1、北京中考数学周老师的博客： http:/ 北京市西城区 20102011 学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学 2011.1考生须知1本试卷共 5 页，共五道大题，25 道小题，满分 120 分。考试时间 120 分钟。2试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。3在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1. 抛物线 的对称轴为（ ）. 21yxA直线 B直线 C直线 D直线 1x2x2x2. 如图，AB 为O 的直径，点 C 在O 上，若C=15，则B
2、OC =（ ）.A60 B45 C30 D15 3. 如图，在 84 的矩形网格中，每格小正方形的边长都是 1，若ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则 tanACB 的值为（ ）.A1 B C D 13224用配方法将 化成 的形式为（ ）.26yx()yaxhkA B () 23C D2 ()5如图，将ABC 的三边分别扩大一倍得到 （顶点均在格点上），1ABC若它们是以 P 点为位似中心的位似图形，则 P 点的坐标是（ ）.A B(4,3)(3,)C D, ,46. 某商店购进一种商品，单价为 30 元试销中发现这种商品每天的销售量 P（件）与每件的销售价 x（元）满足关系： .102
3、Px若商店在试销期间每天销售这种商品获得 200 元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）.A B(30)12)0xx(102)xC D 307. 如图，OAB 中，OA =OB，A=30 ，O 与 AB 相切，切点为 E，并分别交OA，OB 于 C，D 两点，连接 CD.若 CD 等于 ，则扇形 OCED 的面积等于（ 2 ）.北京中考数学周老师的博客： http:/ A B C D 2343831638. 如图，OA=4，线段 OA 的中点为 B，点 P 在以 O 为圆心，OB 为半径的圆上运动，PA 的中点为 Q.当点 Q 也落在O 上时，cos OQB 的值等于（ ）.A B C
4、 D12131423二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分）9. 如图，在ABC 中，DEAB 分别交 AC，BC 于点 D，E，若 AD=2，CD=3，则CDE 与CAB 的周长比为 . 10. 两圆的半径分别为 3cm 和 4cm，若圆心距为 5cm，则这两圆的位置关系为 . 11. 如图，平面直角坐标系 xOy 中，点 A ，以 OA 为半径作O，若点 P，B 都在(2,0)O 上，且四边形 AOPB 为菱形，则点 P 的坐标 为 . 12抛物线 （a 0）满足条件：（1） ；（2） ；2yxbc40ab0abc（3）与 x 轴有两个交点，且两交点间的距离小于 2以下有四个结论：
5、； ； ，其中所有正确结论的序号是 0ac43三、解答题（本题共 31 分，第 1317 题每小题 5 分，第 18 题 6 分）13计算： 26tan30si6cos414若关于 x 的方程 有实数根 30xa（1）求 a 的取值范围；（2）若 a 为符合条件的最小整数，求此时方程的根15已知：如图，在 RtABC 中，C=90，ABC=60，AC= ，D 为 CB 延长线上一点，且3BD=2AB求 AD 的长 16右图为抛物线 的一部分，它经过 A ，B 两点cbxy2 (1,0)(,3)（1）求抛物线的解析式；（2）将此抛物线向左平移 3 个单位，再向下平移 1 个单位，求平移后的抛物线
6、的解析式北京中考数学周老师的博客： http:/ 17. 如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部 B 的仰角为 45，看这栋高楼底部 C 的俯角为 60，热气球与高楼的水平距离 AD 为 50m，求这栋楼的高度.（取 1.414， 取 1.732）2318对于抛物线 .243yx（1）它与 x 轴交点的坐标为 ，与 y 轴交点的坐标为 ，顶点坐标为 ；（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线； （3）利用以上信息解答下列问题：若关于 x 的一元二次方程（t 为实数）在 x 的范围内有2430x172解，则 t 的取值范围是 四、解答题（本题共 19 分，第 20 题 4 分，其余每小
