1、2016-2017 学年福建省福州市外国语学校高三（上）适应性数学试卷（理科） （1）一、选择题(苯大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）已知全集 U=R，集合 A=x|y=log2（x1），B=y|y=2 x，则 B（ UA）为（ ）A （0，+） B1，+ ） C （0，1 D （1，2）2 （5 分）已知 mR，i 为虚数单位，若 0，则 m=（ ）A1 B C D23 （5 分）已知向量 、 ，其中| |= ，| |=2，且（ ） ，则向量 和 的夹角是（ ）A B C D4 （5 分）某射击手射击一次命中
2、的概率是 0.7，连续两次均射中的概率是 0.4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是（ ）A B C D5 （5 分）下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为 =0.8x155，后因某未知原因第 5 组数据的 y 值模糊不清，此位置数据记为 m（如表所示） ，则利用回归方程可求得实数 m 的值为（ ）x 196 197 200 203 204y 1 3 6 7 mA8.3 B8.2 C8.1 D86 （5 分）如图，该程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术” ，执行该程序框图，若输出的 a=3，则输入的 a，b 分别可
3、能为（ ）A15、18 B14、18 C13、18 D12、187 （5 分）2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，则 3 位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（ ）A B C D8 （5 分）已知函数 f（x）=sin（2x+）0 ）的图象的一个对称中心为（ ，0） ，则函数f（x）的单调递减区间是（ ）A2k ，2k+ （k Z） B2k+ ，2k + （k Z）Ck ，k+ （kZ ） Dk+ ，k+ （kZ）9 （5 分）已知实数 x、y 满足条件 ，若目标函数 z=3x+y 的最小值为 5，则 a 的值为（ ）A17 B2 C2 D1710 （5 分）某四面体的三视图如图所
4、示，正视图、俯视图都是腰长为 2 的等腰直角三角形，侧视图是边长为 2 的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（ ）A2 B4 C2 D211 （5 分）已知双曲线 =1 的左、右焦点分别为 F1、F 2，过 F1 作圆 x2+y2=a2 的切线分别交双曲线的左、右两支于点 B、C，且|BC|=|CF 2|，则双曲线的渐近线方程为（ ）Ay= 3x By= 2x Cy=（ +1）x Dy=（ 1）x12 （5 分）设函数 f（x）的定义域为 R，f（x）=f（x） ，f（x）=f（2x） ，当 x0，1时，f（x）=x3则函数 g（x）= |cos（x）| f（x）在区间 ， 上的所有零点
5、的和为（ ）A7 B6 C3 D2二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）若 y3（x+ ） n（n N*）的展开式中存在常数项，则常数项为 14 （5 分）已知中心在坐标原点的椭圆 C 的右焦点为 F（ 1，0） ，点 F 关于直线 y= x 的对称点在椭圆C 上，则椭圆 C 的方程为 15 （5 分）设正三棱锥 ABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上，BC=1，E，F 分别是 AB，BC 的中点，EFDE，则球 O 的半径为 16 （5 分）已知数列a n满足 a1=1，|a nan1|=2n1（n N，n2） ，且a 2n1是递减数列，a 2n是递增
6、数列，则 a2016= 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （12 分）ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，且 2bcosC+c=2a（1）求角 B 的大小；（2）若 BD 为 AC 边上的中线，cosA= ，BD= ，求ABC 的面积18 （12 分）如图，在四棱锥中 PABCD，底面 ABCD 为边长为 的正方形，PABD（1）求证：PB=PD；（2）若 E，F 分别为 PC，AB 的中点，EF平面 PCD，求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小19 （12 分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产
