1、目 录摘要 1关键词 1Abstract1Key words.1引言 11. 概率统计在经济中的应用 .11.1 数学期望在企业经营中的应用 .11.2 参 数估计在商品进货中的应用 .21.3 中心极限定理在保险业中的应用 .22. 概率在经济学中的应用 .22.1 概率论在保险学中的应用 .22.2 概率论在投资风险中的应用 .32.3 概率在管理决策中的应用 .43.概率论在经济管理估测中的应用 43.1.在经济管理中的应用 43.2 在投资风险估测中的应用 63.3. 在生产决策中的应用 .73.4 在估测最大经济利润问题中的应用 7致谢 9参考文献 91概率论在经济中的应用数学与应用
2、数学专业学生 指导老师 摘要：概率论与数理统计是研究随机现象及其规律性的一门学科。作为经济数学的三大支柱之一，概率统计知识在当今信息社会里越来越重要。在经济和管理活动中，怎样使利润最大、风险最小；怎样由不确定因素得出相对可靠的结论等，只有运用概率统计的知识才能解决。本文将通过实例来讨论概率统计知识在经济活动中的具体应用。关键词：概率论与数理统计 经济学 应用 数学化The application of probability theory in economyMathematics and Applied Mathematics Tutor Abstract：Probability theor
3、y and mathematical statistics is the study of random phenomenon and law of a discipline. As one of the three pillars of economic mathematics, the knowledge of probability statistics in todays information society more and more important. In the economic and management activities, how to make the maxi
4、mum profit, risk minimization; how by uncertain factors to get the relative reliable conclusions, only with the knowledge of probability statistics to solve. This article will use the example to discuss the knowledge of probability statistics in economic activities in the specific application.Key wo
5、rds: Probability theory and mathematical statistics and economics application in Mathematics 引言：现实世界中形形色色的自然现象、社会现象大致可分为两类：一类是事先能确定其结果的现象，即确定性现象，如今天太阳必然会落下去，同性电荷互相排斥等.另一类是事先不能确定其结果的现象为随机现象,这类现象的可能结果不会是一种,如同品种种子播种到肥力均匀的田地里,每粒种子是否发芽、掷一枚骰子,可能结果有6种等，这种随机现象是否有规律,便成为数学研究中的一个问题.概率论就是运用数学方法研究随机现象统计规律性的一门数学学
6、科.概率, 简单地说,就是随机现象出现的可能性大小的一种度量.随着现代科学的发展，人们越来越多地认识到，一种科学只有成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步，而经济学也不例外.数学能为经济学提供特有的、严密的分析方法，经济学的发展需要数学，数学方法能使经济学研究理论的表述更清晰准确，逻辑推理更严密.其作用体现在以下几个方面：一是数学方法为经济学理论的突破提供了科学的方法论；二是经济数学化表明人类对社会经济活动的认识和理解已经由定性到定量；三是数学方法的运用大大拓展和深化了经济学科；四是数学方法的运用有助于提高经济理论的实用性以及经济政策的科学性；五是运用数学方法对经济理论进行实证研究.1.
