1、2015-2016 学年天津市五区县高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：在每个小题给给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1设全集为 R，集合 A=xZ|1x3，集合 B=1，2，则集合 A（ RB）=（ ）A0 ，3 B1，0，1， 2，3 C1，0，3 D 1，02在“ 世界杯 ”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高一年级 1000 名学生收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为 50，将数据分组整理后，列表如下：观看场数 0 1 2 3 4 5 6 7观看人数占调查人数的百分比8% 10% 20% 26% 16% m% 6% 2%从表中可以得出正确的结论为（ ）A表
2、中 m 的数值为 8B估计观看比赛不低于 4 场的学生约为 360 人C估计观看比赛不低于 4 场的学生约为 720 人D若从 1000 名学生中抽取样容量为 50 的学生时采用系统抽样，则分段的间隔为 253阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的 S 的值为（ ）A B C D4若 xR，则“ x1”是“|x|1”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5双曲线 C： =1（a0，b0）的右焦点为 F，若以点 F 为圆心，半径为 a 的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线 C 的离心率等于（ ）A B C2 D26如图，圆 O 是ABC 的外接圆，A
3、B=BC，DC 是圆 O 的切线，若 AD=4，CD=6，则 AC 的长为（ ）A5 B4 C D37若函数 f（x）=a |x+b|（a 0 且 a1，b R）是偶函数，则下面的结论正确的是（ ）Af（b 3）f（a+2） Bf（b3）f（a+2）Cf（b3）=f （a+2） Df（b3）与 f（a+2）的大小无法确定8已知函数 f（x）= ，函数 g（x）是周期为 2 的偶函数，且当 x0，1时，g（x）=2 x1，则函数 F（x）=f（x）g（x）的零点个数为（ ）A8 B7 C6 D5二、填空题：本大题有 6 道小题，每题 5 分，共 30 分9若 z（1+i）=（1 i） 2（i 为
4、虚数单位） ，则 z= 10在长方形 ABCD 中，AB=3，BC=2 ，E 为 CD 上一点，将一个质点随机投入长方形中，则质点落在阴影部分的概率为 11某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 12已知正数 a，b 满足 2a4b8，则 ab 的最大值为 13如图，已知 ABCD 是底角为 60的等腰梯形，其中 ABCD，AD=4 ，DC=6 ， =2 ， =2，则 的值为 14若函数 f（x）= sinxcosx（ 0）在区间（， ）与至少存在两个极大值点，则 的取值范围是 三、解答题：本大题共有 6 道小题，共 80 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15设ABC 的内角 A
5、，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 c= ，sinB=3sinA （1）若 C= ，求 a，b 的值；（2）若 cosC= ，求ABC 的面积16某市大型国有企业按照中央“调结构、保增长、促发展 ”的指示精神，计划投资甲乙两个项目，前期调研获悉，甲项目每投资百万元需要配套电能 2 万千瓦，增加产值 200 万元；乙项目每投资百万元需要配套电能 4 万千瓦，增加产值 300 万元，根据该企业目前资金储备状况仅能最多投资3000 万元，配套电能 100 万千瓦（）假设企业在甲、乙两个项目投资额分别为 x，y（单位：百万元） ，请写出 x，y 所满足的约束条件，并在所给出的坐标系画出可行域；（）
6、计算如何安排对甲、乙两个项目投资额，才能使产值有最大的增加值17已知四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的侧棱 AA1底面 ABCD，ABCD 是等腰梯形，ABDC，AB=2 ，AD=1，ABC=60，E，F 分别是 A1C，A 1B1 的中点（）求证：D 1E平面 BB1C1C；（）求证：BCA 1C；（）若 A1A=AB，求 DF 与平面 A1ADD1 所成角的正弦值18已知各项均为正数的数列a n的前 n 项和为 Sn，且 4Sn=a +2an+1（nN） （1）求a n的通项公式；（2）设 f（n）= （n，kN） ，b n=f（2 n+4） ，求数列b n的前 n 项和 Tn19已知椭