7、题 5 分）19已知：如图，在ABC 中，AB=AC = 5，BC= 8，D，E 分别为 BC，AB 边上一点，ADE =C （1）求证：BDECAD；（2）若 CD=2，求 BE 的长20两个长为 2，宽为 1 的矩形 ABCD 和矩形 EFGH 如图 1 所示摆放在直线 l 上，DE=2，将矩形 ABCD绕点 D 顺时针旋转 角（ ） ，将矩形 EFGH 绕点 E 逆时针旋转相同的角度09（1）当两个矩形旋转到顶点 C，F 重合时（如图 2），DCE= ，点 C 到直线 l 的距离等于 ， = ；（2）利用图 3 思考：在旋转的过程中，矩形 ABCD 和矩形 EFGH 重合部分为正方形时，
8、 = 21已知：如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，ODAC 于点 E，交O 于点 F，连接BF，CF，D=BFC. （1）求证：AD 是O 的切线；（2）若 AC=8，tanB = ，求 AD 的长.12x y 北京中考数学周老师的博客： http:/ 22请阅读下面材料：若 ， 是抛物线 （a 0）上不同的两点，证明直线 10(,)Axy20(,)Bxy2yxbc 12x为此抛物线的对称轴.有一种方法证明如下：证明： ， 是抛物线 （a 0）上不同的两点， 10(,)xy20(,)xy2yxbc 且 . 120,abc12-得 .1212()()0xx .ab .12x又 抛物线 （a
9、0）的对称轴为 ，2yxbc2bxa 直线 为此抛物线的对称轴.1（1）反之，如果 ， 是抛物线 （a 0）上不同的1(,)Mxy2(,)Nxy2yxbc两点，直线 为该抛物线的对称轴，那么自变量取 ， 时函数值相等吗？写出你的 1x2猜想，并参考上述方法写出证明过程；（2）利用以上结论解答下面问题：已知二次函数 当 x = 4 时的函数值与 x = 2007 时的函数值相等，求 x = 2012 时的21yxb函数值.五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分）23. 已知关于 x 的一元二次方程 .（其中 m 为实数）2()(1)0mx（
10、1）若此方程的一个非零实数根为 k， 当 k = m 时，求 m 的值； 若记 为 y，求 y 与 m 的关系式；1()25北京中考数学周老师的博客： http:/ （2）当 m2 时，判断此方程的实数根的个数并说明理由.1424. 已知抛物线 （其中 a c 且 a 0）.2()yaxc（1）求此抛物线与 x 轴的交点坐标；（用 a，c 的代数式表示）（2）若经过此抛物线顶点 A 的直线 与此抛物线的另一个交点为 ，yxk(,)acB求此抛物线的解析式；（3）点 P 在（2）中 x 轴上方的抛物线上，直线 与 y 轴的交点为 C，若yxk，求点 P 的坐标； 1tantan4OBC（4）若（
11、2）中的二次函数的自变量 x 在 nx （n 为正整数）的范围内取值时，记它的整数函1数值的个数为 N， 则 N 关于 n 的函数关系式为 .25. 含 30角的直角三角板 ABC 中，A=30.将其绕直角顶点 C 顺时针旋转 角（ 且 01290），得到 Rt ， 边与 AB 所在直线交于点 D，过点 D 作 DE 交 边于点 E，连ABC ABC接 BE.（1）如图 1，当 边经过点 B 时， = ； （2）在三角板旋转的过程中，若CBD 的度数是 CBE 度数的 m 倍，猜想 m 的值并证明你的结论；（3） 设 BC=1，AD= x，BDE 的面积为 S，以点 E 为圆心，EB 为半径作
12、E，当 S= 13ABC时，求 AD 的长，并判断此时直线 与E 的位置关系. AC北京中考数学周老师的博客： http:/ 北京市西城区 2010 2011 学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学参考答案及评分标准 2011.1一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A C B D A A B C二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分）9. . 10. 相交. 11. ， .（每个 2 分）35(1,)(,3)12.，.（写对一个给 2 分，每写一个错误答案扣 1 分，最低 0 分不倒扣分）三、解答题（本题共 31 分，第 1317 题
