号看象限 ）， ， 1sin2sinkco2cosktan2tankk， ， ， ， 3sisicsstata， ， 4noconn， 5sics2si2， 6inoin14、函数 的图象上所有点向左（右）平移 个单位长度，得到函数 的图象；再将函siyxsinyx数 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 倍（纵坐标不变
4、） ，得到函数n 1的图象；再将函数 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的 倍siyxsinyx A（横坐标不变） ，得到函数 的图象A函数 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 倍（纵坐标不变） ，得到函数sinyx 1的图象；再将函数 的图象上所有点向左（右）平移 个单位长度，得到函数isinyx的图象；再将函数 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的 倍sinyxi A（横坐标不变） ，得到函数 的图象snyxA函数 的性质：si0,yx振幅： ；周期： ；频率： ；相位： ；初相： A212fx函数 ，当 时，取得最小值为 ；当 时，取得最大值为 ，则sinyx1xmi
5、ny2maxy， ， mai12main2y212xx315、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyxcosyxtanyx图象定义域 RR,2xk值域 1,1,R最值当 时，2xk；当 may2时， kmin1y当 时， xk；当may2时， kmin1y既无最大值也无最小值周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数单调性在 2,2k上是增函数；在32,2k上是减函数在 上是,2kk增函数；在 上是减函数k在 ,2k上是增函数对称性对称中心 ,0k对称轴 2x对称中心 ,02kk对称轴 x对称中心 ,02k无对称轴16、向量：既有大小，又有方向的量 数量：只有大小，没有方向的量有向线段
6、的三要素：起点、方向、长度零向量：长度为 的向量 单位向量：长度等于 个单位的向量01平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等且方向相同的向量17、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连函 数性质4平行四边形法则的特点：共起点三角形不等式： abab运算性质：交换律： ；结合律： ； abcc0aa坐标运算：设 ， ，1,xy2,xy则 12ab18、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运算：设 ， ，1,xy2,bxy则 12ab设 、 两点的坐标分别为 ， ，则 A1,xy2,12,xyA19、向量数乘运算：实数
7、 与向量 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 a a ；当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；当 时， 000a运算律： ； ； aaab坐标运算：设 ，则 ,xy ,xy20、向量共线定理：向量 与 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 0b a设 ， ，其中 ，则当且仅当 时，向量 、 共线1,axy2,bxy 1210xy0b21、平面向量基本定理：如果 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，1e2 a有且只有一对实数 、 ，使 （不共线的向量 、 作为这一平面内所有向量的一组基底）122ae1e222、分点坐标公式：设点 是线段
8、 上的一点， 、 的坐标分别是 ， ，当12121,xy2,时，点 的坐标是 12 ,xy23、平面向量的数量积： 零向量与任一向量的数量积为 cos0,180abab 0b a C AaC5性质：设 和 都是非零向量，则 当 与 同向时， ；当 与 反向ab0abababab时， ； 或 2运算律： ； ； cc坐标运算：设两个非零向量 ， ，则 1,axy2,bxy12abxy若 ，则 ，或 ,axy22设 ， ，则 12,bxy120xy设 、 都是非零向量， ， ， 是 与 的夹角，则1,a,bab122cosxyab24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ； ；cscossin c
9、oscossin ； ；inicinic （ ） ；tata1nttanta1ta （ ） ttnatttntn25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：(1) （2） (3)si2icos 2tant1(4) （ ， ） 2 2coincs1sin2cos2cosi26、 ，其中 2sincsiAAtaA基础训练题一选择题 1、下列角中终边与 330相同的角是（ ）A30 B-30 C630 D-6302、角 的终边落在区间（3, ）内,则角 所在象限是 （ ）52A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3、已知角 的终边过点 P（1,2）,cos 的值为 （ ）2i(i)62572518
10、2572518A B C D55 2254、如果 则 的取值范围是 （ ）).cos(| xA B)(2,2 Zkk )()23,2( ZkkC D3,5、函数 的图象可看作是函数 的图象，经过如下平移得到的，其中正确的是（ ）.)x2sin(y x2sin3yA.向右平移 个单位 B.向左平移 个单位 C.向右平移 个单位 D.向左平移 个单位3666、与函数 图象不相交的一条直线是（ ）.ta()4yx的A B C D2x28x8y7、 是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是 （ ）Asin Bcos Ctan D tan18、已知 sincos = ,则 cossin 的值等于 （ ）
11、18A B C D34 23239、如果角 满足 ,那么 的值是 （ ）cosin1tanA B C D110、sin cos tan 的值是（ ）346254A B C D3434311、已知 那么 （ ）,)15tan(192sinA B C D2|2a21a21a12、已知 ，那么 的值为 （ ）3sin)co(s)si(cosA. B. C. D. 13、 的值是（ ）)4ta)(0ta)(tan1( oooA.2 B.4 C.8 D.16714、函数 的定义域为（ ）.sintayxA B ,22Zkkx ,2,22 ZkxZkxk C. D 且| 二填空题15、函数 的周期是_.)