7、圆 C： + =1（ab0）的离心率为 ，左右焦点分别为 F1，F 2，点 A 在椭圆 C 上，AF1F2 的周长为 6（）求椭圆 C 的方程；（）过点 A 作直线 l 与椭圆 C 的另一个交点为 B，若以 AB 为直径的圆恰好过坐标原点 O，求证：为定值20已知函数 f（x）=mlnx x2+2（mR） （）当 m=1 时，求 f（x）的单调区间；（）若 f（x）在 x=1 时取得极大值，求证：f（x）f（x）4x3；（）若 m8，当 x1 时，恒有 f（x）f（x）4x3 恒成立，求 m 的取值范围2015-2016 学年天津市五区县高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择
8、题：在每个小题给给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1设全集为 R，集合 A=xZ|1x3，集合 B=1，2，则集合 A（ RB）=（ ）A0 ，3 B1，0，1， 2，3 C1，0，3 D 1，0【考点】交、并、补集的混合运算【专题】对应思想；定义法；集合【分析】根据补集与交集的定义，写出 RB 与 A（ RB）即可【解答】解：全集为 R，集合 A=xZ|1x3=0 ，1，2，3 ，集合 B=1，2， RB=xR|x1 且 x2，集合 A（ RB）=0，3故选：A【点评】本题考查了交集与补集的定义与运算问题，是基础题目2在“ 世界杯 ”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高一年级 1
9、000 名学生收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为 50，将数据分组整理后，列表如下：观看场数 0 1 2 3 4 5 6 7观看人数占调查人数的百分比8% 10% 20% 26% 16% m% 6% 2%从表中可以得出正确的结论为（ ）A表中 m 的数值为 8B估计观看比赛不低于 4 场的学生约为 360 人C估计观看比赛不低于 4 场的学生约为 720 人D若从 1000 名学生中抽取样容量为 50 的学生时采用系统抽样，则分段的间隔为 25【考点】系统抽样方法【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】由频率分布表的性质，求出 m=12；先由频率分布表求出观看比赛不低
10、于 4 场的学生所占比率为 36%，由此估计观看比赛不低于 4 场的学生约为 360 人；若从 1000 名学生中抽取样容量为50 的学生时采用系统抽样，则分段的间隔为 20【解答】解：由频率分布表的性质，得：m=10081020261662=12，故 A 错误；观看比赛不低于 4 场的学生所占比率为：16%+12%+6%+2%=36%，估计观看比赛不低于 4 场的学生约为：100036%=360 人，故 B 正确，C 错误；若从 1000 名学生中抽取样容量为 50 的学生时采用系统抽样，则分段的间隔为 =20，故 D 错误故选：B【点评】本题考查系统抽样的应用，是基础题，解题时要认真审题，
11、注意系统抽样的性质的合理运用3阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的 S 的值为（ ）A B C D【考点】程序框图【专题】计算题；分析法；算法和程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S，i 的值，当 i=4 时，满足条件 i3，退出循环，用裂项法即可求值【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，i=1不满足条件 i3，S= ， i=2不满足条件 i3，S= + ，i=3不满足条件 i3，S= + + ，i=4满足条件 i3，退出循环，输出 s 的值S= + + =1 = 故选：C【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的 s，K 的值是解题
12、的关键，属于基本知识的考查4若 xR，则“ x1”是“|x|1”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可【解答】解：由|x|1 得1x1，则“x 1 ”是“|x|1”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键5双曲线 C： =1（a0，b0）的右焦点为 F，若以点 F 为圆心，半径为 a 的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线 C 的离心率等于（ ）A B C2 D2【考点
