1、12010 年第七届苏北数学建模联赛承 诺 书我们仔细阅读了第六届苏北数学建模联赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。我们的参赛报名号为：1486 参赛组别（本科或专科）：本科参赛队员 (签名)
2、： 队员 1：纪洪敏队员 2：陈丹队员 3：赵兰获奖证书邮寄地址：中国矿业大学（徐州）南湖校区竹一 A411222010 年第七届苏北数学建模联赛编 号 专 用 页参赛队伍的参赛号码：（请各个参赛队提前填写好）：竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：32010 年第七届苏北数学建模联赛题 目 不确定环境下供应链的生产与订购决策问题 摘要本文利用报童理论和允许缺货的库存模型,研究了 不确定环境下供应链的生产与订购决策问题。我们从实际情况中抽象假设了生产商与销售商之间的一种基于库存的契约关系。考虑到成本成本因素（最低）和客户服务质量（最大）通常是
3、矛盾的，为了能相互比较，必须转换成同一量纲，把所有的目标转成一个总目标期望利润最大。为了分析的简便易行，我们使用最简便最广泛的优化工具线性规划方法对各级供应链决策进行优化：以各级厂商的期望利润为线性决策目标，建立线性函数，在一定的线性约束条件下使供应链各级的期望利润达到最大，从而求解出线型变量生产商的最优计划生产量及下游厂商的最优订购量。我们主要应用报童模型进行决策分析，在模型建立过程中应用了数学微积分及概率论知识，算法求解过程中采用EXCEL规划求解简单快捷求出所需变量。我们建立了确定性需求情况下的供应链决策模型，并对问题所给情况进行了算例分析得出生产商最优计划生产量与销售商的最优订购量分别
4、为404和406。之后我们针对问题二建立了不确定的市场需求进行各级供应链的决策优化模型，算例分析求解得生产商最优计划生产量与销售商的最优订购量分别为404和400。在三级供应链的决策优化中，我们将销售商的订货量转化为二级生产商的市场需求，活用报童模型讨论两级生产量不确定环境下各级生产商的决策优化问题，确定市场需求下的算例求解得一级生产商最优计划生产量与二级生产商的最优订购量分别为401和397。.关键词：不确定 报童模型 利润最大化 供应链1一、 问题重述供应链是一种新的企业组织形态和运营方式,包括从客户需求信息开始经过原材料供应、生产批发销售等环节,到最后把产品送到最终用户的各项制造和商业活
5、动。供应链运作过程中需要应对生产和需求的不确定性。在不确定环境下，研究供应链成员的生产与订购决策问题，具有重要的理论和现实意义。(1)考虑包含一个生产商和一个销售商的供应链，即销售商向生产商订购商品，生产商将商品按批发价格批发给销售商，销售商将商品按销售价格销售给最终顾客。若假设商品的最终需求量是确定的，而生产商生产商品量是不确定的，即由于受到各种随机因素的影响，商品实际产量可能不等于计划产量，呈现随机波动。请建立数学模型，确定销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。（2）在问题（1）的供应链中，如果商品的市场需求量也是随机的，即市场需求量是一个随机变量，请建立数学模型，确定销售商的最优订购
6、量和生产商的最优计划产量。（3）实际上，大多数供应链具有两级生产不确定性，即原产品（或原材料）生产的不确定性和成品生产的不确定性，以上供应链中，一级生产商生产原产品（或原材料） ， 二级生产商向一级生产商订购原产品（或原材料） ，并通过加工原产品（或原材料）生 产成品，进而销售给最终顾客，两级生产均具有不确定性。若假设产成品的市场需求量是确定的，请建立数学模型，研究在两级生产不确定的供应链中，二级生产商（产成品生产商）的最优订购量和一级生产商（原材料或原产品生产商）的最优计划产量。在两级生产不确定的供应链中，如果产成品的市场需求量也是一个随机变量,改进你所建立的数学模型，确定二级生产商的最优订