7、概率统计在经济中的应用1.1数学期望在企业经营中的应用在经济活动中，商业企业总是想方设法追逐更多的利润。为此，他们推出了各种名目繁多的活动，看似降低售价，让利于消费者，实质上还是为了提高利润。2某大型商场对某种原来售价 2500 元的家用电器进行“让利”促销活动，推出先使用后付款的方式。设该家用电器的使用寿命为 X（单位：年），规定：X1 一台付款 1500 元 13 一台付款 3000 元已知寿命 X 服从参数为 1/10 的指数分布，请估算该商场在促销活动中销售一台该家电利润是降低了还是提高了？为此，需求出在促销活动中该电器售价 Y 的数学期望 E(Y).先求出寿命 X 落在各时间区间内的
8、概率，因为寿命 X 服从参数为 1/10 的指数分布，所以其概率密度则 Y的期望：元。由大数定律知，促销活动中该电器的平均售价约为 2732 元，每台电器利润提高了 232 元。1.2 参数估计在商品进货中的应用在商品销售过程中，商品的进货量是一个很重要的因素。若商品进货过多，不但要占用大量资金，商店还要支付商品的保管费用；若进货过少，商品脱销，则商店的营业额减少，利润降低。对商店来说，控制好各商品的的进货量是至关重要的。例：一商店采用科学管理的方法经营商店，它对某种商品前 12 个月的销售情况做了记录，数据如下：月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12售出件数 5 7 7
9、6 4 5 3 6 6 9 10 5 问商店在本月初至少进货多少件才能以 95%以上的概率保证这个月不脱销。在实际中，我们总是认为商品的销售量是服从泊松分布的，故先求出参数.商品的月平均销售件数为：设商品每月销售 X 件，则，由参数估计的有关知识得。所以我们可以判断出 X 服从参数为 6 的泊松分布。假设商店在月初应进货 n 件，则 n 应是满足不等式的最小值。查泊松分布概率值表得： 故 n=10，即月初商店至少进货 10 件，才能以 95%以上的概率保证这个月不脱销？1.3 中心极限定理在保险业中的应用大数定律和中心极限定理是近代保险业赖以建立的基础。一个保险公司的盈亏，我们通过学习中心极限
10、定理的知识都可以做到估算和预测。下面以一保险业的实例来阐述大数定律和中心极限定理在保险业中的重要作用。已知某人寿保险公司有 10000 人投保，每人每年交保费 10 元，一年内投保人死亡率为 0.001，若投保人死亡，其家属可以在保险公司领取 2000 元抚恤金，求：保险公司亏本的概率；保险公司年利润不少于 40000 元的概率。解：设一年内死亡的人数为 X，则 X 服从参数 n=10000，p=0.001 的二项分布，期望，方差，标准差，保险公司每年收入为 1000010=100000 元，支出 2000X 元，获利(100000-2000X)。保险公司亏本的概率：（2）保险公司获利不少于
11、40000 元的概率： 故我们用所学的数理统计知识完全能够估算出保险公司的盈利概率。2. 概率在经济学中的应用2.1 概率论在保险学中的应用金融经济学中用到随机变量的数学期望、方差、协方差等概念，要通过基本概率论的概念才能来理解随机游走、布朗运动、随机积分、伊藤公式等概念。概率论中的随机游走概念积域的概念在有效市场理论中起本质作用。布莱克一肖尔斯期权定价理论需要概率论中的中心极限定理，它的证明涉及随机变量的特征函数等概念，还涉及随即序列、鞅等概念。又例如切比雪夫大数法则：设 , ,., . 是由相互独3立的随机变量所构成的序列，每一随机变量都有有限方差，并且它们有公共上界：DC，D C,.,
12、D C，则对于任意的 O，都有：这一法则的结论运用可以说明，在承保标的数量足够大时，被保险人所交纳的纯保险费与其所能获得赔款的期望值相等。这个结论反过来，则说明保险人应如何收取纯保费。2.2 概率论在投资风险中的应用在投资环境日趋复杂的现代社会，几乎所有的投资都是在风险和不确定情况下进行的，一般地说，投资者都讨厌风险并力求回避风险。期望值是一个概率分布中的所有可能结果以其概率为权数进行加权平均的加权平均数，反映事件的集中趋势。其计算公式为：式中： 表示第 i 种结果出现的预期收益； 表示第 i 种结果出现的概率；n 表iX Pi示所有可能结果的数目。例如：某公司拟对外投资，现有 A 公司、B
13、公司和 C 公司有关股票收益与概率分布资料如下表：经济情况 Pi A 公司 Xi B 公司 Xi C 公司 Xi繁荣 0.2 50 80 60一般 0.6 20 20 25衰退 0.2 -10 -40 -10根据上述期望值公式计算 A、B、C 公司的预期收益率：EA=20 EB=20 EC=25在预期收益率相同的情况下，投资的风险程度同收益的概率分布有密切的联系。A、B 公司的预期收益率都是 20%，但相比之下可以发现 B 公司的预期收益率非常分散，而 A 公司的预期收益率较集中，可认为 A 公司的投资风险要比 B 公司小，由此可得如下结论:预期收益的概率分布越狭窄，其投资风险越小，反之亦然。
14、为了清晰地观察概率的离散程度，可根据概率分布表绘制概率分布图进行分析。标准离差是各种可能的收益偏离期望收益的综合差异，是反映离差程度的一种度量表示期望报酬率的标准离差； 表示期望报酬值。在期望值相等的情况下，标E准离差越大，意味着风险越大。=0.1879 =0.3795 =0.2213ABC根据这种测量方法，在期望收益率均为 20%的条件下，A 公司股票的风险程度小4于 B 公司股票的风险程度，应选择 A 股票。对于股票投资者来说，投资者也可以检查包括市盈率与红利在内的一系列金融数据，利用各种统计信息来引导投资。投资者通过将某只个股的数据与股票市场平均数进行比较，就能够判断该只股票的价值是被高