13、】双曲线的简单性质【专题】计算题；对应思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据双曲线方程表示出 F 坐标，以及渐近线方程，由以点 F 为圆心，半径为 a 的圆与双曲线 C 的渐近线相切，得到圆心 F 到渐近线距离 d=r，整理得到 a=b，再利用双曲线的简单性质及离心率公式计算即可【解答】解：根据题意得：圆心 F（c，0） ，半径为 a，双曲线渐近线方程为 y= x，即bxay=0，以点 F 为圆心，半径为 a 的圆与双曲线 C 的渐近线相切，且 c2=a2+b2，圆心 F 到渐近线的距离 d= =a，即 a=b，c= = = = a，则双曲线 C 的离心率 e= = ，故选：B【
14、点评】此题考查了双曲线的简单性质，直线与圆相切的性质，熟练掌握双曲线的简单性质是解本题的关键6如图，圆 O 是ABC 的外接圆，AB=BC，DC 是圆 O 的切线，若 AD=4，CD=6，则 AC 的长为（ ）A5 B4 C D3【考点】与圆有关的比例线段【专题】选作题；数形结合；综合法；推理和证明【分析】由切割线定理求出 AB=BC=5，由弦切角定理得到BCDCAD，由此能求出 AC【解答】解：圆 O 是ABC 的外接圆，AB=BC，DC 是圆 O 的切线，AD=4，CD=6，ACD=ABC，CD 2=ADBD，即 36=4（4+AB） ，解得 AB=5，BC=5ACD=ABC， D=D，B
15、CDCAD， ， ，解得 AC= 故选：C【点评】本题考查与圆有关的线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意切割线定理和弦切角定理的合理运用7若函数 f（x）=a |x+b|（a 0 且 a1，b R）是偶函数，则下面的结论正确的是（ ）Af（b 3）f（a+2） Bf（b3）f（a+2）Cf（b3）=f （a+2） Df（b3）与 f（a+2）的大小无法确定【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】分类讨论；转化法；函数的性质及应用【分析】根据函数奇偶性的性质求出 b=0，然后结合指数函数的单调性，进行比较大小即可【解答】解：f（x）=a |x+b|（a0 且 a1，b R）是偶函数，f（
16、x）=f（x） ，即 a|x+b|=a|x+b|，即|x b|=|x+b|，即 b=0，则 f（x）=a |x|，a0 且 a1，a+22 且 a3，而 b3=3，即 f（b3）=f（ 3）=f（3） ，若 a1，则 f（x）在（0，+）上为增函数，此时 a+2 3，则 f（b 3）f （a+2） ，若 0a1，则 f（x）在（0，+）上为减函数，此时 2a+23，则 f（b 3）f （a+2） ，综上 f（b 3）f（a+2） ，故选：A【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性的性质求出 b 的大小，利用分类讨论结合指数函数的单调性是解决本题的关键8已知函数 f（x）= ，函数
17、g（x）是周期为 2 的偶函数，且当 x0，1时，g（x）=2 x1，则函数 F（x）=f（x）g（x）的零点个数为（ ）A8 B7 C6 D5【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】计算题；作图题；数形结合；函数的性质及应用【分析】函数 F（x）=f （x）g（x）的零点个数可化为函数 f（x）= 及函数g（x）的图象的交点的个数，从而利用数形结合求解【解答】解：由题意作函数 f（x）= 及函数 g（x）的图象如下，结合图象可知，函数 f（x）与 g（x）的图象共有 6 个交点，故函数 F（x）=f （x）g（x）的零点个数为 6，故选：C【点评】本题考查了函数的零点与函数的图象的关系应用及
18、数形结合的思想应用二、填空题：本大题有 6 道小题，每题 5 分，共 30 分9若 z（1+i）=（1 i） 2（i 为虚数单位） ，则 z= 1i 【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由 z（1+i）=（ 1i） 2，得故答案为：1 i【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题10在长方形 ABCD 中，AB=3，BC=2 ，E 为 CD 上一点，将一个质点随机投入长方形中，则质点落在阴影部分的概率为 【考点】几何概型【专题】计算题；规律型；函数思想；概率与