7、购量和一级生产商的最优计划产量.二、 问题分析我们从实际情况中抽象假设了生产商与销售商之间的一种基于库存的契约关系。考虑到成本成本因素（最低）和客户服务质量（最大）通常是矛盾的，为了能相互比较，必须转换成同一量纲，把所有的目标转成一个总目标期望利润最大。为了分析的简便易行，我们使用最简便最广泛的优化工具线性规划方法对各级供应链决策进行优化：以各级厂商的期望利润为线性决策目标，建立线性函数，在一定的线性约束条件下使供应链各级的期望利润达到最大，从而求解出线型变量生产商的最优计划生产量及下游厂商的最优订购量。经典 newsboy model(报童模型)是运筹学中典型的随机规划模型,在不确定需求的时
8、令性商品的销售中,过量订货或不足订货都会产生损失,决策者需要确定商品的最优订购数量,使得利润最大化。因此在模型建立中我们主要应用报童模型进行决策分析。 在模型建立过程中应用了数学微积分及概率论知识，算法求解过程中采用 EXCEL 规划求解简单快捷求出所需变量。我们首先对确定性需求情况下的供应链决策模型进行分析，建立了确定市场需求下，生产量不确定时生产商与销售商的决策模型。之后再引入经典报童模型进行不确定的市场需求进行各级供应链的决策优化。在三级供应链的决策优化中，我们将销售商的订货量转化为二级生产商的市场需求，活用报童模型讨论两级生产量不确定环境下各级生产商的决策优化问题。2三、 基本假设 我
9、们建立基于库存管理的供应链系统。供应链系统由一个制造商和一个销售商构成，销售商面临一个确定或随机的市场需求，则基于库存管理的供应链契约基本模型基于如下假设：1制造商生产单一产品，其单位生产成本不变；2供应链上下游之间无信息不对称性，即价格、成本、需求是公共信息；3最终顾客的需求不具有价格弹性，为销售商的销售量；4 产品的市场价格保持不变；5产品的需求量为定值：6假设产品是时令性的,并且订货周期较长.即假设为单周期。7不考虑退货处理、运输等费用8销售完毕后不考虑低价处理，而是库存储藏产生库存储藏费用，且生产商与销售商的库存成本相同9、允许缺货且缺货成本为定值10若销售完毕产生积压，会产生存储成本
10、存储成本不随时间变化11.商品的订购量和生产量均不小于 012供应链为分散决策型供应链13.在实际的生产生活中，随机的波动函数大多为正态分布函数，生产量是在最优生产量上下的正态分布函数。根据柳宏珠，杨文娟的文献需求不确定时的零售商的最优订货量的确定的经验和预测,商品的市场需求为正态分布曲线，如图 1 所示。因此我们在问题分析过程中假设市场需求、生产量变化随机波动函数均为正态分布函数。图 1313如果实际需求大于订购量,则销售商将存在丧失商机的成本,即缺货成本. 如果实际需求低于订购量,则销售商将存在过量持有成本增加了库存成本，同时认为产品市场是开放的,有关产品的市场销售价格、需求分布和库存成本
11、等信息是对称的。所以,作为领导者,生产商和销售商是风险中性和完全理性,都根据期望利润最大化原则进行决策，最终确立确定生产商的最优计划产量和销售商的最优订购量。四、主要变量符号及说明为便于讨论,给出各变量及定义如下: 表（一）：问题一、二中的变量及定义符号 意义Q 生产商 a 的计划生产量Qa 生产商 a 的实际生产量F（x） 实际产量的波动函数f(x) 实际产量的概率密度函数w 生产商 a 出售给销售商 b 的单位产品的批发价格c 生产商 a 的单位产品的生产成本k 单位产品的库存成本Ia 生产商 a 产品库存量Ma 生产商的缺货量La 生产商 a 单位产品批发缺货成本Qb 销售商 b 的订购
12、量p 销售商 b 的单位产品在市场的零售价格Ib 销售商 b 产品库存量Mb 销售商 b 的产品缺货量Lb 销售商 b 单位产品销售缺货成本S 销售商 b 产品的销售总量D 市场产品需求量G(y) 市场需求 D 的分布函数g(y) 市场需求 D 的概率密度函数 需求 D 的均值4表（二）：问题三中的变量与定义符号 含义D 产成品市场需求量c 单位原产品生产成本La 单位原产品缺货价格ka 单位原产品库存成本w 单位原产品价格 二级生产商投入单位原产品产出产成品数量n 单位产成品加工成本p 单位产成品销售价格F（x） 原产品生产波动函数f(x) 原产品生产概率密度函数M(z) 产成品生产波动函数