7、品中任取 5 件作检验，这 5 件产品中优质品的件数记为 n如果 n=3，再从这批产品中任取 2 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 n=4，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；如果 n=5，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验假设这批产品的优质品率为 50%，即取出的产品是优质品的概率都为 ，且各件产品是否为优质品相互独立（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为 200 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 x（单位：元） ，求 x 的分布列20近几年来，我国地区经常出现雾霾天气，
8、某学校为了学生的健康，对课间操活动做了如下规定：课间操时间若有雾霾则停止组织集体活动，若无雾霾则组织集体活动预报得知，这一地区在未来一周从周一到周五 5 天的课间操时间出现雾霾的概率是：前 3 天均为 50%，后 2 天均为 80%，且每一天出现雾霾与否是相互独立的（1）求未来一周 5 天至少一天停止组织集体活动的概率；（2）求未来一周 5 天不需要停止组织集体活动的天数 X 的分布列；（3）用 表示该校未来一周 5 天停止组织集体活动的天数，记“ 函数 f（x）=x 2x1 在区间（3，5）上有且只有一个零点”为事件 A，求事件 A 发生的概率21 （12 分）已知点 F（1，0） ，点 A
9、 是直线 l1：x=1 上的动点，过 A 作直线 l2，l 1l 2，线段 AF 的垂直平分线与 l2 交于点 P（）求点 P 的轨迹 C 的方程；（）若点 M，N 是直线 l1 上两个不同的点，且PMN 的内切圆方程为 x2+y2=1，直线 PF 的斜率为k，求 的取值范围22 （12 分）设函数 f（x）=ln（x+1）+a（x 2x） ，其中 aR，（）讨论函数 f（x）极值点的个数，并说明理由；（）若x0，f（x）0 成立，求 a 的取值范围选修 4-1：几何证明选讲23 （10 分）如图所示，ABC 内接于O，直线 AD 与O 相切于点 A，交 BC 的延长线于点 D，过点 D 作
10、DECA 交 BA 的延长线于点 E（I）求证：DE 2=AEBE；（）若直线 EF 与O 相切于点 F，且 EF=4，EA=2，求线段 AC 的长选修 4-4，坐标系与参数方程 】24在平面直角坐标系 xOy 中，设倾斜角为 的直线 l 的方程 （t 为参数） 以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2= ，直线 l 与曲线 C相交于不同的两点 A，B（1）若 = ，求线段 AB 中点 M 的直角坐标；（2）若|PA|PB|=|OP| 2，其中 P（2， ） ，求直线 l 的斜率选修 4-5：不等式选讲25已知函数 f（x）=|x a|+|2x1|（a
11、R） （）当 a=1 时，求 f（x） 2 的解集；（）若 f（x）|2x+1|的解集包含集合 ，1，求实数 a 的取值范围2016-2017 学年福建省福州市外国语学校高三（上）适应性数学试卷（理科） （1）参考答案与试题解析一、选择题(苯大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分） （2016 湖北模拟）已知全集 U=R，集合 A=x|y=log2（x 1），B=y|y=2 x，则 B（ UA）为（ ）A （0，+） B1，+ ） C （0，1 D （1，2）【分析】求出 A 中 x 的范围确定出 A，求出 B 中
12、y 的范围确定出 B，找出 A 补集与 B 的交集即可【解答】解：由 A 中 log2（x1） ，得到 x10，即 x1，A=（ 1，+） ，全集 U=R， UA=（ ，1，由 B 中 y=2x，得到 y0，即 B=（0，+） ，则 A（ UB）= （0，1故选：C【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2 （5 分） （2016 秋 福州校级月考）已知 mR，i 为虚数单位，若 0，则 m=（ ）A1 B C D2【分析】化简代数式，得到关于 m 的不等式组，解出即可【解答】解： = = + i0， ，解得：m= ，故选：B【点评】本题考查了复数的化简运算，
13、考查复数的定义，是一道基础题3 （5 分） （2016 乌鲁木齐模拟）已知向量 、 ，其中| |= ，| |=2，且（ ） ，则向量 和 的夹角是（ ）A B C D【分析】由（ ） ，则（ ） =0，即有 = ，再由向量的数量积的定义和性质，即可得到夹角【解答】解：由于| |= ，| |=2，且（ ） ，则（ ） =0，即有 = ，则 2= ，则有 cos = ，即有向量 和 的夹角为 故选 A【点评】本题考查平面向量及运用，考查向量的数量积的定义和性质，考查运算能力，属于基础题4 （5 分） （2016 黄冈模拟）某射击手射击一次命中的概率是 0.7，连续两次均射中的概率是 0.4，已知某