15、估还魁低估了。例如，道琼斯 30 家工业段票平均数的市盈率是 20.1。同一天，莱公司股票的市盈率是 14。因此，关于市盈率的统计信息就表明与道琼鬏 30 家股票平均数相比较，该公司的股价偏低。这方面和其他一些有关该公司的信息还将帮助投资者作出买入、卖出还是继续持有该股的建议。2.3 概率在管理决策中的应用正态概率分布是一种最重要的描述连续性随机变量的概率分布。正态概率分布在经济管理中应用非常广泛。一旦建立了某个应用问题的概率分布，就可以轻松显迅速地得到有关问题的概率信息。概率虽不能直接提供决策建议，但是它能提供一些帮助决策者更好理解与问题有关的风险和不确定性等方面的信息。最终，这些信息可以帮
16、助决策者制定出好的决策。例如，某公司刚刚研制出一种新式轮胎，这种轮胎将要在全国的连锁商店销售。由于这种轮胎是一种新产品，所以。该公司的经理们认为这种新轮胎的行驶里程是保证其被市场接受的一个重要因素。在这种轮胎在实际公路上的测试中，该公司的工程技术人员们估计平均行驶量程是 u=36 500 英里，标准差是 =5000 英里。另外，收集到的数据还表明这种轮胎的行驶里程服从正态分布是比较合理的。那么，如果该公司正在考虑提供一项质量保证，即如果轮胎没有超过指定的行驶里程，公司保证调换轮胎时给予打折。但该公司希望调换时给予打折的轮胎数不超过 10，则应该保证的行驶里程是多少?这个问题可以用正态分布来解释
17、。在均值和未知的保证里程之间的概率一定是 40%。查标准正态概率分布表可知，主体部分的 04000 对应的值是 1.28，即标准正态分布随即变量取值 Z=-1.28，对应于该公司的轮胎正态分布所要求的保证里程。因此，保证行驶 30100 英里将会符合要求，即此时大约有 10的轮胎达不到指定的行程里程。当然公司有了这些信息后，可以将轮胎的保证行驶里程定为 30 000 英里。3.概率论在经济管理估测中的应用3.1.在经济管理中的应用在进行经济管理决策之前，往往存在不确定的随机因素，而所作的决策有一定风险.只有正确、科学的决策才能达到以最小的成本获得最大的安全保障的总目标,才能尽可能节约成本.概率
18、虽不能直接提供决策建议，但是它能提供一些帮助决策者更好理解与问题有关风险和不确定性等方面信息.最终这些信息可以帮助决策者制定出好的决策.下面从具体例子说明它在经济管理决策中的应用.例 1 某人有一笔资金,可投入三个项目:房产 X、地产 Y 和商业 Z,其收益和市场状态有关,若把未来市场划分为好、中、差三个等级,其发生的概率分别为p1=0.2,p2=0.7,p3=0.1,根据市场调研的情况可知不同等级状态下各种投资的年收益(万元),见表:优（P1=0.2） 良（P2=0.6） 差（P3=0.2）房产 11 3 -3地产 6 4 -1旅游 10 2 -2问：如何投资最为合理？解：考察数学期望：E(
19、X)=110.2+30.7+(-3)0.1=4.0E(Y)=60.2+40.7+(-1)0.1=3.95E(Z)=100.2+20.7+(-2)0.1=3.2根据数学期望可知，投资房产的平均收益最大，可能选择房产，但投资也要考虑风险，再对它们的方差进行观察：D(X)=(11-4)20.2+(3-4)20.7+(-3-4)20.1=15.4D(Y)=(6-3.9)20.2+(4-3.9)20.7+(-1-3.9)20.1=3.29D(Z)=(10-3.2)20.2+(2-3.2)20.7+(-2-3.2)20.1=12.96因为方差愈大，则收益的波动大，从而风险也大，所以从方差看，投资房产的风险
20、比投资地产的风险大得多，若收益与风险综合权衡，该投资者还是应该选择投资地产为好，虽然平均收益少 0.1 万元，但风险要小一半以上.通过以上实例说明在进行经济管理决策之前,往往存在不确定的随机因素,从而所作的决策有一定的风险,只有正确、科学的决策才能达到以最小的成本获得最大的安全保障的总目标,才能尽可能节约成本.而期望和方差的数字特征含义可以帮助我们可以进行合理的选择,为我们的科学决策提供良好的依据，从而最优地实现目标.例 2 为了防止“甲型 流感”病情的近一步蔓延，我校积极出台了一系列的预防措施.设我校可实际采用的四个预防措施为甲、乙、丙、丁，并且认为它们是相互独立的.经过多方论证，可得下表：
21、预防措施 甲 乙 丙 丁P 0.95 0.85 0.75 0.65费用（万元） 9 6 3 1请问:该投资者如何投资好?注：P 表示单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率.“费用”表示单独采用相应措施的花费.由于学校财力有限，仅能提供资金 12 万.问我们应采取怎样的预防措施会比较合理？（方案可单独采用也可联合采用）解：方案一：单独采用甲措施，费用 9 万.可使此事件不发生的概率最大为 0.95.方案二：联合采用甲、丙、两种措施，费用 12 万.可使此事件不发生的概率最大为P=1-（1-0.95）（1-0.75）=0.9875方案三：联合采用乙、丙、丁三种措施，费用 10 万.