13、m(x) 产成品生产概率密度函数G（y） 市场波动函数g(y) 市场波动概率密度函数s 一级生产商的期望利润r 二级生产商的期望利润四、 问题 1 的模型建立及求解我们假设建立基于库存管理的供应链系统。供应链系统由一个制造商和一个销售商构成，我们已经就基于库存管理的供应链契约基本模型做了基本假设。针对问题一，我们添加如下两条假设： 1产品的需求量为定值2生产商生产商品量是不确定的，而生产商生产商品量是不确定的，即由于受到各种随机因素的影响，商品实际产量可能不等于计划产量，呈现随机波动。我们假设计划生产量满足正态分布，即实际生产量 Qa 是计划生产量的 Q 正态分布函数F(x)= , QaN（u
14、, ） 。其中 u=Q,其概率密度分布函数为 f(x)21dtexut2)(2下面利用报童理论建立市场中供应链决策理论模型, 并确定销售商的最佳订购量和供应商的最佳供应量, 从而确定供应商和销售商的市场行为.在分散决策型供应链中，由于自私行为的存在，生产商与零售商以最大化其自身利润为目标。 1生产商最优生产量的确定生产商 a 为领导者，在供应链中起主导作用，他根据市场需求确定计划生产量，5由于市场需求确定，且信息透明公开，生产商在计划制定初期知晓市场的需求量，并判断由于市场需求的一定导致零售商的订货量为定值 Qb=D实际产量的分布函数为 F(x),F(0)=0,u =E(x)= ,a0)(dx
15、f=1-Qdxf0)(Qdxf)(=u-市场的需求量为定值 D,销售商 b 订购量为 Qb，也为定值。实际生产量 QaN（u, ）.假设生产实际量为 x，若实际生产量 xQb，则生产商 a 的销售量为：S(Qa)=Qb;S(Qa)=min(Qb,x)产品期望销售量为：S(Qa)= + =Qb-bQdxf0)(bQf)(bQadxF0)(产品的期望库存为:Ia=(Qa-Qb)+= Qa -S(Qa)产品的期望缺货为:Ma=(Qb-Qa)+=Qb - S(Qa)生产商的期望利润为：s=w*S(Qa)-Ma*La-Ia*k-c*Qa= w*S(Qa)-La* Qb-S(Qa)-k* Qa- S(Qa
16、) -c*Qa=(w+La+k)* S(Qa)-La*Qb-k*Qa-c*Qa=(-k-c)*Qa+(w +k)*Qb-(w+La+k)* bQdxF0)(根据 Leibniz 规则,可知上式为凹函数, 因此最优解 Qa 满足= -k-c - (w+La+k) F (Qb)= 0.时生产商的利润最大，此时 Qb =DQasF(Qb)= Lawkc则 Qb=F ( )=D,1已知缺货成本、库存成本、批发价格、原产品成本，且二级生产商订货量已知条件下，在决策时将数据代入后，可求得正态分布函数值， 再由随机函数分布公式 Fa(x)= ，根据正态分布函数期望值为21dtexut2)(Q，可利用 EXC
17、EL 软件单变量求解，解得分布函数值为 Qr 时的期望值，此期望值便是生产商的最优计划生产量。2销售商最优订购量的确定销售商根据生产商的计划生产量 Q,来确定自己的订购量 Qb,若市场需求量恒定为D，销售商不存在积压的风险，其不确定性因素来自于从生产处的实际购买量，销售商决策时 Qb 有下列约束：6)max(rQbD其中， 为零售商的利润值，缺货量为 Mb= D-Qb则 =p*Qb-Mb*Lb-w*Qb= p*Qb-(D-Qb)*Lb-w*Qb=(p+Lb-w)*Qb-D*Lb在批发价格，缺货成本，产品市场价格，市场需求量一定的情况下，销售商的利润虽 Qb 的增加而增加，Qb=min(D,Qa