13、每小题 5 分，第 18 题 6 分）13解： 26tan30si6cos43 分22()3. 5 分1214解：（1） . 1 分4(3)a4 该方程有实数根， 02 分解得 a 3 分1（2）当 a 为符合条件的最小整数时，a = 4 分1此时方程化为 ，方程的根为 5 分240x2x15解：在 RtABC 中，C=90，ABC=60，AC = ，3 ，BC =12 分2sin60AB D 为 CB 延长线上一点，BD=2AB ， BD=4，CD=5 4 分 5 分27C16解：（1） 抛物线经过 A ，B 两点，(1,0)(,3) 图 1北京中考数学周老师的博客： http:/ 1 分1
14、0,3.bc解得 2 分 2,. 抛物线的解析式为 3 分23yx（2） 抛物线 的顶点坐标为 ，2yx(1,4) 平移后的抛物线的顶点坐标为 2,3 平移后的抛物线的解析式为 5 分2()41yxx17解：在 RtABD 中，BDA=90，BAD=45， BD=AD=50(m) 2 分在 RtACD 中， ADC=90，CAD=60 ， (m) 4 分350CDA BC= BD+CD= (m)5 分3(1)36.答：这栋楼约高 136.6 m18解：（1）它与 x 轴交点的坐标为 ，与 y 轴交点的坐标为 ，顶点坐标为 ； (,0) (0,3)(2,1)3 分（2）列表：4 分图象如图 3
15、所示 5 分（3）t 的取值范围是 6 分18t四、解答题（本题共 19 分，第 20 题 4 分，其余每小题 5 分）19（1）证明： AB=AC， B=C 1 分 ADE+BDE=ADB =C +CAD，ADE=C， BDE =CAD 2 分 BDECAD 3 分（2）解：由（1）得 4 分DBAE AB=AC= 5， BC= 8，CD =2， 6C 5 分2.4BA20解：（1）DCE= 60 ，点 C 到直线 l 的距离等于 ， = 30 ； 3 分3x 0 1 2 3 4 y 3 0 -1 0 3 图 4图 3图 2北京中考数学周老师的博客： http:/ （2） = 45 4 分2
16、1（1）证明： ODAC 于点 E， OEA= 90，1+2=90 D= BFC，BFC= 1， D + 2=90，OAD =90 OAAD 于点 A1 分 OA 是O 的半径， AD 是O 的切线 2 分（2）解： ODAC 于点 E，AC 是 O 的弦，AC=8， 3 分42CA B =C， tanB = ，1 在 RtC EF 中，CEF =90，tanC = 12 tan2EF设O 的半径为 r，则 OEr在 RtOAE 中，由勾股定理得 ，即 22AE22()4r解得 r =54 分 在 RtOAE 中， 4tan3 在 RtOAD 中， 5 分20t5ADO22解：（1）结论：自变
17、量取 ， 时函数值相等 1 分1x2证明： ， 为抛物线 上不同的两点，(,)My(,)Ny2yaxbc由题意得 且 211 ,axbc12-，得 . 211121212()()()()yxxab2 分 直线 是抛物线 （a 0）的对称轴，12x2ybc .ba .12x ，即 .3 分1212()()0yxb12y（阅卷说明：其他代数证明方法相应给分；直接利用抛物线的对称性而没有用代数方法进行证明的不给分）（2） 二次函数 当 x = 4 时的函数值与 x = 2007 时的函数值相等，21yxb图 5北京中考数学周老师的博客： http:/ 由阅读材料可知二次函数 的对称轴为直线 .21y
18、xb201x ， .201b1 二次函数的解析式为 . 4 分201yx ， 201(1)由（1）知，当 x = 2012 的函数值与 时的函数值相等.x 当 x = 时的函数值为 ，2()01()201 当 x = 2012 时的函数值为 2011. 5 分五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分）23.解：（1） k 为 的实数根，2()(1)0mxm . 1 分k 当 k = m 时， k 为非零实数根， m 0，方程两边都除以 m，得 .(2)(1)0整理，得 . 230解得 ， . 2 分1 是关于 x 的一元二次方程，2()()