12、42sin(xy16、与 1991终边相同的最小正角是_,绝对值最小的角是_17、若 ，则 的值为_3ta33cossin18、已知 sin tan 0，则 的取值集合为 19、函数 的图象的对称轴方程是 )32sin(xy20、函数 的最小正周期是 ta121、已知 sin+cos (0 ，则 cos2 的值为 2)22、记 ， （ 、 、 、 均为非零实数） ，4cos()sin()( xbxaxf ab若 ，则 = 09210f1-7：BCACDCB 8-14:BDACABB15、 。16、 ；17、 ；18、406,1259 2,22 kxorkxkx19、 ；20、 ；21、 ；22
13、、 ；Zkx2301三.解答题 23、若函数 ，画出函数在区间 上的简图；指出函数在区间 上的单调区间及单1sinyx0,20,2调性，最大值和最小值解：列表： x0 232siny0 1 0 1 081sinyx1 0 1 2 1描点、连线成图： 单调递增区间： ；单调递减区间： ， 3,20,23,24、已知 ,求 的值.tan,sinco231cosin 21s,it)23,(且25、已知 为第二象限角，） 的 值求为 第 一 象 限 角 ， tan(.135cos,53si解： i)2,( 且k43t74tan12ta215cos)2,( 且k5ta 25304)7(14tant12)
14、t( 26、求值: 0001cos)t3(8insi2解： 原式=0 000i5i2sin5i4co002sin5cos0 002sin42sin9coco5s27、化简 ；000i(18)(i1)tan(1)xxx9解：原式= (sin)cosi(tan)xx= i= 3sx证明： 222tansitansixx证：左边= 2tcos= 22ta(1cos)x= ni=右边故原命题成立。28、已知 ， 是方程 的两根，求 的值tat2370xtan()解： ， 是方程 的两根，n由韦达定理得：tan,23,A = tant 2tan()7191()1329、已知 A、B、C 三点的坐标分别是
15、 A（3，0） ，B（0，3） ，C ，其中 ，(sin,co)32（1）若 ，求角 的值；（2）若 ，求 的值。12sinita解：（1）由题意； ，(3,cos)(sin,co3)ACB22ACB化简得 2(sin3)cosin()i又 54（2）由 得：1A(si3)incos(3)1化简得： 于是：2sinco 25incos9102sini2sin(cos)52incosi1ta 9平面向量基础训练题一、选择题1若向量 =（1，1） ， =（1，-1 ） ， =（-1，2） ，则 等于（ ）abccA B C D23a32ba13ba2132若取两个互相垂直的单位向量 i， j 为基
16、底, 且已知 a = 3i + 2j , b = i - 3j , 则 5a 与 3b 的数量积等于（ ）A45 B45 C1 D13 O 是 ABC 所在的平面内的一点，且满足（ - ） （ + -2 ）=0，则 ABC 的形状一定为（ OBOCA）A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D斜三角形4下面的四个命题： ； ；|ba 22)(ba若 ； 若ccba则)( |0则其中真命题是（ ）A B C D5将抛物线 的图象按向量 平移，使其顶点与坐标原点重合，则 =（ ）742xya aA （2，-3） B （ -2，-3） C （-2，3） D （2，3） 6下列四个命题，其中正确的个数
17、有（ ）对于实数 m 和向量 bmaba)(,恒 有对于实数 m, n 和向量 n,恒 有若 若baRba则 有),( nmaRa则 有,0,(A1 个 B 2 个 C3 个 D4 个7已知 ，则向量 在向量 上的投影为（ ）1,5|,3|且 bA B 3 C4 D528已知向量 =（3，-2） ， =（-5，-1 ） ，则 等于 （ ）OMONMN21A （8，1） B （-8， 1） C （4，- ） D （-4， ）21119已知|p|= ，|q|=3，p，q 的夹角为 ，则以 a=5p+2q，b=p-3q 为邻边的平行四边形的一条对角线长为（ 24）A15 B C14 D161510设
18、 e1 和 e2 是互相垂直的单位向量，且 a=3e1+2e2，b=-3e 1+4e2，则 ab 等于（ ）A1 B2 C-1 D-211若|a|=|b|=1，ab 且 2a+3b 与 ka-4b 也互相垂直，则实数 k 的值为（ ）A-6 B6 C-3 D312设 a、b、c 为平面向量，下面的命题中：a （b-c） =ab-ac； （a b）c=a(b c)；（a-b） 2=|a|2-2|a|b|+|b|2；若 ab=0，则 a=0 或 b=0。正确的个数是（ ）A3 B2 C1 D0BACBA CADAC BC二、填空题13已知 e 是单位向量，求满足 ae 且 ae =18 的向量 a