18、)设 x 为实际生产量则有Qb=D,已知实际生产量的概率密度分布函数为 f(x)，则 Qb 的期望值为：E(Qb)= +dxf0)(xf)(最优订货量为 E（Qb）3模型求解单位商品生产成本为 20，单位商品库存成本为 5，单位商品批发缺货成本（即由于生产商的供应量不足销售商的订购量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）为 15，单位商品销售缺货成本（即由于销售商的供应量不足客户的需求量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）为 25，单位商品批发价格为 40，单位商品销售价格为 60，商品市场需求量为 400。商品生产量的波动区间为0.85,1.15由问题一得数据，知 c=20,k=5,L
19、a=15,Lb=25,w=40,p=60,D=400（1）生产商最优计划生产量：由模型知 Q= F ( )= F (5+20)/(5+40+15)= F (0.416667)1Lawkc1 1商品生产量的波动区间为0.85,1.15, 生产商计划生产量为 Q，则产品实际产量的区间为0.85Q,1.15Q又根据假设：Fa(x)= , QaN（u, ） 。其中 u=Q21dtexut2)(2由 3 规则知， =0.15*Q/3=0.05Q用 EXCEL 单变量求解得：Q=404, =20.21生产商的最优计划生产量为 404（2）销售商最优订购量D=400,QaN(404,20.25 )2Qb=
20、min(D,Qa)设 x 为实际生产量则有7Qb=40,x已知实际生产量的概率密度分布函数为 f(x)，则 Qb 的期望值为：E(Qb)= +0)(df40)(dxf= +43x由于生产商品量为整数,即 x 为整数故= ，其中40)(dxf40)(*f 21)(f2)(xe为方便求解，我们编制 VB 程序进行计算， （具体程序内容见附录）得= 166.282940)(f403)(dxfQb= E(Qb)= 166 +400*0.6 =406则销售商的最优订购量为 406五问题二的模型建立与求解该问题的条件是建立在商品的市场需求量不恒定,即市场需求量是个随机变量的情况下,建立模型进行求解,进而确
21、定销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。在供应链中物流的方向是从生产商到销售商再到消费市场，然而信息流却是从相反方向回流，因此决策过程为信息综合处理过程，在市场不确定性的情况下，我们按信息流的方向依次决策。市场的需求具有不确定性，在基本假设基础上， 我们假设商品需求变化量服从均值为 u,方差为 的正态分布，G(y)= , DN(u , ）221dteyut2)(b2因为需求总是大于 0 的，因此文中假设 u 较大， 较小。设 D 的累积分布函数bb为 G(y）,概率密度函数为 g(y),u =b0)(yg市场不确定与生产量均不确定情况下，由于变量因素较多，不利于求解建模，因此我们利用报童模
22、型先确定市场情况的第一级反映者销售商的最佳订货量。1 销售商的最优订购量销售商 b 订购量为 Qb，若实际需求 yQb，则销售商 b 的销售量为：S(Qb)=Qb;因此，S(Qb)=min(Qb,y),则销售的期望量为：S(Qb)= + =Q -bQdyf0)(bQdyf)(bQdyG0)(产品的期望库存为:Ib=(Qb-D)+=Qb- S(Qb)产品的期望缺货为:Mb=(D-Qb)+=u- S(Qb)r=p*S(Qb) -Mb*Lb-w*Qb-Ib*k8=p *S(Qa)-Lb*u- S(Qb)-k* Qb-S(Qb)-w*Qb=(p+Lb+k)* S(Qa)-Lb*u-k*Qb-w*Qb=
23、-w*Qb-k*Qb-Lb*u+(p+Lb+k)* Q - bQdyG0)(=(p-w+Lb)*Qb-(p+Lb+k)* -Lb*uy0)(根据Leibniz 规则,可知上式为凹函数, 因此最优解Qb满足：= p - w + Lb - (p + Lb-k) G (Qb ) = 0.brQ均衡订购量的函数为G (Qb) = kL供应商的订购量为：Qb= 1kbpw2 生产商的最优计划生产量在销售商根据市场需求确定了订购量 Qb,生产商根据订购量确定最优计划生产量。销售商 b 订购量为 Qb。实际生产量 QaN（u , ）.假设实际生产量为 x，若实际生产量 xQb，则生产商 a 的销售量为：S(