14、次射中，则随后一次射中的概率是（ ）A B C D【分析】设“某次射中” 为事件 A， “随后一次的射中”为事件 B，则 P（AB）=0.4，P（A）=0.7，利用P（B|A ）= 可得结论【解答】解：设“某次射中” 为事件 A， “随后一次的射中”为事件 B，则 P（AB ）=0.4，P（A）=0.7 ，所以 P（B|A） = = 故选：C【点评】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，比较基础5 （5 分） （2016 惠州三模）下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为 =0.8x155，后因某未知原因第 5 组数据的 y 值模糊不清，此位置数
15、据记为m（如表所示） ，则利用回归方程可求得实数 m 的值为（ ）x 196 197 200 203 204y 1 3 6 7 mA8.3 B8.2 C8.1 D8【分析】根据回归直线经过样本数据中心点，求出 x、y 的平均数，即可求出 m 值【解答】解：根据题意，计算 = （196+197+200+203+204）=200，= （1+3+6+7+m）= ，代入回归方程 =0.8x155 中，可得 =0.8200155=25，解得 m=8故选：D【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题目6 （5 分） （2016 汕头二模）如图，该程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著
16、九章算术中的“更相减损术” ，执行该程序框图，若输出的 a=3，则输入的 a，b 分别可能为（ ）A15、18 B14、18 C13、18 D12、18【分析】由程序框图的输出功能，结合选项中的数据，即可得出输入前 a，b 的值【解答】解：根据题意，执行程序后输出的 a=3，则执行该程序框图前，输人 a、b 的最大公约数是 3，分析选项中的四组数，满足条件的是选项 A故选：A【点评】本题考查了算法和程序框图的应用问题，也考查了我国古代数学史的应用问题，是基础题7 （5 分） （2016 深圳二模）2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，则 3 位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（ ）
17、A B C D【分析】先求出基本事件总数，再求出 3 位女生中有且只有两位女生相邻包含的基本事件个数，由此能求出 3 位女生中有且只有两位女生相邻的概率【解答】解：2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，基本事件总数 n= =120，3 位女生中有且只有两位女生相邻包含的基本事件个数 m= =72，3 位女生中有且只有两位女生相邻的概率 p= = 故选：B【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用8 （5 分） （2016 广州二模）已知函数 f（x）=sin（2x+）0 ）的图象的一个对称中心为（，0） ，则函数 f（x）的单调递减区
18、间是（ ）A2k ，2k+ （k Z） B2k+ ，2k + （k Z）Ck ，k+ （kZ ） Dk+ ，k+ （kZ）【分析】由题意和函数的对称性待定系数可得函数解析式，可得单调递减区间【解答】解：由题意可得 sin（2 +）=0 ，故 2 +=k，解得 =k ，kZ，由 0 可得 = ，f（x）=sin（2x+ ） ，由 2k+ 2x+ 2k+ 可得 k+ xk+ ，函数 f（x）的单凋递减区间为 k+ ，k+ ，kZ故选：D【点评】本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的单调性，属基础题9 （5 分） （2016 汕头二模）已知实数 x、y 满足条件 ，若目标函数 z=3x+y 的
19、最小值为5，则 a 的值为（ ）A17 B2 C2 D17【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数 z=3x+y 的最小值为 5，建立条件关系即可求出 a的值即可【解答】解：目标函数 z=3x+y 的最小值为 5，y=3x +z，要使目标函数 z=3x+y 的最小值为 5，作出不等式组对应的平面区域如图：则目标函数经过点 B 截距最小，由 ，解得 ，即 B（2，1） ，同时 B 也在直线 ax+y+5=0，即 2a1+5=0，解得 a=2，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数 z=3x+y 的最小值为 5，确定平面区域的位置，利用数形结合是解决本题的关键10 （5