22、可使此事件不发生的概率最大为P=1-（1-0.85）（1-0.75）（1-0.65）=0.986875综合上述三种预防方案可知，在总费用不超过 12 万元的前提下，运用方案三比较合理.因为方案一虽然所用花费最低，但此突发事件不发生的概率比较低，对防止“甲型流感”病情的近一步蔓延起不到很高系数的保证.为了起到对防止“甲型流感”病情的近一步蔓延有很高系数的保证，并且又可以最大限度的节省财力的情况下，方案三比较方案二要合理一些. 以最小的成本获得最大的安全保障的总目标,才能尽可能节约成本，是科学管理的一项重要内容.例 3.某研究中心有同类型仪器 300 台，各仪器工作相互独立，而且发生故障的概率均为
23、 0.01，通常一台仪器的故障由一人即可排除.问：为保证仪器发生故障时，不能及时排除的概率小于 0.01，至少要配备多少个维修工人？有两种维修方案，方案A：一人维修固定的 20 台仪器，方案 B：三人维修固定的 80 台仪器，哪种方案好？6解:设 X 表示 300 台仪器中发生故障的台数，则 XB（300，0.01），设 b 为需要配备的维修工人数，则应有 PXb0.01，即Xb=1-PXb= 由于 n=300 较大，p=0.01 较小，根据泊松定理，可以用 =np=3 的泊松分布近似计算.则有 PXb= 0.01，查表得 =0.9962，所以为达到要求至少需配备 8名维修工人.解：设 Y 表
24、示 2 0 台仪器中发生故障的台数，则 YB（20，0.01）.若在同一时刻发生故障的仪器数 Y2，则一个工人不能维修，此概率为 =PY2=1-PY=0-PY=1=0.0169.设 Z 表示 80 台仪器中发生故 障 的台数，则 ZB（80，0.01）.若在同一时刻发生故障的仪器数 Z4，则由三个工人共同负责保修时不能及时维修，此概率为=PZ4=1-PZ3=0.0091.由于 ，所以方案 B 比方案 A 好.本问题涉及的是如何有效地使用人力问题，其中包括合理确定人员数和安排工作方式.例如为保证仪器发生故障时，不能及时排除的概率小于 0.01，配备 8 人即可达到要求，若安排人员过多，就会造成人
25、力资源的浪费.比较维修方案 A 和 B 的结果可以看出：虽然 3 人共同负责 80 台仪器，每个人的任务比 1 人负责 20 台仪器的任务大，但方案 B 的安排是合理的，工作质量不仅没有降低，反而提高了，能够保证仪器的正常运转.有效地使用人力、物力和财力，是科学管理的一项重要内容，概率论在这方面可以发挥很大的作用.3.2 在投资风险估测中的应用投资者冒险投资的报酬超过无风险所获得的报酬的部分就是投资风险价值.投资风险程度和投资风险价值成正比关系.投资风险程度就是指我们现金(广义上的)的实际流量和预期流量之间的差异程度.现金的流入与流出的差额就是现金的净流量.现金的流入是指所投资的项目在周期内的
26、流入量,主要是指营业收入、其他收入.现金的流出是指所投资的项目在周期内为该项目所支付的现金量包括投资及营业成本等.在投资环境日趋复杂的现代社会，几乎所有的投资都是在风险和不确定情况下进行的，一般地说，投资者都讨厌风险并力求回避风险.由概率知识对风险系统进行分析可以直接获得风险决策，下面以例说明一下它在投资风险中的应用.例 1 设某公司拥有三支获利是独立的股票，且三种股票获利的概率分别为0.8,0.6,0.5 .求（1）任两种股票至少有一种获利的概率；（2）三种股票至少有一种股票获利的概率.解：设 A,B,C 分别表示三种股票获利, 依题意 A,B,C 相互独立.则由乘法公式与加法公式:(1)任