24、Qa)=Qb;S(Qa)=min(Qb,x)产品期望销售量为：S(Qa)= + =Qb-bQdxf0)(bQf)(bQdxF0)(产品的期望库存为:Ia=(Qa-Qb)+= Qa -S(Qa)-产品的期望缺货为:Ma=(Qb-Qa)+=Qb- S(Qa)生产商的期望利润为：s=w*S(Qa)-Ma*La-Ia*k-c*Qa= w*S(Qa)-La*( Qb- S(Qa)-k*( Qa-S(Qa)-c*Qa=(w+La+k)* S(Qa)-La*Qb-k*Qa-c*Qa=(-k-c)*Qa+(w +k)*Qb-(w+La+k)* bQdxF0)(根据 Leibniz 规则,可知上式为凹函数, 因
25、此最优解 Qa 满足=-k -c - (k+w +La) F (Qb)= 0.时生产商的利润最大，此时 Qb 已确定QasF(Qb)= Lawkc则 Qb=F ( ),19在决策时将数据代入后再由随机函数分布公式 F(x)= ，根据正态分21dtexut2)(布函数期望值为 Q，可利用 EXCEL 的线性规划单变量求解出 Q3 算例分析由算例知，单位商品生产成本为 20，单位商品库存成本为 5，单位商品批发缺货成本（即由于生产商的供应量不足销售商的订购量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）为 15，单位商品销售缺货成本（即由于销售商的供应量不足客户的需求量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失
26、成本）为 25，单位商品批发价格为 40，单位商品销售价格为 60。商品市场需求量的期望为 400，市场需求量的波动区间为0.8,1.2，即实际市场需求量的区间为320,480。商品生产量的波动区间为0.85,1.15，即若生产商计划生产量为 Q，则产品实际产量的区间为0.85Q,1.15Q.所以：c=20,k=5,La=15,Lb=25,w=40,p=60,市场需求呈正态分布G (y)= 。21dteyut2)(（1）生产商的最优计划生产量根据正态分布的特点得 u = E(x)= 400, b市场需求量的波动区间为0.8,1.2，由 3 规则知3*=(1-0.8)*400=(1.2-1)*4
27、00=80，则 =80/3=26.6667则根据模型，销售商的最优订购量为：Qb= 1kLbpwG= 152604= G (0.5)求解得 Qb=400销售商的最优订货量为 400（2）生产商最优计划生产量确定生产商生产量的波动也呈正态分布：(x)= , Qa（u , ）F1dtexut2)(a2u =E(x)=Qa实际商品生产量的波动区间为0.85,1.15，由 3 规则知:3*=(1-0.85)*Q=(1.15-1)*Q=0.15Q则 =0.15Q/3=0.05Q销售商订货量 Qb=40010F ( )= F （ ）1Lawkc15402= F （0.416667）=400由已知条件用 E
28、XCEL 单变量求解得=20.21Q=u=404因此生产商的最优计划产量为 404六问题三的模型建立与求解供应链的生产决策就是协调材料供应商、产品制造商、分销商之间的资源配置, 以最大限度地满足顾客需求大多数供应链具有两级生产不确定性，即 原产品（或原材料）生产的不确定性和产成品生产的不确定性，如石油、煤炭、钢铁等供应链中，一级生产商生产原产品(原油、原煤、铁矿石)，二级生产商 (炼油厂、洗煤厂、钢铁厂)利用原材料生产成品进而销售给最终顾客，两级生产均具有不确定性。.从供应链的结构角度来看，供应链中存在的不确定性可以概括为三种类型：供应的不确定性、需求的不确定性和企业运作的不确定性。第一类和第