20、分） （2016 惠州模拟）某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为 2 的等腰直角三角形，侧视图是边长为 2 的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（ ）A2 B4 C2 D2【分析】由三视图知该几何体为棱锥，其中 SC平面 ABCD；四面体 SABD 的四个面中 SBD 面的面积最大，三角形 SBD 是边长为 2 的等边三角形，即可求出四面体的四个面中面积最大的面积【解答】解：由三视图知该几何体为棱锥 SABD，其中 SC平面 ABCD；四面体 SABD 的四个面中SBD 面的面积最大，三角形 SBD 是边长为 2 的等边三角形，所以此四面体的四个面中面积最大的为 =2 故选
21、：C【点评】本题考查三视图，考查面积的计算，确定三视图对应直观图的形状是关键11 （5 分） （2016 河南二模）已知双曲线 =1 的左、右焦点分别为 F1、F 2，过 F1 作圆 x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点 B、C ，且|BC|=|CF 2|，则双曲线的渐近线方程为（ ）Ay= 3x By= 2x Cy=（ +1）x Dy=（ 1）x【分析】过 F1 作圆 x2+y2=a2 的切线分别交双曲线的左、右两支于点 B、C ，且|BC|=|CF 2|，可得|BF1|=2a，求出 B 的坐标，代入双曲线方程，即可求出双曲线的渐近线方程【解答】解：过 F1 作圆 x2+y2=
22、a2 的切线分别交双曲线的左、右两支于点 B、C ，且|BC|=|CF 2|，|BF 1|=2a，设切点为 T，B（x，y） ，则利用三角形的相似可得x= ，y=B（ ， ）代入双曲线方程，整理可得 b=（ +1）a，双曲线的渐近线方程为 y=（ +1）x，故选：C【点评】本题考查双曲线的渐近线方程，考查学生的计算能力，比较基础12 （5 分） （2016 广州二模）设函数 f（x）的定义域为 R，f（x）=f（x） ，f（x）=f（2x） ，当x0，1时，f（x）=x 3则函数 g（x）=|cos （x）| f（ x）在区间 ， 上的所有零点的和为（ ）A7 B6 C3 D2【分析】根据 f
23、（x）的对称性和奇偶性可知 f（x）在 ， 上共有 3 条对称轴，x=0，x=1，x=2，根据三角函数的对称性可知 y=|cos（x）|也关于 x=0，x=1 ，x=2 对称，故而 g（x）在 ， 上 3 条对称轴，根据 f（x）和 y=|cos（x）|在0，1上的函数图象，判断 g（x）在 ， 上的零点分布情况，利用函数的对称性得出零点之和【解答】解：f（x）=f（2 x） ，f （x）关于 x=1 对称，f（ x）=f（x） ，f（x）根与 x=0 对称，f（x）=f（2x）=f（x 2） ，f（x）=f（x+2） ，f（x）是以 2 为周期的函数，f（x）在 ， 上共有 3 条对称轴，分
24、别为 x=0，x=1，x=2，又 y=|cos（x）关于 x=0，x=1，x=2 对称，x=0，x=1，x=2 为 g（x）的对称轴作出 y=|cos（x）|和 y=x3 在 0，1上的函数图象如图所示：由图象可知 g（x）在（0， ）和（ ，1）上各有 1 个零点又 g（1）=0，g（x）在 ， 上共有 7 个零点，设这 7 个零点从小到大依次为 x1，x 2，x 3，x 6，x 7则 x1，x 2 关于 x=0 对称，x 3，x 5 关于 x=1 对称，x 4=1，x 6，x 7 关于 x=2 对称x 1+x2=0，x 3+x5=2，x 6+x7=4，x 1+x2+x3+x4+x5+x6+
25、x7=7故选：A【点评】本题考查了函数的周期性，奇偶性的应用，函数零点个数判断，属于中档题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分） （2016 河南二模）若 y3（x+ ） n（nN *）的展开式中存在常数项，则常数项为 84 【分析】写出二项式（x+ ） n 的展开式的通项，可得 y3（x+ ） n 的展开式的通项，再由 x，y 的指数为 0 求得 n，r 的值，则答案可求【解答】解：二项式（x+ ） n 的展开式的通项为 ，则要使 y3（x+ ） n（nN *）的展开式中存在常数项，需 ，即 n=9，r=3常数项为： 故答案为：84【点评】本题考查二项式
26、系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题14 （5 分） （2016 广州二模）已知中心在坐标原点的椭圆 C 的右焦点为 F（1，0） ，点 F 关于直线y= x 的对称点在椭圆 C 上，则椭圆 C 的方程为 + =1 【分析】设椭圆的方程为 + =1（ab0） ，由题意可得 c=1，设点 F（1，0）关于直线 y= x 的对称点为（m，n） ，由两直线垂直的条件：斜率之积为 1，以及中点坐标公式，解方程可得 a，b，进而得到椭圆方程【解答】解：设椭圆的方程为 + =1（ab0） ，由题意可得 c=1，即 a2b2=1，设点 F（1，0）关于直线 y= x 的对称点为（m ，n） ，可
