1、第一章 常用逻辑用语1.1 命题及其关系1命题 一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的_叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.在本章中，我们只讨论具有“若 p，则 q”这种形式的命题，通常把这种形式的命题中的 p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论.注意：（1）一个数学命题要么是真命题，要么是假命题，但不能既真又假，也不能模棱两可、无法判断其真假.数学中的定义、定理、公理都是真命题.（2 ）有一些语句，虽然目前还不能判断它的真假，但是随着科学技术的发展与时间的推移，总能确定它们的真假.我们把这一类语句也算作命题，如“神农架野人” ，虽然目前
2、还不能确定有没有野人，但是随着时间的推移，人们是能够考察清楚的.（3 ）数学中有一些命题虽然表面上不是“若 p，则 q”的形式，但是把它的表述作适当改变，也可以写成“若 p，则 q”的形式.关键是分清命题的条件和结论.2四种命题（1 ）原命题与逆命题一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的_，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题.也就是说，如果原命题为“若 p，则 q”，那么它的逆命题为“若 q，则 p”.（2 ）否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的_，我们把这样的两个命题叫做互否命题.其中
3、一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题.也就是说，如果原命题为“若 p，则 q”，那么它的否命题为“若 ，则 ”.pq（3 ）逆否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的_ ，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的逆否命题.也就是说，如果原命题为“若 p，则 q”，那么它的逆否命题为“若 ，则 ”.qp注意：在对原命题的条件和结论进行否定时，一定要注意问题的全面性，千万不能遗漏或重复.3四种命题间的相互关系一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题之间的相互关系如图所示：一般地，四种命题的真假性，有且
4、仅有下面四种情况：原命题 逆命题 否命题 逆否命题真 真 真 真真 假 假 真假 真 真 假假 假 假 假由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此这四种命题的真假性之间的关系如下：（1 ）两个命题互为逆否命题，它们有_真假性；（2 ）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性_.注意：（1）互逆命题、互否命题、互为逆否命题反映的是两个命题之间的相对关系，不具有特指性，即四种命题中的任意两个命题之间一定具有这三种关系中的一种，且唯一.（2 ）在四种形式的命题中，真命题的个数只能是 0，2，4.K 知识参考答案：1陈述句2 （ 1）结论和条件 （2）条件的否定和结论的否定 （3）结论的否定和条件的
5、否定3 （ 1）相同的 （2）没有关系K重点 四种命题及其关系，命题真假的判断K难点 涉及命题真假判断的多选型试题K易错 对于含有大前提的命题，改写时，易忽略大前提一、命题的概念及真假判断判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一，是否是“陈述句”；第二，是否“可以判断真假”，这两个条件缺一不可疑问句、祈使句、感叹句均不是命题命题真假的判断方法：（1 ）真命题的判断方法：真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确地逻辑推理的一个过程，判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法.（2 ）假命题的判断方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题
6、为假命题的常用方法.另外，一些命题的真假也可以依据客观事实作出判断.下列语句是命题的序号为_.风景这边独好； 求证 是无理数；6函数 是 上的偶函数； 火星上有水；2()fx=R若 ，则 ； .2ab+数， 表示两个正数的几何平均数，所以此命题是真命题.ab【名师点睛】“若 p，则 q”这种形式是数学中命题的基本结构形式，也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若 p，则 q”这种形式给出的，这时，需要把这个命题补充完整，确定命题的条件和结论.即对于不是“若 p，则 q”形式的命题，一般先找到条件和结论，然后加上“若”和“则”，即可写成“若 p，则 q”的形式，从而判断命题的真假.二、四种命题由