29、二类不确定性来源于企业之间合作上的缺陷，可概括为衔接的不确定性，这类不确定性将给企业决策造成困难，导致无效作业和企业成本的增加。其中，需求的不确定性集中表现为客户需求量的不确定，以及需求分布在时间、空间上的差异性，需求结构的变动等，“牛鞭效应”是供应链中需求不确定性的典型表现；供给的不确定性主要表现为供应提前期的不确定，还包括货物的可得性、供应量的不确定性等。第三类不确定性主要来源于企业控制的失效，如生产设备故障、库存货物遗失、产量与生产计划不符等，这类不确定性将由于引起提前期、供货量等方面的不确定而使不确定性在供应链中传递并被逐渐放大。 在第三题中我们采用链状供应链决策模型 。为分析简便我们
30、采用链状模型，把商家都抽象成一个个的点，称为节点，并用字母或数字表示。节点以一定的方式和顺序联结成一串，构成一条图学上的供应链。在此模型中，我们假设第一级生产商为 A，第二级生产商为 B，最终零售商为 C 的三级供应链（S-M-R）模型，由于问题三中主要研究二级生产不确定性供应链决策，因此，我们在建立模型的时候对零售商的决策不做研究，将零售商的订货量抽象为第二级生产商的市场需求。这样我们的模型中仅含两级生产链。我们仅着力分析生产供应的中间过程。对于两级生产商之间的供应问题我们有如下假设1.第一级生产商的生产量 Qa 随机分布函数为正态分布：F(x)= , QaN（u , ） 。21dtexut
31、2)(a2其中 u =Q,其概率密度分布函数为 f(x).a2.第二级生产商的生产量 Qb 随机分布函数为 M(z)= , Qa N(u21dtezut2)(11, ）,其中 u =Q,其概率密度分布函数为 m(z).b2b3.市场需求量的随机分布为：G(y)= , D N（u , ） ，21dteyut2)(c2其中u =Q,其概率密度分布函数为g(y).c1.第二级生产商的最优订货量确定在产成品市场需求确定为D，第二级生产商的产量为Qb，因其为变量因此用变量z表示。其分布函数为M(z),QbN（u , ） 。若实际生产量zD，则生产商a的销售量为：S(Qb)=D;S(Qa)=min(D,z
32、)第二级生产商的产成品销售量 S(Qb)= Dz,已知实际生产量的概率密度分布函数为 m(z)，则销售的期望值为：S(Qb)= +Ddzm0)(Ddz)(= +D*M(D)=D- 0)(Mz产成品的期望库存为:Ib=(Qb-D)+=Qb S(Qb)产品的期望缺货为:Mb=(D-Qb)+=D- S(Qb)原材料订货量为：Qr= Qb/第二级生产商利润期望值为：r=p*S(Qb) -Mb*Lb-w*Qr-Ib*kb-n*Qb=p *S(Qa)-Lb*D- S(Qb)-kb* Qb S(Qb)-w* Qb/-n*Qb=(p+Lb+kb)* S(Qa)-Lb*D-kb*Qb-w/*Qb-n*Qb=(-
33、kb w/-n)*Qb-Lb*D+(p+Lb+kb) * D- Ddz0)(M=(p+kb)*D+(-kb w/-n)*Qb -(p+Lb+kb)* 根据Leibniz 规则,可知上式为凹函数, 因此最优解Qb满足：= kb +w/- (p + Lb+kb) G (Qb ) = 0.brQ最优生产量时的函数为:G (Qb) = kbLpnw/第二级生产商的生产量为：Qb=G 1/12由于市场需求量已知，第二级生产商尽可能让生产正好满足市场需求，即使其实际生产量为市场需求量，则 Qb=D,将 D 值代入生产的概率分布函数可以求得概率分布函数的期望值即，最优计划生产量 Q二级生产商原产品采购量为
34、Qr= Qb/2 一级生产商的最优计划生产量一级生产商根据二级生产商的采购量来确定最优计划生产量，一级生产商的生产量为 Qa,因其为变量因此用变量 x 表示。其分布函数为 F(x),QaN（u , ） 。若实际生产量 xQr，则生产商 a 的销售量为：S(Qa)=Qr;S(Qa)=min(Qr,x)第一级生产商的产成品销售量 S(Qa)= Qrx,产品期望销售量为：S(Qa)= + =Qr-rQdf0)(rf)(rQdxF0)(产品的期望库存为:Ia=(Qa-Qb)+= Qa -S(Qa)-产品的期望缺货为:Ma=(Qa-Qa)+=Qr- S(Qa)一级生产商的期望利润为：s=w*S(Qa)-