27、得 =2，且 n= ，解得 m= ，n= ，即对称点为（ ， ） 代入椭圆方程可得 + =1，解得 a2= ，b 2= ，可得椭圆的方程为 + =1故答案为： + =1【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的焦点，以及点关于直线对称，由点满足椭圆方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题15 （5 分） （2016 秋 福州校级月考）设正三棱锥 ABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上，BC=1，E ，F分别是 AB，BC 的中点，EF DE ，则球 O 的半径为 【分析】根据 EF 与 DE 的垂直关系，结合正棱锥的性质，判断三条侧棱互相垂直，再求得侧棱长，根据体积公式计算即可【解答】
28、解：E、F 分别是 AB、BC 的中点，EFAC，又EFDE，ACDE，取 BD 的中点 O，连接 AO、 CO，三棱锥 ABCD 为正三棱锥，AOBD，COBD ，BD 平面 AOC，又 AC平面 AOC，ACBD，又 DEBD=D，AC平面 ABD；ACAB ，设 AC=AB=AD=x，则 x2+x2=1x= ；所以三棱锥对应的长方体的对角线为 = ，所以它的外接球半径为 故答案为： 【点评】本题考查了正三棱锥的外接球半径求法，关键是求出三棱锥的三条侧棱长度，得到对应的长方体对角线，即外接球的直径16 （5 分） （2016 江西校级模拟）已知数列a n满足 a1=1，|a nan1|=2
29、n1（nN，n2） ，且a 2n1是递减数列，a 2n是递增数列，则 a2016= 【分析】由|a nan1|=2n1， （nN，n2） ，可得：|a 2na2n1|=22n1，|a 2n+2a2n+1|=22n+1，根据：数列a 2n1是递减数列，且a 2n是递增数列，可得 a2na2n1a 2n+2a2n+1，可得：a 2na2n1=22n1，同理可得：a2n+1a2n=22n，再利用“累加求和”即可得出【解答】解：由|a nan1|=2n1， （nN，n2） ，则|a 2na2n1|=22n1，|a 2n+2a2n+1|=22n+1，数列a 2n1是递减数列，且a 2n是递增数列，a 2
30、na2n1a 2n+2a2n+1，又|a 2na2n1|=22n1|a 2n+2a2n+1|=22n+1，a 2na2n10，即 a2na2n1=22n1，同理可得：a 2n+3a2n+2a 2n+1a2n，又|a 2n+3a2n+2|a 2n+1a2n|，则 a2n+1a2n=22n，当数列a n的项数为偶数时，令 n=2k（kN *） ，a 2a1=2，a 3a2=22，a 4a3=23，a 5a4=24，a 2015a2014=22014，a 2016a2015=22015a 2016a1=222+2324+22014+22015= = a 2016= 故答案为： 【点评】本题考查了等比
31、数列前 n 项和公式、数列的单调性，累加法求数列的通项公式，不等式的性质等，同时考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （12 分） （2016 石家庄二模）ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 2bcosC+c=2a（1）求角 B 的大小；（2）若 BD 为 AC 边上的中线，cosA= ，BD= ，求ABC 的面积【分析】 （1）利用正弦定理化简已知表达式，求出 B 的值即可（2）先根据两角和差的正弦公式求出 sinC，再根据
32、正弦定理得到 b，c 的关系，再利用余弦定理可求b，c 的值，再由三角形面积公式可求结果；【解答】解：（1）2bcosC+c=2a由正弦定理可知：2sinBcosC+sinC=2sinA=2sin（B +C）=2sinBcosC+2cosBsinC，sinC=2cosBsinC，cosB=B 为三角形内角，B= ，（2）在ABC 值，cosA= ，sinA= ，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB= + = ， = = ，设 b=7x，c=5x，BD 为 AC 边上的中线，BD= ，由余弦定理，得 BD2=AB2+AD22ABADcosA， =25x2+ 49x225
33、x 7x解得 x=1，b=7，c=5，S ABC = bcsinA= =10 【点评】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，熟记相关公式并灵活运用是解题关键，属于中档题18 （12 分） （2016 石家庄二模）如图，在四棱锥中 PABCD，底面 ABCD 为边长为 的正方形，PABD （1）求证：PB=PD；（2）若 E，F 分别为 PC，AB 的中点，EF平面 PCD，求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小【分析】 （1）连接 AC，BD 交于点 O，连结 PO，则 ACBD，结合 PABD 得出 BD平面 PAC，故而 BDPO，又 O 为 BD 的中点，得出 OP 为 BD