7、原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论.（1 ）将原命题的条件和结论交换，即得原命题的逆命题.（2 ）将原命题的条件和结论进行否定，作为新命题的条件和结论，即得原命题的否命题.否定命题的条件或结论，关键是否定条件或结论的关键词.（3 ）先写出原命题的逆命题，再写出逆命题的否命题，即得逆否命题.也可以先写出原命题的否命题，再写出否命题的逆命题，即得逆否命题.把下列命题改写成“若 p，则 q”的形式，并分别写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，并判断真假：负数小于零.在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行.【解析】原命题：若一个数是负数，则它小于零.是真命题.逆命题：若一个数小于零，
8、则它是负数.是真命题.否命题：若一个数不是负数，则它不小于零.是真命题.逆否命题：若一个数不小于零，则它不是负数.是真命题.原命题：在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行.是假命题.逆命题：在空间中，若两条直线平行，则它们平行于同一个平面.是假命题.否命题：在空间中，若两条直线不平行于同一个平面，则这两条直线不平行.是假命题.逆否命题：在空间中，若两条直线不平行，则它们不平行于同一个平面.是假命题.【名师点睛】对于， “小于”的否定是“不小于” ，而不是“大于” ，因为“不小于”包括了“大于和等于”.三、四种命题间的相互关系由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明
9、某一个命题为真命题较困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题.已知奇函数 是定义在 上的增函数， ，若 ，求证：()fxR,abR()0fab+.0ab+【解析】若 ，即 .C若 或 ，则ab-ab2D若 或 ，则cdacbd对角线相等的四边形是矩形；若 ，则 中至少有一个为 0.0xy=,y其中真命题的序号是A B C D6已知命题“若直线与平面 垂直, 则直线与平面 内的任意一条直线垂直 ”，则其逆命题、否命题、逆否命题中, 真命题的个数是A B C D 7命题“若实数满足 ，则 ”的否命题是 命题（填“真”或“假” ） 3a290b2()0ab-_.9已知 ，
10、如果 是假命题， 是真命题，则实数 的取值范围2():0pxm+-(1)p(2)pm为_.10写出命题“若 ”的逆命题、否命题、逆否命题，1,)(2yxy且则并判断它们的真假.11判断命题“已知 为实数，如果关于的不等式 的解集非空，,ax22(1)0xa+那么 ”的逆否命题的真假.1a12 “若 ，则 p”为真命题，那么 p 不能是1xA B- 0xC D 213若 的否命题是命题的逆否命题，则命题 是命题的 ppA逆命题 B否命题C逆否命题 D 与是同一命题14有下列四个命题：（1 ） “若 ，则 ”的否命题； （2 ） “若 ，则 ”的逆否20xy+=xyxy2命题；（3 ） “若 ，则
11、 ”的否命题； （4 ） “对顶角相等”的逆命题26-其中真命题的个数是A0 B1C 2 D315 已知命题 若 ，则关于的方程 有实根，是 的逆命题，下面结论:p0m20xmp正确的是A 真假 B 假真pC 真真 D 假假p16已知 A： ，B： ，请选择适当的实数，使得利用 A，B 构造的命题“若 p，51xa-1x则 q”为真命题.17已知 p：方程 有两个不相等的负实数根；q：方程210xm+=无实数根若 p 为假命题，q 为真命题，求实数 m 的取值范围24()10xmx+-=18已知两个命题 ，如果对任意的()()2:sinco,:10rxxmsx+与 有且仅有一个是真命题，求实数
12、 的取值范围.,xR19 （ 2015 年高考山东卷）设 ，命题“若 ，则方程 有实根”的逆mR020xm否命题是A若方程 有实根，则20xB若方程 有实根，则 0C若方程 没有实根，则2xmmD若方程 没有实根，则020 （ 2014 年高考陕西卷）原命题为“若 ， ，则 为递减数列” ，关12nnaNna于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是A真，真，真 B假，假，真C真，真，假 D假，假，假21 （ 2013 年高考天津卷理）已知下列三个命题：若一个球的半径缩小到原来的 ，则其体积缩小到原来的 ；1218若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；直线 xy10 与圆 x2y 2 相切，其中真命题的序号是
