1、2015-2016 学年江苏省南京市金陵中学河西分校高三(上)期中数学模拟试卷(3)一、填空题:1已知全集 U=R,集合 A=x|2x3,B=x|y= ,则集合 AUB= 2若 a,bR ,i 为虚数单位,且( a+i)i=b+i,则 a+b= 3同时抛掷两个骰子,向上的点数之积为 3 的倍数的概率是 4某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部在 13 秒与 18 秒之间,大于或等于 14 秒的为良好,由测试结果得到的频率分布直方图如图,则该班百米测试中成绩良好的人数有人 5已知函数 y=sin(x+ ) ( 0, )的图象如图所示,则 f(0)= 6如图是一个算法的流程图,若输入 x=2
2、,则输出 k 的值是 7将函数 的图象先向左平移 ,然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,则所得到的图象对应的函数解析式为 8已知 a,b,c 分别是ABC 的三个内角 A,B ,C 所对的边,若 a=1,b= ,A+C=2B,则 sinC= 9在ABC 中, =2 , =m +n ,则 mn= 10等差数列a n前 9 项的和等于前 4 项的和若 a10,S k+3=0,则 k= 11在ABC 中,B=120 ,AB= ,A 的角平分线 AD= ,则 AC= 12若函数 f(x)= ,若 f(f( ) )=4 ,则 b= 13已知函数 f(x)= 若存在实数 b
3、,使函数 g(x)=f(x) b 有两个零点,则 a 的取值范围是 14已知函数 ,分别给出下面几个结论:f(x)是奇函数;函数 f (x) 的值域为 R;若 x1x2,则一定有 f(x 1) f(x 2) ; 函数g(x)=f(x)+x 有三个零点其中正确结论的序号有 (请将你认为正确的结论的序号都填上)二、解答题:15在斜三角形 ABC 中,角 A,B ,C 的对边分别为 a,b,c(1)若 2sinAcosC=sinB,求 的值;(2)若 sin(2A+B)=3sinB,求 的值16已知 cos( )= ,sin(+ )= ,其中 0 (1)求 sin2 的值;(2)求 cos(+ )的
4、值17已知函数 f(x)=ax 2(5a 1)x+3a+1 (a R) (1)若 f(x)在区间1,+)上是单调增函数,求 a 的取值范围; (2)在(1)的条件下,若函数 f(x)在区间1 ,5上有零点,求 a 的取值范围18如图,有一块圆心角为 90,半径为 2 的扇形钢板,计划将此钢板切割成顶部为等腰梯形的形状,最终变成图的形状,OMCD,垂足为 M(1)设MOD=,以 为自变量,将五边形 OADCB 的面积 S 表示成 的函数关系式;(2)设 t=cossin,求 t 的取值范围;用仅含 t 的式子表示五边形 OADCB 的面积 S,并求出 S 的最大值及取得最大值时 的值19已知等差
5、数列a n的前 n 项和为 Sn,公差 d0,且 S3+S5=50,a 1,a 4,a 13 成等比数列(1)求数列a n的通项公式;(2)若从数列a n中依次取出第 2 项、第 4 项、第 8 项,第 2n 项,按原来顺序组成一个新数列b n,记该数列的前 n 项和为 Tn,求 Tn 的表达式20已知函数 f(x)=x 3+ax2a2x+2,aR(1)若 a0 时,试求函数 y=f(x)的单调递减区间;(2)若 a=0,且曲线 y=f(x)在点 A、B(A、B 不重合)处切线的交点位于直线 x=2 上,证明:A、B 两点的横坐标之和小于 4;(3)如果对于一切 x1、x 2、x 30,1,总
6、存在以 f(x 1) 、f(x 2) 、f (x 3)为三边长的三角形,试求正实数 a 的取值范围2015-2016 学年江苏省南京市金陵中学河西分校高三(上)期中数学模拟试卷(3)参考答案与试题解析一、填空题:1已知全集 U=R,集合 A=x|2x3,B=x|y= ,则集合 AUB= x| 2x1 【考点】交、并、补集的混合运算【分析】化简集合 B,求出 UB,再计算 AUB【解答】解:全集 U=R,集合 A=x|2x3,B=x|y= =x|x 1,UB=x|x1AUB=x|2x1故答案为:x| 2x12若 a,bR ,i 为虚数单位,且( a+i)i=b+i,则 a+b= 0 【考点】复数
