1、2.1.1 合情推理与演绎推理（一）【 内 容 分 析 】 ：归 纳 是 重 要 的 推 理 方 法 ， 在 掌 握 一 定 的 数 学 基 础 知 识 （ 如 数 列 、 立 体 几 何 、 空 间 向 量 等 等 ）后 ， 对 数 学 问 题 的 探 究 方 法 加 以 总 结 ， 上 升 为 思 想 方 法 。【 教 学 目 标 】 ：1、 知 识 与 技 能 ：（1）结合数学实例，了解归纳推理的含义（2）能利用归纳方法进行简单的推理，2、 过 程 与 方 法 ：通 过 课 例 ， 加 深 对 归 纳 这 种 思 想 方 法 的 认 识 。3、 情 感 态 度 与 价 值 观 ：体验并认
2、识归纳推理在数学发现中的作用。【 教 学 重 点 】 ：（ 1） 体 会 并 实 践 归 纳 推 理 的 探 索 过 程（ 2） 归 纳 推 理 的 局 限【 教 学 难 点 】 ：引 导 和 训 练 学 生 从 已 知 的 线 索 中 归 纳 出 正 确 的 结 论【 教 学 过 程 设 计 】 ： 教 学 环 节 教 学 活 动 设 计 意 图一、问题情景学生阅读1、哥德巴赫猜想：观察 4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, , 50=13+37, , 100=3+97，猜测：任一偶数（
3、除去 2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和. 1742 年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想. 1973 年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”. 2、费马猜想：法国业余数学家之王费马（1601-1665）在 1640 年通过对， ， ， ，013F125F217F32157F的观察，发现其结果都是素数，于是提出猜想：对所42657有的自然数 ，任何形如 的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉，n2n发现 不是素数，推翻费马猜52947640想.3、四色猜想：1852 年，毕业于英国伦敦大学的弗南
4、西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.” ，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976 年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用 1200 个小时，作了 100 亿逻辑判断，完成证明.引 入 课 题通 过 阅 读教 材 感 受归 纳 推 理的 魅 力从 哥 德 巴赫 猜 想 引出 归 纳 推理 概 念二 、 概 念 教学 概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理. 简言之，归
5、纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理. 归纳练习：(i)由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？(ii)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和 180 度，能归纳出什么结论？(iii)观察等式：，能得出怎样的结22 2134,1359,13579164论？ 讨论：(i)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？(ii)归纳推理有何作用？ （发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段）(iii)归纳推理的结果是否正确？（不一定）三、例题讲解 例 1：已知数列 的第 1 项 ，且 ，试归纳na2a1(1,2)nna出通项公式.（分析思路：试值 n=1，2，
6、3，4 猜想 如何证明：将递推公式n变形，再构造新数列）思考：证得某命题在 nn 时成立；又假设在 nk 时命题成立，再0证明 nk1 时命题也成立. 由这两步，可以归纳出什么结论？ （目的：渗透数学归纳法原理，即基础、递推关系）板 书 分 析过 程 ， 提问a2,a3,a4等 几 项 的计 算 结 果设 问 ： 能直 接 解 出an 吗 ？四、课堂训练 1、已知 ，推测 的表达()0,()1),fafnbf2,0nab()fn式.2、三角形的内角和是 1800 ,凸四边形的内角和是 3600,凸五边形的内角和是 5400 , 由这些结论猜想凸 n 边形的内角和公式。解析：凸 n 边形的内角和
7、公式是(n-2)180 0.3、由 归纳猜想出一个一般结论。,.32,32,1解析：猜想： (a,b,m 均为正实数） 。mab根 据 学 生基 础 情 况 ，决 定 是 当堂 引 导 学生 证 明 结论 或 者 是课 外 完 成 。五、小结 1归纳推理的几个特点1）归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围.2）归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.3）归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上.注：归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论2归纳推理的一般步骤：1
8、)对已有的资料进行观察、分析、归纳、整理；2)猜想3)检验1） 规 律 性2） 探 索 性3） 观 察 、试 验 的 不确 定 性指 出 对 归纳 推 理 的结 果 进 行检 验 是 必要 的归 纳 推 理【 练习与测试】 ：（基础题）1）数列 中的 等于（ ）2,50,47xxA B C D8323272）从 中得出的一般性结论是_。56, 3)定义 的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A） 、,DA（B）所对应的运算结果可能是（ ）.（1） （2） （3） （4） （A） （B）A. B. C. D.,DA,BDC,D,CAD4)有 10 个顶点的凸多面体，
9、它的各面多边形内角总和是_5)在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是 1 颗珠宝， 第二件首饰是由 6 颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图 1 所示的正六边形， 第三件首饰如图 2， 第四件首饰如图 3， 第五件首饰如图 4， 以 后 每 件 首 饰 都 在 前 一 件 上 ， 按 照 这 种 规 律 增 加 一 定 数 量 的 珠 宝 ， 使 它 构 成 更 大 的正 六 变 形 ， 依 此 推 断 第 6 件 首饰上应有_颗珠宝，第 件 首 饰 所 用 珠 宝 总 数 为n_颗. 6)已知 （n=1.2. ） 试归纳这个数列的通项公式nna11a答案：1）B 推出523,
10、6,209,20,3x2） 注意左边共有 项*.3(1)nnnnN21n3）B 4） （n-2）360 05） 91,1+5+9+4n+1=2n 2+3n+16） a 1=1,a2= a3= an=1（中等题）1）观察下列的图形中小正方形的个数，则第 n 个图中有 个小正方形.2）-1 3 -7 15 ( ) ，63 ， ， ， 括号中的数字应为（ ）A.33 B.-31 C.-27 D.-573)设平面内有 n 条直线（n 3） ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用表示 n 条直线交点的个数，则 f（4 ）=( )A.3 B.4 C.5 D.64)顺次计算数列:1,1
11、+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,的前 4 项,由此猜测的结果.123.1()(.321 nan答案：1）1+2+3+4+(n+1)= )212）B 正负相间，31+2，73+2 2，157+2 3，15+2 431，31+2 5633）C4）依次为，1，2 2，3 2，4 2，所以 an=n2（难题）1)迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了 630 万位的最大质数。小王发现由 8 个质数组成的数列 41，43，47，53，61，71，83，97 的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数。小王欣喜万分，但小王按得出的通项公式，再往后写几个数发现它们不是质数。他写出不是质数的一个数是（ ）.A1643 B1679 C1681 D16972) 考察下列一组不等式：32255,433,.5323 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广 ， 使 以 上 的 不 等 式 成 为 推 广 不 等 式 的 特 例 ， 则 推 广的 不 等 式可以是 .答案：1）C 41，43，47，53，61，71，83，97 的一个通项公式为 an=n2+n+41,a40=1681,而 168141 41 不是质数2）a n+bnan-mbm+ambn-m n,m , nmN