35、Ma*La-Ia*ka-c*Qa= w*S(Qa)-La*( Qr- S(Qa)-ka*( Qa-S(Qa)-c*Qa=(w+La+ka)* S(Qa)-La*Qb-ka*Qa-c*Qa=(-ka-c)*Qa+(w +ka)*Qr-(w+La+ka)* bQdxF0)(根据 Leibniz 规则,可知上式为凹函数, 因此最优解 Qa 满足=-k -c - (ka+w +La) F (Qr)= 0.时生产商的利润最大，此时 Qr= Qb/ 已确定QasF(Qr)= Lawkc则 Qr=F ( ),1已知缺货成本、库存成本、批发价格、原产品成本，且二级生产商订货量已知条件下，可利用 EXCEL 软
36、件单变量求解，解得分布函数值为 Qr 时的期望值，此期望值便是生产商的最优计划生产量3.算例分析单位原产品生产成本为 20，单位原产品库存成本为 5，单位原产品缺货成本为15，单位产成品生产加工成本为 10，单位产成品库存成本为 7，单位产成品缺货成本为 30，二级生产商投入单位原产品产出产成品数量为 0.7（比如煤炭供应链中，洗煤厂入洗 1 吨原煤，产出 0.7 吨精煤） ，原产品价格为 40，产成品价格为 95，产成品市13场需求量为 280。原产品生产量的波动区间为0.85,1.15，产成品生产量的波动区间为0.9,1.1.由问题知：c=20,ka=5, n=10, La=15,kb=7
37、,Lb=30,=0.7,w=40,p=95,D=280(1)第二级生产商订购量确定由模型可知第二级生产商利润最大时的生产量为：Qb=M 1kbLpnw/=M 730951.4= M 0.5616881M(y)为正态分布函数，其期望为则最优计划生产量即 u=Q,由产成品生产量的波动区间为0.9,1.1.及 3 规则知3*=(1-0.9)*Q=(1.1-1)*Q=0.1Q，则 =0.033333Q市场需求为 D=280采用 EXCEL 单变量求解，目标变量为 M(z),目标值为 0.561688，可变变量为期望值 u,解得 u=Q=278第二级生产商的最优计划生产量为 278其最佳订货量为 Qr=
38、Q/=278/0.7=397（2）第一级生产商的最优计划生产量为由模型知 Qr=F ( ),1Lawkc=F ( )5402= F (0.416667)1又知 Qr=397F(x)为正态分布函数，其期望为则最优计划生产量即 u=Q,原产品生产量的波动区间为0.85,1.15，根据 3 规则知;=0.05Q采用 EXCEL 单变量求解，z 为 397，目标变量为 M(z),目标值为 0.416667，可变变量为期望值 u解得 u=Q=401，=20.06248第一级生产商的生产量分布函数为 QaN(401,20.05 )24、生产与市场均不确定情况下的模型改进市场不确定情况下，市场的随机波动函数
39、设为 G（y）,如前文所述，我们假定其为正态分布函数。G（y）N(u , )c2一级生产商与二级生产商的随机波动函数，仍如前所述分别为 F（x）和 M（z）.F（y）N(u , ),M（z）N(u , )a2b沿信息流方向，我们首先确定二级生产商的决策模型。二级生产商最优订购量确定我们设在产成品市场需求确定为D,用变量表示为y，第二级生产商的产量为Qb，因其为变量因此用变量z表示。其分布函数为M(z),QbN（u , ） 。若实际生产量b214zy，则生产商a的销售量为：S(Qb)=y;S(Qa)=min(y,z)即 S(Qb)=yz,其中，y 与 z 均为变量。当 D=y 时，S（Qb）=
40、+ydzm0)(yz)(且 D=y 的概率为 g（y）因此产品期望销售量为：S(Qb)= ( + )*g(y)dy0dz)yz)(产品的期望库存为:Ib=(Qb-D)+= Qb- S(Qa) 产品的期望缺货为:Ma=(D-Qb)+=u - S(Qa)c二级生产商的期望利润为：r=p*S(Qb) -Mb*Lb-w*Qr-Ib*kb-n*Qb=p *S(Qa)-Lb* u - S(Qb)-kb* Qb S(Qb)-w* Qb/-n*Qbc=(p+Lb+kb)* S(Qa)-Lb* u -kb*Qb-w/*Qb-n*Qbc=(-kb w/-n)*Qb-Lb* u+(p+Lb+kb) * ( + )*