7、相等的充要条件【分析】先化简复数,再利用复数相等则实部与实部等,虚部与虚部等,解出 a、b,可得结果【解答】解:a,bR,i 为虚数单位,且( a+i)i=b+i,1+ai=b+i根据复数相等的定义可知 a=1,b=1则 a+b=11=0故答案为:03同时抛掷两个骰子,向上的点数之积为 3 的倍数的概率是 【考点】相互独立事件的概率乘法公式;等可能事件的概率【分析】根据题意,同时抛掷两个骰子,共 66=36 种情况,而向上的点数之积为 3 的倍数必须至少有一个骰子向上的点数为 3 的倍数,即 3 或 6,其情况数目,由等可能事件的概率,计算可得答案【解答】解:根据题意,同时抛掷两个骰子,共 6
8、6=36 种情况,而向上的点数之积为 3 的倍数必须至少有一个骰子向上的点数为 3 的倍数,即 3 或 6,其情况数目为 42+62=20 种,则向上的点数之积为 3 的倍数的概率 = ,故答案为 4某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部在 13 秒与 18 秒之间,大于或等于 14 秒的为良好,由测试结果得到的频率分布直方图如图,则该班百米测试中成绩良好的人数有人 47 【考点】频率分布直方图【分析】由题意求出成绩大于或等于 14 秒的频率与频数即可【解答】解:由题意,成绩大于或等于 14 秒的人数为:50(10.06)=47 人故答案为:475已知函数 y=sin(x+ ) ( 0,
9、 )的图象如图所示,则 f(0)= sin 【考点】由 y=Asin(x+ )的部分图象确定其解析式【分析】根据函数的图象,求出周期,利用周期公式求出 ,当 x= 时,y 有最小值1,以及 ,求出 即可得函数解析式,从而代入 x=0 即可计算得解【解答】解:由图象知函数 y=sin( x+)的周期为 2(2 )= = ,= 当 x= 时,y 有最小值1,因此 +=2k (k Z) ,= y=sin( x+ ) ,f( 0)=sin 故答案为:sin 6如图是一个算法的流程图,若输入 x=2,则输出 k 的值是 4 【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 x,k 的值,
10、当 x=122,k=4,满足条件 x100,退出循环体,从而求出最后 k 的值即可【解答】解:模拟执行程序框图,可得x=2,k=0x=321=5,k=1,不满足条件 x100,执行循环体;x=351=14,k=2,不满足条件 x100,执行循环体;x=3141=41,k=3,不满足条件 x100,执行循环体;x=3411=122,k=4,满足条件 x100,退出循环体,输出 k=4故答案为:47将函数 的图象先向左平移 ,然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,则所得到的图象对应的函数解析式为 【考点】函数 y=Asin(x+)的图象变换【分析】先求函数 的图象先向
11、左平移 ,图象的函数表达式,再求图象上所有的点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,则所得到的图象对应的函数解析式【解答】解:将函数 的图象先向左平移 ,得到函数 的图象,将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,则所得到的图象对应的函数解析式为:故答案为:8已知 a,b,c 分别是ABC 的三个内角 A,B ,C 所对的边,若 a=1,b= ,A+C=2B,则 sinC= 1 【考点】正弦定理【分析】先根据 A+C=2B 及 A+B+C=180求出 B 的值,再由正弦定理求得 sinA 的值,再由边的关系可确定 A 的值,从而可得到 C 的值确定最后答案【解答】解