19、统计【分析】直接求出图形面积，利用几何概型求解即可【解答】解：在长方形 ABCD 中，AB=3，BC=2 ，E 为 CD 上一点，将一个质点随机投入长方形中，则质点落在阴影部分的面积 =3，矩形的面积为：23=6所求概率为： 故答案为： 【点评】本题考查几何概型概率的求法，是基础题11某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；作图题；数形结合；空间位置关系与距离【分析】由题意作图，从而可得其由三棱柱截去三棱锥得到，从而解得【解答】解：由题意作图如下，其由三棱柱截去三棱锥可得，其中三棱柱的体积 V= 112=1，被截去的三棱锥的体积 V= 111= ，
20、故该几何体的体积为 1 = ，故答案为： 【点评】本题考查了学生的空间的想象力与数形结合的思想应用12已知正数 a，b 满足 2a4b8，则 ab 的最大值为 【考点】基本不等式【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用【分析】正数 a，b 满足 2a4b8，化为 2a+2b23，可得 a+2b3再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：正数 a，b 满足 2a4b8，化为 2a+2b23，a+2b3则 ab= = = ，当且仅当 a=2b= 时取等号故答案为： 【点评】本题考查了指数幂的运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13如图，已知 ABCD 是底角为 60
21、的等腰梯形，其中 ABCD，AD=4 ，DC=6 ， =2 ， =2，则 的值为 【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用【分析】由题意求出 AB，然后利用共线向量基本定理把 、 用梯形四边所在向量表示，展开后代入数量积公式得答案【解答】解：如图，ABCD 是底角为 60的等腰梯形，ABCD，AD=4，DC=6，可求得 AB=2又 ， = ， = 故答案为： 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量的加法与减法的三角形法则，是中档题14若函数 f（x）= sinxcosx（ 0）在区间（， ）与至少存在两个极大值点，则 的取值范围是 （ ，+） 【考
22、点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】求出 f（x）的极大值点，令绝对值最小的两个极大值点在区间（ ，）上，列不等式解出【解答】解：f（x）=2sin（x ） ，令 f（x）=2 得 sin（ x ）=1， x = +2k解得 x= + 当 k=0 时，x= ，当 k=1 时，x= ，当 k=1 时，x= ，f（ x）在区间（，）与至少存在两个极大值点， ，解得 故答案为（ ，+） 【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，求出极大值点是解题关键三、解答题：本大题共有 6 道小题，共 80 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15
23、设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 c= ，sinB=3sinA （1）若 C= ，求 a，b 的值；（2）若 cosC= ，求ABC 的面积【考点】余弦定理；正弦定理【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】 （1）由已知等式及正弦定理可得 b=3a，由余弦定理可得 c2=a2+b22abcosC，联立即可解得a，b 的值（2）先求 ，又 b=3a，由余弦定理可得 ，可求 a，b 的值，利用三角形面积公式即可求值得解【解答】 （本小题满分 13 分）解：（1） ，由正弦定理知 sinB=3sinA 即 b=3a，（4 分）当 时，由余弦定理可得 c2=a2+b
24、22abcosC，即 7=a2+9a23a2，解得 a=1，b=3（7 分）（2）由 得 ，又 b=3a，由余弦定理可得 c2=a2+b22abcosC=a2+9a22a2=8a2，即 （9 分）因为 ，所以 ，（12 分）因此 （13 分）【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题16某市大型国有企业按照中央“调结构、保增长、促发展 ”的指示精神，计划投资甲乙两个项目，前期调研获悉，甲项目每投资百万元需要配套电能 2 万千瓦，增加产值 200 万元；乙项目每投资百万元需要配套电能 4 万千瓦，增加产值 300