19、=_.14设 a=(m+1)i3j，b= i+(m1)j，(a+b) (ab), 则 m=_ _.15若 + = 0，则 ABC 的形状为 。ABC216把函数 的图象按向量 a 平移，得到 的图象，且 ab，c=（1，-1 ） ，bc=4，则 b= 54xy 2xy。1318e 142 15直角三角形 16 （3，-1）17、若 ， ，则 的数量积为 .|4103ab|4,|5ab与18、向量 与 共线且方向相同，则 = .(,)xr(,)xr x19、已知 A（3，y ） ，B（ ，2） ，C（6， ）三点共线，则 y=_.5920、已知 =(3，4)，若 1， ，则 = .|21、非零向
20、量 和 满足： ，则 与 的夹角等于 .ab|abab22、已知| |=10，| |=12，且（3 ）（ ）=36，则 与 的夹角是 .523、如果 1， 2， 与 的夹角为 ，则 等于 .|4|三、解答题24已知向量 a=e1-e2，b=4 e1+3 e2，其中 e1=（1，0） ，e 2=（0，1） 。（）试计算 ab 及|a+ b|的值； （）求向量 a 与 b 的夹角的余弦值。解：（）a =（1，0）-（0，1）=（1，-1） ，b=（4，0）+（0，3）=（4，3） 。ab=（1，-1）（4，3）=1； |a+b|=|（5，2）|= 。29（） ， 。10|cosba10arcos2
21、5已知平面上三个向量 a、b、c 的模均为 1，它们相互之间的夹角均为 120.（）求证：（ab） c； （）若| ka+b+c|1（kR ） ，求 k 的取值范围.解（） 且 a、b、c 之间的夹角均为 120，,|3 分 .02|0os|)( sc cba)(12（） ,1|,1| 2cbkacbka()() 21kabc2os0,0, .k或26已知 f（A,B）= 。ossin3c2in2BABA（）设 A、B、C 为 ABC 内角，当 f（A, B）取得最小值是，求C；（）当 A+B= 且 A、BR 时，y=f（A, B）的图象通过向量 p 的平移得到函数 y=2cos2A 的图象，
22、求向量p。解：（）f（AB ）= 。1)2(cos)23(sin由题意 C= 或 C= 。.6,21cos,iBA或 3（）A+B= ， 2B= -2A，f（AB）=cos2A- sin2A+3=2cos（2A+ ）+3=2cos2 （A+ ）+3，336p =（ ，-3 ） 。627平面直角坐标系内有点 P（1，cosx） ，Q （cosx，1） ， 。4,x（）求向量 和 的夹角 的余弦用 x 表示的函数 f（x） ；O（）求 的最值。解：（） =2cosx，| | |= ，PQPOQ2cos1cos= = f（x） 。OD2cos1|（）cos= f（ x）= 。xxcos12 ， ，2
23、 ，4,x,cos23f（x）1，即 cos1。 arccos ， =0。3232maxmin28已知 a =（cos ，sin ） ，b=（cos ，sin ） ，a 与 b 之间有关系式| ka+b |= |a-ka|，其中 k0。3（）用 k 表示 ab；（）求 ab 的最小值，并求此时 a 与 b 的夹角 的大小。解：（）由|k a+b |2= |a-ka|2 得，8kab=（3- k2）a 2+（3k 2-1）b 2。313ab= 。kb8)13()(22a =（cos ，sin ） ，b=（cos ，sin ） ，a 2=1，b 2=1，ab= 。k412（）k0，k 2+12k，
24、即 ， ab 的最小值为 。412k21ab=|a|b|cos，cos= ，= ，此时 a 与 b 的夹角为 。606029已知： 、 、 是同一平面内的三个向量，其中 =（1，2）c（）若| | ，且 ，求 的坐标；52a/c（）若| |= 且 与 垂直，求 与 的夹角 .b,bab解：（）设 20,52,52|),( 22yxyxcyxca021,/由 或 yx4y4y )4,(),4(cc或（） 0)2()(),2()( baba（）|3|,0322ba代入（）中, 45)(|,5|2 250452352baba125|cos,2|,| baba30、已知 函数(,),(in),6x()()fxabRA（1） 求函数 f(x)的单调递增区间（2） 若 求 的值()5fcos(2)3x1431、已知 （其中 函数 ，若直线(2cos,),cos,3inaxbx01)()fxab是函数 图像的一条对称轴，3x)f（1） 求 的值 （2）作出 在区间 的图像()fx,32、已知 （1）若 求 的值2(3sin,1)(cos,)44xxm1mnA2cos()3x（2）记 ，在 中，角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c，且满足 求)f cosaBbC的取值范围(fA15