12、:由 A+C=2B 及 A+B+C=180知,B=60,由正弦定理知, ,即 ;由 ab 知,AB=60,则 A=30,C=180AB=90,于是 sinC=sin90=1故答案为:19在ABC 中, =2 , =m +n ,则 mn= 6 【考点】向量的线性运算性质及几何意义【分析】由已知 = = ,从而 = ,由此能求出 mn 的值【解答】解:在ABC 中, =2 , = = , = = ( )= + , = , =3 2 , =m +n ,m=3,n= 2mn=6故答案为:610等差数列a n前 9 项的和等于前 4 项的和若 a10,S k+3=0,则 k= 10 【考点】等差数列的性
13、质;等差数列的前 n 项和【分析】由已知结合等差数列的性质可求得 a7=0,而 a1+a13=2a7=0,由求和公式可得 a1+ak+3=0,可求 k 的值【解答】解:由题意可得,S 9=S4S9S4=a5+a6+a7+a8+a9=0由等差数列的性质可得,5a 7=0a7=0, a1+a13=2a7=0Sk+3= (k+3 )=0a1+ak+3=0k+3=13k=10故答案为:1011在ABC 中,B=120 ,AB= ,A 的角平分线 AD= ,则 AC= 【考点】余弦定理的应用【分析】利用已知条件求出 A,C,然后利用正弦定理求出 AC 即可【解答】解:由题意以及正弦定理可知: ,即 ,
14、ADB=45,A=18012045,可得 A=30,则 C=30,三角形 ABC 是等腰三角形,AC=2 = 故答案为: 12若函数 f(x)= ,若 f(f( ) )=4 ,则 b= 【考点】分段函数的应用;函数的值【分析】由函数 f(x)= ,f(f( ) )=4,构造关于 b 的方程,解得答案【解答】解:函数 f(x)= ,f( ) = ,若 1,即 b ,则 f(f( ) )=f( )= =4,解得:b= (舍去) ,若 1,即 b ,则 f( f( ) )=f( )= =4,解得:b= ,综上所述:b= ,故答案为:13已知函数 f(x)= 若存在实数 b,使函数 g(x)=f(x)
15、 b 有两个零点,则 a 的取值范围是 a|a 0 或 a1 【考点】函数的零点【分析】由 g(x)=f(x)b 有两个零点可得 f(x)=b 有两个零点,即 y=f(x)与 y=b 的图象有两个交点,则函数在定义域内不能是单调函数,结合函数图象可求 a 的范围【解答】解:g(x)=f(x)b 有两个零点,f( x)=b 有两个零点,即 y=f(x)与 y=b 的图象有两个交点,由 x3=x2 可得,x=0 或 x=1当 a1 时,函数 f(x)的图象如图所示,此时存在 b,满足题意,故 a1 满足题意当 a=1 时,由于函数 f(x)在定义域 R 上单调递增,故不符合题意当 0a1 时,函数
16、 f(x )单调递增,故不符合题意a=0 时,f (x)单调递增,故不符合题意当 a0 时,函数 y=f(x)的图象如图所示,此时存在 b 使得,y=f(x)与 y=b 有两个交点综上可得,a0 或 a1故答案为:a|a0 或 a114已知函数 ,分别给出下面几个结论:f(x)是奇函数;函数 f (x) 的值域为 R;若 x1x2,则一定有 f(x 1) f(x 2) ; 函数g(x)=f(x)+x 有三个零点其中正确结论的序号有 (请将你认为正确的结论的序号都填上)【考点】函数的零点;函数的值域;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断【分析】利用奇函数的定义进行验证 ;当 x0 时,可求其
17、值域,由 知当 x0 时,可求 f(x)值域,x=0 时,f(x)=0,从而可判断;由知若 x1x2,则不一定有 f(x 1)f(x 2) ; 由知 f(x)的图象与 y=x 有三个交点,故可判断【解答】解: 正确当 x0 时, (0,+)(, 1)由知当 x0 时,f(x)= (1,+) ( ,0)x=0 时,f (x)=0函数 f (x) 的值域为 R,故正确;由知若 x1x2,则不一定有 f(x 1)f(x 2) ,由于 x0 时,f (x)= ,x0 时,不妨令函数值为 3,则可知 或 ,故不正确由知 f(x)的图象与 y=x 有三个交点,原点及第二、四象限各一个,函数 g(x)=f