34、 的中垂线，得出结论；（2）设 PD 的中点为 Q，连接 AQ，EQ，证明四边形 AQEF 是平行四边形，于是 AQ平面 PCD，通过证明 CD平面 PAD 得出 CDPA，结合 PABD 得出 PA平面 ABCD，以 A 为原点建立空间直角坐标系，则直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值等于|cos |，从而得出线面角的大小【解答】解：（1）连接 AC，BD 交于点 O，连结 PO底面 ABCD 是正方形，ACBD ，OB=OD又 PABD ，PA平面 PAC，AC 平面 PAC，PAAC=A，BD平面 PAC，PO平面 PAC，BDPO又 OB=OD，PB=PD（2）设 PD 的中点为
35、 Q，连接 AQ，EQ，则 EQCD，EQ= CD，又 AFCD，AF= = ，EQAF ，EQ=AF ，四边形 AQEF 为平行四边形，EF AQ，EF平面 PCD，AQ平面 PCD，AQPD，Q 是 PD 的中点，AP=AD= AQ平面 PCD，AQCD ，又 ADCD，AQ AD=A，CD平面 PAD，CDPA又 BDPA，BDCD=D，PA平面 ABCD以 A 为坐标原点，以 AB，AD ，AP 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 B（ ，0，0） ，P（0，0， ） ，A（0，0，0） ，Q（0， ， ） =（0， ， ） ， =（ ，0， ） AQ平面 PCD， 为平面 PC
36、D 的一个法向量cos = = 设直线 PB 与平面 PCD 所成角为 ，则 sin=|cos |= 直线 PB 与平面 PCD 所成角为 【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，线面角的计算，空间向量的应用，属于中档题19 （12 分） （2016 汕头二模）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 5 件作检验，这 5 件产品中优质品的件数记为 n如果 n=3，再从这批产品中任取 2 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 n=4，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；如果 n=5，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验
37、假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为 ，且各件产品是否为优质品相互独立（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为 200 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 x（单位：元） ，求 x 的分布列【分析】 （1）由题意知：第一次取 5 件产品中，恰好有 k 件优质品的概率为 P（k）= ，由此能求出这批产品通过检验的概率（2）由题意得 X 的可能取值为 1000，1200，1400，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列【解答】解：（1）由题意知：第一次取 5 件产品中，恰好有 k 件优质品的概率为：P（k）= ，k
38、=0 ，1， 2，3，4，5，这批产品通过检验的概率：p= = +5 +（ ） 5= （2）由题意得 X 的可能取值为 1000，1200，1400，P（X=1000）=（ ） 5= ，P（X=1200）= = ，P（X=1400）= + + = ，X 的分布列为：X 1000 1200 1400P【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计算公式的合理运用20 （2016太原二模）近几年来，我国地区经常出现雾霾天气，某学校为了学生的健康，对课间操活动做了如下规定：课间操时间若有雾霾则停止
39、组织集体活动，若无雾霾则组织集体活动预报得知，这一地区在未来一周从周一到周五 5 天的课间操时间出现雾霾的概率是：前 3 天均为 50%，后 2 天均为80%，且每一天出现雾霾与否是相互独立的（1）求未来一周 5 天至少一天停止组织集体活动的概率；（2）求未来一周 5 天不需要停止组织集体活动的天数 X 的分布列；（3）用 表示该校未来一周 5 天停止组织集体活动的天数，记“ 函数 f（x）=x 2x1 在区间（3，5）上有且只有一个零点”为事件 A，求事件 A 发生的概率【分析】 （1）先求出未来一周 5 天都组织集体活动的概率，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有一天停止组织集体活动的