25、万元，根据该企业目前资金储备状况仅能最多投资3000 万元，配套电能 100 万千瓦（）假设企业在甲、乙两个项目投资额分别为 x，y（单位：百万元） ，请写出 x，y 所满足的约束条件，并在所给出的坐标系画出可行域；（）计算如何安排对甲、乙两个项目投资额，才能使产值有最大的增加值【考点】基本不等式在最值问题中的应用【专题】数形结合；分析法；不等式的解法及应用【分析】 （I）由题意知投资额 x，y 所满足的约束条件 ，分别求出 O，A，B，C 四点的坐标，画出不等式组表示的可行域；（II）目标函数为 z=200x+300y，可通过 z=0 的直线平移可得经过 A 点时取得最大值【解答】解：（I）
26、由题意知投资额 x，y 所满足的约束条件为，对应的边界点分别为 O（0， 0） ，A （10，20） ，B（0，25） ，C（30，0） ，如图，可行域为四边形 OCAB 及其内部区域（含边界） （II）目标函数为 z=200x+300y，其斜率为 ，而可行域的边界对应的斜率分别为 ，所以当目标函数对应的动直线 z=200x+300y 经过点 A（10，20）时，即甲、乙两个项目投资额分别安排 1000 万元、2000 万元，才能使产值有最大的增加值【点评】本题考查简单线性规划的运用，考查数形结合的思想方法，以及运算能力，属于中档题17已知四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的侧棱 AA1底面
27、ABCD，ABCD 是等腰梯形，ABDC，AB=2 ，AD=1，ABC=60，E，F 分别是 A1C，A 1B1 的中点（）求证：D 1E平面 BB1C1C；（）求证：BCA 1C；（）若 A1A=AB，求 DF 与平面 A1ADD1 所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质【专题】规律型；数形结合；方程思想；转化思想；空间位置关系与距离；空间角【分析】 （ I）连结 D1F，EF，B 1C，通过证明 EFCB1A 1B1D1C1，说明四边形 C1D1FB1 为平行四边形，证明平面 D1EF平面 BB1C1C，然后证明 D1E平面 BB1C1C（ I
28、I）连结 AC，证明 BCACA 1ABC推出 BC平面 A1AC，即可证明 BCA1C（ III）取 A1D1 的中点 G，连结 FG，推出 FG平面 A1ADD1连结 DG，说明FDG 为直线 DF 与平面 A1ADD1 所成的角在 RtFDG 中，求解即可【解答】 （本小题满分 13 分）（ I）证明：连结 D1F，EF，B 1C，因为 EF 是 A1CB1 的中位线，所以 EFCB1因为 ABDC，所以 A1B1D1C1，又因为 AB=2AD=2，ABC=60，可求 D1C1=1，故 D1C1=FB1，所以四边形 C1D1FB1 为平行四边形，所以 D1FC1B1，又因为 EFD1F=
29、F，CB 1C1B1=B1，所以平面 D1EF平面 BB1C1C，又因为 D1E平面 D1EF所以 D1E平面 BB1C1C （4 分）（ II）证明：连结 AC，在等腰 ADC 中可求 AC= ，又因为 BC=1，AB=2 ，所以 AC2+BC2=AB2，所以 BCAC又四棱柱是直四棱柱，故 A1A平面 ABCD，BC平面 ABCD，所以 A1ABC因为 A1AAC=A，所以 BC平面 A1AC，A 1C平面 A1AC，所以 BCA1C （8 分）（ III）解：取 A1D1 的中点 G，连结 FG，由已知可知A 1D1F 为正三角形，故 FGA1D1，又因为四棱柱是直四棱柱，所以平面 A1
30、D1F平面 A1ADD1，所以 FG平面 A1ADD1连结 DG，则FDG 为直线 DF 与平面 A1ADD1 所成的角在 RtFDG 中， ，故 ，所以 （13 分）【点评】本题考查直线与平面平行，直线与平面垂直的判断与性质，直线与平面孙传庭的求法，考查空间想象能力以及计算能力18已知各项均为正数的数列a n的前 n 项和为 Sn，且 4Sn=a +2an+1（nN） （1）求a n的通项公式；（2）设 f（n）= （n，kN） ，b n=f（2 n+4） ，求数列b n的前 n 项和 Tn【考点】数列的求和【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】 （）通过 与 （n2）
31、作差、整理可知数列an是公差为 2 的等差数列，进而计算可得结论；（）通过（I）可知 b1=a2=5、b 2=a1=1，当 n3 时 bn=2n1+1，整理即得结论【解答】解：（I）4S n=a +2an+1， ，当 n2 时， ，两式相减得：（a n+an1） （a nan12）=0，数列 an各项为正数，当 n2 时，a nan1=2，即数列a n是公差为 2 的等差数列，又 ，解得 a1=1，an=2n1；（II）由 f（n）的表达式可知 b1=f（6）=f（3）=a 3=5，b2=f（8）=f（4）=f（2）=f（1）=a 1=1，当 n3（nN）时，故 n3 时，=2n+n，综上可知