18、(x)+x 有三个零点,故正确故答案为:二、解答题:15在斜三角形 ABC 中,角 A,B ,C 的对边分别为 a,b,c(1)若 2sinAcosC=sinB,求 的值;(2)若 sin(2A+B)=3sinB,求 的值【考点】解三角形【分析】 (1)由 2sinAcosC=sinB,可得 sin(A C)=0 ,故有 A=C,故 a=c, =1(2)由 sin(2A+B)=3sinB,可得 sin(A+B )+A=3sin(A+B)A,利用两角和的正弦公式化简可得tanA= tan(A+B)= tanC,由此求得 的值【解答】解:(1)2sinAcosC=sinB,2sinAcosC=si
19、n(A+C)=sinAcosC+cosAsinC ,于是 sinAcosCcosAsinC=0,即 sin(A C)=0 因为 A,C 为三角形的内角,所以 AC(,) ,从而 AC=0,所以 a=c,故 =1(2)sin (2A+B)=3sinB, sin(A+B)+A=3sin (A+B)A,故 sin(A+B )cosA+cos(A+B)sinA=3sin(A+B)cosA 3cos(A+B)sinA ,故 4cos(A+B )sinA=2sin( A+B)cosA,tanA= tan(A+B)= tanC, = 16已知 cos( )= ,sin(+ )= ,其中 0 (1)求 sin
20、2 的值;(2)求 cos(+ )的值【考点】三角函数的化简求值【分析】 (1)由条件利用诱导公式、二倍角的余弦公式,求得 sin2=cos2( )的值(2)先利用同角三角函数的基本关系求得 sin( )和 cos(+)的值,再利用两角差的余弦公式求得cos(+ )=cos( +) ( )的值【解答】解:(1)cos( )= ,sin (+)= ,其中 0 ,sin2=cos2( )=2 1= (2)cos( )= ,sin(+)= ,其中 0 , 为锐角,+ 为钝角, sin( )= = ,cos(+ )= = ,cos(+ )=cos( +) ( )=cos(+) cos( )+sin (
21、 +)sin ( )= + = 17已知函数 f(x)=ax 2(5a 1)x+3a+1 (a R) (1)若 f(x)在区间1,+)上是单调增函数,求 a 的取值范围; (2)在(1)的条件下,若函数 f(x)在区间1 ,5上有零点,求 a 的取值范围【考点】二次函数的性质;函数零点的判定定理【分析】 (1)通过讨论 a=0,a 0 结合二次函数的性质得到关于 a 的不等式组,求出 a 的范即可;(2)根据函数的零点定理结合函数的单调性求解即可【解答】解:(1)a=0 时:f(x)=x+1,在1 ,+)递增,符合题意;a0 时:若 f(x)在区间1,+)上是单调增函数,则只需 即可,解得:
22、0a ,综上:a0 , ;(2)a=0 时:f(x)=x+1 ,在区间1 ,5上无零点,不合题意,a0 时:即 0a 时:若函数 f(x)在区间1 ,5上有零点,只需 f(1)0,f(5)0 即可, ,解得:a2,由(1)得:0a ,故不存在满足条件的 a18如图,有一块圆心角为 90,半径为 2 的扇形钢板,计划将此钢板切割成顶部为等腰梯形的形状,最终变成图的形状,OMCD,垂足为 M(1)设MOD=,以 为自变量,将五边形 OADCB 的面积 S 表示成 的函数关系式;(2)设 t=cossin,求 t 的取值范围;用仅含 t 的式子表示五边形 OADCB 的面积 S,并求出 S 的最大值