41、g(y)dy0ydzm)yz)(根据 Leibniz 规则,可知上式为凹函数, 因此最优解 Qb 满足=0bQr=0 c此时 Qb 即为生产商的最优生产量再由正态分布公式单变量求解出一级生产商的最优计划生产量 Q，也是生产商所认为的销售商的最优订货量。解此模型可得二级生产商的最优订货量，再由二级生产商的最优订货量按 6.1 中的模型确定一级生产商的最优生产量。七、模型评价在本文中，我们的思路、方法及数学模型的合理性主要体现在以下几个方面：（1） 假设的合理性我们进行了一个基于库存的两级供应链的契约约束假设。由生产商与销售商分摊库存风险，这与以前的研究将风险仅由销售商承担或仅由生产商承担，更接近
42、现实更为合理。（2） 思维的合理性本文我们按先后及由浅入深的逻辑关系展开了对问题求解的思路15先于确定需求的环境下建立生产订购决策模型，再进行不确定的市场需求变量下的决策模型建立，层层深入。针对不同问题，我们采用不同的思维方法。顺式思维与逆向思维相结合，综合考虑不同情况下决策，生产者、销售者各自不同的决策地位。（3） 方法的科学性本文针对市场的不确定性情况下的订货问题，使用了报童模型进行科学的建模。报童模型主要运用在进货量的决策，确定一个最佳的进货量，使得在市场波动的风险中获得期望利润最大化，因此报童模型是此种供应链优化模型建立的最佳基本模型。本文采用了线性规划的方法。这种方法是目前供应链优化
43、中最好，应用最广泛的优化工具。 （4） 求解方法的方便可靠性在对模型进行求解时，我们运用了 EXCEL 单变量求解的方法 ，这种方法简便快捷容易实现并且结果准确。我们得到的目标变量与当前解的差值均不超过 1%。说明我们求解模型的方法是可靠地，结果是可信的。八、模型的评价1、 模型的优点（1）通过分析问题，利用经典报童模型进行供应链决策模型的合理构建（2）将报童模型合理应用于生产商计划生产量的构建，具有一定创新性（3）模型简单易懂且模型求解方便2、 模型的缺点（1）本文仅研究了单周期、单供应商和零售商的情况，然而在实践中,供应链的结构要复杂得多,供应商和零售商之间是多对一、一对多的情况，甚至是多
44、周期、多产品种类、多层次的供应链网络结构。 （2）本文的讨论是建立在供应链实体都是风险中性和信息对称的前提下，虽然一定条件下，这样的假设是合理的，但这并不符合现实情况（3）整个供应链存在集体利益关系，可能是集中决策型，但本文为简化计算各级厂商的决策，对此未作讨论。参考文献1姜启源，数学模型，北京：高等教育出版社，2004 年2谢金星 薛毅，优化建模与 LINGO/LINDO 软件，北京：清华大学出版社，2004 年3韩中庚，数学建模方法及其应用，北京：高等教育出版社，2005 年4周圣武，概率论及数理统计（第二版） ，北京，煤炭工业出版社，2007 年5同济大学应用数学系，高等数学，高等教育出
45、版社，2007 年6 易雪辉 唐小我，需求价格相关的非中心化三级供应链的协调研究7黄卫来 蔡建湖 张子刚，需求不确定环境下的提前订购策略分析8黄卫来 张子刚 刘运哲，产量柔性下的最优生产批量和原材料订购决策模型169柳宏珠 杨文娟，需求不确定时的零售商的最优订货量的确定10何勇 杨德礼 吴清烈，需求不确定下考虑网络营销的供应链决策模型附录利用 VB 求解订货量的程序Dim i As Integer, a As Single, b As Single, Q As SinglePrivate Sub Command1_Click()Q = 0 = txt = txtstart = txtstartlend = txtendFor i = start To lenda = 1 / (Sqr(2 * 3.1415) * ) * Exp(-(i - ) 2 / (2 * 2)b = i * aQ = Q + bNext itxtQ = Q