40、概率（2）由题意 X 的取值是 0， 1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出不需要停止组织集体活动的天数 X 的分布列（3）由已知先求出 =3 或 =4，由此能求出事件 A 发生的概率【解答】解：（1）未来一周 5 天都组织集体活动的概率：P=（ ） 3（ ） 2= ，至少有一天停止组织集体活动的概率是：1P= （2）由题意 X 的取值是 0， 1，2，3，4，5，P（X=1）= （ ） 3 = ，P（X=2）= + = ，P（X=3）= = ，P（X=4）= = ，P（X=5）= = ，不需要停止组织集体活动的天数 X 的分布列是：X 0 1 2 3 4 5P（3）函数 f（x）
41、=x 2x1 在区间（3，5）上有且只有一个零点，且 05，则 f（3）f （5）0， ，=3 或 =4，事件 A 发生的概率 P（A）= + + +（ ） 3+ = 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质、对立事件概率计算公式的合理运用21 （12 分） （2016 广州二模）已知点 F（1，0） ，点 A 是直线 l1：x=1 上的动点，过 A 作直线l2，l 1l 2，线段 AF 的垂直平分线与 l2 交于点 P（）求点 P 的轨迹 C 的方程；（）若点 M，N 是直线 l1 上两个不同的点，且PMN 的内切圆方程为 x2+
42、y2=1，直线 PF 的斜率为k，求 的取值范围【分析】 （）点 P 到点 F（1，0）的距离等于它到直线 l1 的距离，从而点 P 的轨迹是以点 F 为焦点，直线 l1：x=1 为准线的抛物线，由此能求出曲线 C 的方程（）设 P（x 0，y 0） ，点 M（1，m） ，点 N（1，n） ，直线 PM 的方程为（y 0m）x（x 0+1）y+（y 0m）+m（x 0+1）=0，PMN 的内切圆的方程为 x2+y2=1，圆心（ 0，0）到直线 PM 的距离为 1，由 x01，得（x 01）m 2+2y0m（x 0+1）=0 ，同理， ，由此利用韦达定理、弦长公式、直线斜率，结合已知条件能求出
43、的取值范围【解答】解：（）点 F（1，0） ，点 A 是直线 l1：x= 1 上的动点，过 A 作直线 l2，l 1l 2，线段 AF的垂直平分线与 l2 交于点 P，点 P 到点 F（1，0）的距离等于它到直线 l1 的距离，点 P 的轨迹是以点 F 为焦点，直线 l1：x=1 为准线的抛物线，曲线 C 的方程为 y2=4x（）设 P（x 0，y 0） ，点 M（1，m） ，点 N（1，n） ，直线 PM 的方程为： ym= （x+1） ，化简，得（y 0m）x （x 0+1）y+（y 0m）+m（x 0+1）=0，PMN 的内切圆的方程为 x2+y2=1，圆心（0，0）到直线 PM 的距离
44、为 1，即 =1， = ，由题意得 x01，上式化简，得（x 01）m 2+2y0m（x 0+1）=0，同理，有 ，m，n 是关于 t 的方程（x 01）t 2+2y t（x 0+1）=0 的两根，m+n= ，mn= ，|MN|=|mn|= = ， ，|y 0|=2 ，|MN|= =2 ，直线 PF 的斜率 ，则 k=| |= ， = = ，函数 y=x 在（1，+）上单调递增， ， ，0 的取值范围是（0， ） 【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查代数式的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线定义、椭圆性质、韦达定理、弦长公式、直线斜率的合理运用22 （12 分） （20
45、15 山东）设函数 f（x）=ln（x+1）+a（x 2x） ，其中 aR，（）讨论函数 f（x）极值点的个数，并说明理由；（）若x0，f（x）0 成立，求 a 的取值范围【分析】 （I）函数 f（x）=ln （x+1）+a（x 2x） ，其中 aR，x （1，+） =令 g（x）=2ax 2+axa+1对 a 与分类讨论可得：（1）当 a=0 时，此时 f（x）0，即可得出函数的单调性与极值的情况（2）当 a0 时，=a （9a 8） 当 时，0，当 a 时，0，即可得出函数的单调性与极值的情况（3）当 a0 时，0即可得出函数的单调性与极值的情况（II）由（I）可知：（ 1）当 0a 时，
46、可得函数 f（x）在（0，+）上单调性，即可判断出（2）当 a1 时，由 g（0）0，可得 x20，函数 f（x）在（0，+）上单调性，即可判断出（3）当 1a 时，由 g（0）0，可得 x20，利用 x（0，x 2）时函数 f（x）单调性，即可判断出；（4）当 a0 时，设 h（x）=xln （x+1） ，x（0，+） ，研究其单调性，即可判断出【解答】解：（I）函数 f（x）=ln （x+1）+a（x 2x） ，其中 aR，x （1，+） = 令 g（x）=2ax 2+axa+1（1）当 a=0 时，g（x）=1，此时 f（x）0，函数 f（x）在（1，+）上单调递增，无极值点（2）当 a0 时，=a 28a（1a）=a（9a 8） 当 时，0，g（x）0，f（x）0，函数 f（x）在（1，+）上单调递增，无极值点当 a 时， 0，设方程 2ax2+axa+1=0 的两个实数根分别为 x1，x 2，x 1x 2x 1+x2= ， ， 由 g（1