23、及取得最大值时 的值【考点】函数解析式的求解及常用方法;三角函数中的恒等变换应用;三角函数的最值【分析】 (1)设MOD=,以 为自变量,AOD= BOC=45,即可将五边形 OADCB 的面积 S 表示成 的函数关系式;(2)设 t=cossin,利用辅助角公式求 t 的取值范围;用仅含 t 的式子表示五边形 OADCB 的面积 S,用配方法求出 S 的最大值及取得最大值时 的值【解答】解:(1)由题意,AOD= BOC=45,S= sin2+2 sin(45 )=2sin2+4sin(45 ) (090) ;(2)t=cossin = sin( 45) ,090,45 4545,1t 1;
24、t=cossin,sin2=1t2,S=2(1t 2)+2 t=2(t ) 2+3,1t 1,t= ,=15 S 取得最大值 319已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn,公差 d0,且 S3+S5=50,a 1,a 4,a 13 成等比数列(1)求数列a n的通项公式;(2)若从数列a n中依次取出第 2 项、第 4 项、第 8 项,第 2n 项,按原来顺序组成一个新数列b n,记该数列的前 n 项和为 Tn,求 Tn 的表达式【考点】等比数列的性质;数列的求和【分析】 (1)设出等差数列的公差为 d,利用 S3+S5=50,a 1,a 4,a 13 成等比数列,建立方程,求出首项与公差,
25、即可求数列a n的通项公式;(2)确定新数列b n的通项,利用分组求和,即可求 Tn 的表达式【解答】解:(1)设等差数列的公差为 d,则S3+S5=50,a 1,a 4,a 13 成等比数列,3a1+3d+5a1+10d=50, (a 1+3d) 2=a1(a 1+12d)公差 d0, a1=3,d=2数列 an的通项公式 an=2n+1;(2)据题意得 bn= =22n+1数列 bn的前 n 项和公式:T n=(22+1)+(22 2+1)+(22 n+1)=2(2+2 2+2n)+n=2+n=2n+2+n420已知函数 f(x)=x 3+ax2a2x+2,aR(1)若 a0 时,试求函数
26、 y=f(x)的单调递减区间;(2)若 a=0,且曲线 y=f(x)在点 A、B(A、B 不重合)处切线的交点位于直线 x=2 上,证明:A、B 两点的横坐标之和小于 4;(3)如果对于一切 x1、x 2、x 30,1,总存在以 f(x 1) 、f(x 2) 、f (x 3)为三边长的三角形,试求正实数 a 的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】 (1)求导函数,令 f(x)0,结合 a0,可得函数单调递减区间;(2)设在点 A(x 1,x 13+2) 、B (x 2,x 23+2)处切线的交点位于直线 x=2 上一点 P(2,t ) ,求出切线方程
27、,代入点 P 的坐标,两方程相减,借助于基本不等式,即可证得 A、B 两点的横坐标之和小于 4;(3)先确定 0a2,再求导函数,确定函数的单调性与最小值,进而可确定正实数 a 的取值范围【解答】 (1)解:f(x)=3x 2+2axa2=3(x+a) (x )令 f(x)0,a0,函数单调递减区间 , a;(2)证明:当 a=0 时,f(x )=x 3+2设在点 A(x 1,x 13+2) 、B (x 2,x 23+2)处切线的交点位于直线 x=2 上一点 P(2,t ) ,y=3x2,在点 A 处的切线斜率为 k=在 A 处的切线方程为 y(x 13+2)= (xx 1)切线过点 P,t
28、(x 13+2)= (2 x1) 同理 可得x1x2,x1x2,0 x1+x24A、 B 两点的横坐标之和小于 4;(3)解:由题设知,f(0) f(1)+f(1) ,即 22(a 2+a+3) , 1a2a0,0a2x 时, f(x)0,f(x)单调递减;当 x 时,f(x)0,f(x)单调递增当 x= 时,f(x)有最小值 f( )=f( ) = 0,f (0)2( ),f(1)2( ),由得 a ;由得 , 0a 2,不等式化为 0令 g(a)= ,则 g(a )= ,g(a)为增函数g( 2) = 0,当 时,g(a )0 恒成立,即 成立正实数 a 的取值范围为 2016 年 7 月 20 日