27、两种股票至少有一种获利等价于三种股票至少有两种获利的概率.P（1）=P（AB+AC+BC）=P(AB)+P(AC)+P(BC)-2P(ABC)=P(A)P(B)+P(A)P(C)+P(B)P(C)-2P(A)P(B)P(C)=0.7(2)三种股票至少有一种股票获利的概率P(2)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=0.967计算结果表明 投资于多只股票获利的概率大于投资于单只股票获利的概率这就是投资决策中分散风险的一种策略，前些年，股票市场的异常火爆让许多的投资者都对之产生了瑰丽的幻想和期望，即使面临这几年的股票市场低潮，仍然有许多
28、人寄希望于股市让自己的资产迅速增值，因而将自己的资产集中投资在某一个股票.其实，这些投资者都违反了投资最重要的原则之一，就是分散投资原则.以股市为例，组合可以包括公用股、地产股、工业股、银行股等，目的是建立一个相关系数较低的投资组合，从而减低风险；另外，当投资的股票数量增加时，组合的风险相对降低.单而言如果将资金平均分配在 50 只股票上，就算其中一家公司不幸倒闭，损失亦只占投资总额之2%，比单独投资在这家要倒闭的公司而蒙受的损失少得多.用一句简单俗语，就是把鸡蛋分散地放在不同的篮子里. 3.3. 在生产决策中的应用决策的方法与所选的决策准则值直接相关，期望值准则是风险决策中最常用的准则以期望
29、值为准则的基本方法是：首先根据付酬表，计算各行动方案的期望值，最后从各期望值选择期望收益最大(或期望损益最小)的方案为最优方案例 1. 假如已知某厂预计日产量的机会亏损的未来各种需求量发生的概率试就此资料进行期望机会亏损决策生产量（箱）后悔值（元）概率状态市场需求量（箱）100 110 120 1300.2 0.4 0.3 0.1100 0 500 1000 1500110 300 0 500 1000120 600 300 0 500130 900 600 300 0某厂预计日产量的机会亏损表解：设 为日产 100 箱； 为日产 110 箱； 为日产 120 箱； 为日产 130 箱.则有：
30、=0.200.45000.310000.11500=650( 箱)=0.23000.400.35000.11000=320( 箱)=0.26000.43000.300.1500=290( 箱)=0.29000.46000.33000.10=510( 箱)min =290 于是选择日产 120 箱的方案对于同一资料根据期望损益值进行抉择的结果和根据期望机会亏损值的抉择结果是一致的从上例可以发现即期望值收益与期望机会亏损互余即期望收益越大时，期望机会亏损值必8小这就是说一个方案若期望获利最大，那么执行该方案后悔值必然最小因此，按两种法则择优的结果必定相同3.4 在估测最大经济利润问题中的应用如何获
31、得最大利润是商界永远追求的目标,随机变量函数期望的应用为此问题的解决提供了新的思路.例 1 某一商场经销的某种商品，每周的需求量 X 在 20 至 40 范围内等可能取值，该商品的进货量也在 20 至 40 范围内等可能取值(每周只在周日前进货物一次)商场每销售一单位商品可获利 600 元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损 100 元；若供不应求，可从外单位调拨，此时一单位商品可获利 300 元.试测算进货量多少时，商场可获得最佳利润？并求出最大利润的期望值.分析：由于该商品的需求量(销售量)X 是一个连续型随机变量，它在区间20，40上均匀分布，而销售该商品的利润值 Y 也是随机