19、x m 2. m= 1. 3 分（阅卷说明：写对 m= 1，但多出其他错误答案扣 1 分） k 为原方程的非零实数根， 将方程两边都除以 k，得 .4 分(2)()0mkk整理，得 . 1()21mk .5 分54y（2）解法一： .6 分22(1)()3613(2)1m当 m 2 时，m0， 0.4 0， 10，0.3()3(2) 当 m2 时，此方程有两个不相等的实数根. 7 分14北京中考数学周老师的博客： http:/ 解法二：直接分析 m2 时，函数 的图象，142()(1)ymxm 该函数的图象为抛物线，开口向下，与 y 轴正半轴相交， 该抛物线必与 x 轴有两个不同交点. 6 分
20、 当 m2 时，此方程有两个不相等的实数根. 7 分14解法三： .6 分22()()3613()4m结合 关于 m 的图象可知，（如图 6）2314当 m 1 时， 4；476当 1m2 时，1 4. 当 m2 时， 0. 当 m2 时，此方程有两个不相等的实数根.47 分24.解：（1）抛物线 与 x 轴交点的横坐标是关于 x 的方程 （其中 a 2()yaxc 2()0acx 0，a c）的解.解得 ， . 1 分12a 抛物线与 x 轴交点的坐标为 ， . 2 分(1,0),)ca（2）抛物线 的顶点 A 的坐标为 .2()yac 2()(,24ac 经过此抛物线顶点 A 的直线 与此
21、抛物线的另一个交点为 ，yxk(,)acB22() ,4 , ()().ackaccaa由得 c =0. 3 分将其代入、 得 1,420.k解得 . 2a 所求抛物线的解析式为 . 4 分2yx（3）作 PEx 轴于点 E， PFy 轴于点 F.（如图 7）抛物线 的顶点 A 的坐标 ，2yx1(,)2图 7图 6北京中考数学周老师的博客： http:/ 点 B 的坐标为 ，点 C 的坐标为 .(1,0)(0,1)设点 P 的坐标为 .,mn 点 P 在 x 轴上方的抛物线 上，2yx ，且 0m 1， .2nn ， .taEnOBtaPFmOC ，1tnt4P .2m解得 m=2n，或 （
22、舍去）. 5 分2n将 m=2n 代入 ，得 .m2830n解得 ， （舍去）.13820 .4 点 P 的坐标为 . 6 分3(,)8（4）N 关于 n 的函数关系式为 N=4n . 7 分说明：二次函数 的自变量 x 在 nx （n 为正整数）的范围内取值，此时 y 随2yx1x 的增大而减小， y ，2n2n其中的整数有 ， ， .12n2n.22()()4N25.（1）当 边经过点 B 时， = 60 ； 1 分A（2）猜想：如图 8，点 D 在 AB 边上时，m =2；如图 9，点 D 在 AB 的延长线上时，m =4.（阅卷说明：为与后边证明不重复给分，猜想结论不设给分点）证明：
23、当 时，点 D 在 AB 边上（如图 8）.0（阅卷说明：、两种情况没写 的取值范围不扣分） DE ，AB .CDE由旋转性质可知，CA = ，CB = ， ACD=BCE.CAB . AB CADCBE. 2 分 A =CBE=30. 点 D 在 AB 边上， CBD=60， ，即 m=2. 3 分2CE 图 8北京中考数学周老师的博客： http:/ 当 时，点 D 在 AB 的延长线上（如图 9）.9012与同理可得 A =CBE=30. 点 D 在 AB 的延长线上， ，180120CBA ，即 m=4. 4 分4CBE（阅卷说明：第（2）问用四点共圆方法证明的扣 1 分.）（3）解：
24、在 RtABC 中，ACB= 90，A=30，BC =1， AB = 2 ， ， .332BCS由 CADCBE 得 .DE AD= x， ， .13BE3x当点 D 在 AB 边上时，AD=x， ，DBE=90.2BADx此时， .133(2)26BESxA当 S = 时， .13C36x整理，得 .210解得 ，即 AD=1.5 分1x此时 D 为 AB 中点， DCB=60，BCE=30=CBE.（如图 10） EC = EB. ，点 E 在 边上，90ACBCB 圆心 E 到 的距离 EC 等于E 的半径 EB. 直线 与E 相切. 6 分当点 D 在 AB 的延长线上时，AD =x， ，DBE=90.（如图 9）.2D.133(2)26BE xSA当 S = 时， .3C36x整理，得 .210解得 ， （负值，舍去）. 1x2x即 . 7 分+AD此时BCE= ，而 ，CBE=30，901 CBE BCE . ECEB，即圆心 E 到 的距离 EC 小于E 的半径 EB.AC 直线 与E 相交. 8 分图 9图 10