32、 Tn= 【点评】本题考查数列的通项及前 n 项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题19已知椭圆 C： + =1（ab0）的离心率为 ，左右焦点分别为 F1，F 2，点 A 在椭圆 C 上，AF1F2 的周长为 6（）求椭圆 C 的方程；（）过点 A 作直线 l 与椭圆 C 的另一个交点为 B，若以 AB 为直径的圆恰好过坐标原点 O，求证：为定值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系【专题】计算题；分类讨论；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】 （）利用离心率，椭圆的定义，列出方程组，即可求解椭圆 C 的方程（）若以 AB 为
33、直径的圆恰好过坐标原点 O，得到 转化 的值即为点 O到直线 AB 的距离 d，当 AB 的斜率不存在时，当 AB 的斜率存在时，设 AB 的方程为 y=kx+t，利用韦达定理综上，求出 为定值【解答】 （本小题满分 14 分）解：（）由已知得 ，解得 所以椭圆 C 的方程为 （4 分）（）若以 AB 为直径的圆恰好过坐标原点 O，则 所以 的值即为点 O 到直线 AB 的距离 d（7 分）当 AB 的斜率不存在时，可设 A（m，m ） ，B （m， m） ，又 A，B 在椭圆 C 上，所以 ，即 所以点 O 到直线 AB 的距离为 （8 分）当 AB 的斜率存在时，可设 AB 的方程为 y=
34、kx+t，与椭圆 联立消 y 得（3+4k 2）x2+8ktx+4t212=0，由0，得 3+4k2t 2设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 （10 分）由 ，得 x1x2+y1y2=x1x2+（kx 1+t） （kx 2+t）= =，化简得 7t2=12（k 2+1） （12 分）所以点 O 到直线 AB 的距离为 = = 综上，点 O 到直线 y=kx+t 的距离为定值，且定值为 ，即 为定值，且定值为 （14 分）【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力20已知函数 f（x）=mlnx x2+2
35、（mR） （）当 m=1 时，求 f（x）的单调区间；（）若 f（x）在 x=1 时取得极大值，求证：f（x）f（x）4x3；（）若 m8，当 x1 时，恒有 f（x）f（x）4x3 恒成立，求 m 的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值【专题】计算题；规律型；分类讨论；转化思想；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】 （）f（x）的定义域为（ 0，+ ） ，求出函数的导数，利用 f（x）=0，求出极值点判断函数的单调性，求出单调区间（）利用 f（x）在 x=1 时取得极大值，求出 m，令 g（x）=f（x）f （x）4x+3，通过函数的导数，求出
36、函数的最值即可（）令 ，求出导函数，通过当m2 时，g（x）0，当 2m 8 时，求出 g（x）取得最大值然后求解 2m8【解答】 （本小题满分 14 分）解：（）f（x）的定义域为（ 0，+ ） ， ，（1 分）解 f（x）=0，得 当 时，f （x）0，f（x）单调递增；当 时，f（x）0，f （x）单调递减（3 分）综上，当 m=1 时，f（x）在 上单调递增，在 上单调递减（4 分）（）若 f（x）在 x=1 时取得极大值，则 ，则 m=2（5 分）此时 f（x）=2lnx x2+2， 令 g（x）=f（x）f（x）4x+3，则 .（6 分）令 g（x）=0 ，得 x=1列表得x （0
37、，1） 1 （1，+）g（x） + 0 g（x） 极大值 （8 分）由上表知，g max（x）=g（1）=0，所以 g（x） 0，即 f（ x） f（x）4x3（9 分）（）令 （10 分）则 当 m2 时，g（x）0，所以 g（x）在（1，+）上单调递减，所以当 x1，g（x） g（1） ，故只需 g（1） 0，即 12m+50，即 m2，所以 m=2（12 分）当 2m8 时，解 g（x） =0，得 当 时，g（x）0，g（x）单调递增；当 时，g（x）0，g（x）单调递减所以当 时，g（x）取得最大值故只需 ，即 ，令 ，则 ，所以 h（x）在（1，+）上单调递增，又 h（1）= 20，h （4）=ln410，以x 0（1，4） ，h （x 0）=0，所以 h（x）在（1，x 0）上单调递减，在（x 0，4）上递增，而 h（1）=14+5=0 ，h（4）=4ln448+5=8ln270，所以 x1，4上恒有 h（x）0，所以当 2m8 时， 综上所述，2m 8（14 分）【点评】本题考查函数的最值的求法，函数的极值以及函数的单调区间的应用，考查构造法的应用，分析问题解决问题的能力