32、变量，它是 X 的函数，称为随机变量的函数.本问题涉及的最佳利润只能是利润的数学期望即平均利润的最大值.因此，本问题的解算过程是，先确定 Y 与 X 的函数关系，再求出 Y 的期望 E(Y)，最后利用极值方法求出的极大值点及最大值.解：设每周的进货量为 a，则：实现利润最大化是商界的最终目标，影响的因素很多，主要有两个方面，一是扩大产品收入，利润是收入创造的，没有收入上量的保障，利润是无从谈起的.二是严格控制成本和费用支出，在利润增加的同时，成本和费用的支出的越少，利润就越大.这从会计的要素等式：收入-费用=利润就能明白.例 2 某公司经销某种原料,根据历史资料:这种原料的市场需求量 X(单位
33、:吨)服从(300,500)上的均匀分布,每售出 1 吨该原料,公司可获利 1.5 千元;若积压 1 吨,则公司损失 0.5 千元,问公司应该组织多少货源,可使期望的利润最大?分析:此问题的解决先是建立利润与需求量的函数,然后求利润的期望,从而得到利润关于货源的函数,最后利用求极值的方法得到答案.解：设公司组织该货源 a 吨,则显然应该有 300 a 500,又记 Y 为在 a 吨货源的条件下的利润,则利润为需求量的函数,即 Y=g(X),由题设条件知:当 X a 时,则此 a 吨货源全部售出,共获 1.5a；Xa 时,则售出 X 吨(获利 1.5X),且还有 a-X 吨积压(获利-0.5(a
34、-X),所以共获利 1.5X-0.5(a-X),由此：9得上述计算表明 E(Y)是 a 的二次函数,用通常求极值的方法可以求得,当 a=450 吨时,能够使得期望的利润达到最大.无论是公司或是企业，都是以盈利为目的的生产经营组织，追求最大利润是每一个在市场经济中角逐的企业的现实目标.因此，可以说企业存在的目的就是追求其利润的最大化. 但也要注意以下几点：利润最大化只是一个相对理想的概念.利润的形成受诸多因素的影响，其中包括一些不可控因素.因此在实际工作中，往往是选择次优化目标.为获得最大利润而不惜任何代价的做法，是不必要也是不可取的.利润最大化不等于效益最大化.利润最大化是企业生产经营净成果的
35、最大化，是企业生产经营收入减去生产经营支出后的余额.而效益最大化是投入产出之比例.利润最大化是一个绝对指标，而效益最大化则是一个相对指标.因此，利润最大化并不意味着投入产出之比也是最高的.这就提醒管理者，在追求利润最大化的基础上，同时要提高效益之比.这样才能使企业规模扩展与集约经营并重，效益和利润协调增长.利润最大化不仅意味着报告期的利润最大化，同时也应包括更长时期内的利润最大化.因此，在实现当期利润目标的同时，要顾及本期决策可能给以后各期带来的不良影响.致谢本文得以顺利完成，非常感谢我的指导教师孟庆。从论文的选题直到论文的最终完成，他都给予我尽心尽力的指导。孟老师严谨的治学态度深深地影响着我
36、，对我今后的学习，工生活必将产生影响。借此机会，特向孟老师表示最诚挚的感谢。感谢杏坛学院的所有领导和老师。他们严谨的学风，渊博的知识，诲人不倦的品格一直感染和激励着我不断上进，使我大学四年的时光充实而有意义， “海纳百川，取则行远” ，在这里我所学到的一切，必将使我受益终生。在本论文的写作中，我也参照了大量的著作和文章，许多学者的科研成果及写作思路给了我很大的启发，在此向这些学者们表示由衷的感谢。感谢我的家人，同学，朋友对我的大力支持，他们的无私奉献，关爱和支持使我能够继续去追求自己的人生理想和目标。感谢所有关心，帮助和支持我的人参考文献：1 吴赣昌.概率论与数理统计M.北京：中国人民大学出版社，2008.2 高铁梅.计量经济分析方法与建模M.北京：清华大学出版社,2006.3 薛留根.概率论解题方法与技巧M.北京：国防工业出版社，1996. 4 魏宗舒.概率论与数理统计M.北京：高等教育出版社，2003.5 林正炎等.当代概率学科中的研究机遇J.数学进展，2004，(4).6 焦云航.浅谈风险决策中如何有效应用概率J.中国校外教育.2010，(10):39.7 李智明.概率方法在其他数学问题中的应用J.新疆：新疆师范大学学报，2007，26(4):24-27.
