1、第 10 课时 指数与指数函数【学习目标】1、熟悉指数式的概念；理解分数指数幂；2、理解指数函数的概念，理解指数函数的图象和性质；3、能够熟练地解决与指数函数有关的问题。【学习重点】指数函数的性质及其应用【预习内容】1根式的性质(1)( )na.na(2)当 n 为奇数时 a；nan当 n 为偶数时 Error!nan2有理数指数幂(1)幂的有关概念：正分数指数幂：a (a0，m，nN *，且 n1)mn nam负分数指数幂：a (a0，m ，nN *，且 n1)mn 1amn 1nam0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的性质：a ras ars (a0，
2、r，sQ)；(a r)sa rs(a0，r，s Q) ；(ab) r arbr(a0，b0 ，rQ )3指数函数的图像与性质ya x a1 00 时，y 1；x 0 时，01性质在( ，)上是增函数 在( ，)上是减函数注意点 1在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数2指数函数 ya x(a0，a1)的图像和性质跟 a 的取值有关，要特别注意区分 a1或 01 时，f(x)a x1 在上为增函数，则 a212，a .又a1，a .3 3当 00，a1) 的图像，应抓住三个关键点：(1 ，a)，(0,1)， .( 1，1
3、a)(2)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解1(2013徐州摸底)已知直线 ya 与函数 f(x)2 x 及 g(x)32 x 的图像分别相交于 A，B两点，则 A，B 两点之间的距离为_解析：由题意知 A，B 两点之间的距离与 a 无关，即为定值不妨设 a3，则由32x3 知 xB0.由 2x3 知 xAlog 23，故 ABx Ax Blog 23.答案：log 232方程 2x2x 的解的个数是_解析：方程的解可看作函数 y2 x 和 y2x 的图像交点的
4、横坐标，分别作出这两个函数图像(如图 )由图像得只有一个交点，因此该方程只有一个解答案：1考点三 指数函数的性质及应用例 4、函数 的递减区间为 ；最小值是 。2xy答案： ； 。,1min变式 1：若函数 ，则它的值域为 ；23xf答案： 0,y变式 2：已知： ，求函数 的最大值。2x12435xxf答案： 。5例 5、 函数 在区间 上的最大值是 ，求实数)10(2aayx且 ,14值。a通过换元，转化为二次函数在闭区间上最值问题。令 ，则t 2)(12tt当 a1 时 ， ,x,at 时， 取最大值，at)1(2y即 ， （舍去）42)(53或当 时， 10a,x,at 时， 取最大值
5、，at2)1(y即 ， （舍去）142)(a513a或综上： 3或已知函数 f(x) ax24x3.(13)(1)若 a1，求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)有最大值 3，求 a 的值(3)若 f(x)的值域是(0，) ，求 a 的值解：(1)当 a1 时，f(x) x 24x3，(13)令 g(x)x 24x3，由于 g(x)在( ，2)上单调递增，在(2，) 上单调递减，而 y t 在 R 上单(13)调递减，所以 f(x)在( ，2)上单调递减，在 (2，)上单调递增，即函数 f(x)的单调递增区间是( 2，)，单调递减区间是(，2)(2)令 g(x)ax 24x3，f(x) g
6、(x)，(13)由于 f(x)有最大值 3，所以 g(x)应有最小值1，因此必有Error!解得 a1，即当 f(x)有最大值 3 时，a 的值等于 1.(3)由指数函数的性质知，要使 y g(x)的值域为(0，)(13)应使 g(x)ax 24x3 的值域为 R，因此只能 a0.(因为若 a0，则 g(x)为二次函数，其值域不可能为 R)故 a 的值为 0.1已知 f(x)2 x2 x ，若 f(a)3，则 f(2a)等于_解析：由 f(a) 3 得 2a2 a 3，两边平方得 22a2 2a 29，即 22a2 2a 7，故 f(2a)7.答案：72已知 f(x)3 xb (2x 4， b
7、 为常数)的图像经过点(2,1)，则 f(x)的值域是_解析：由 f(x)过定点(2,1) 可知 b2，因 f(x)3 x2 在上是增函数，f min(x)f(2)1，f max(x)f(4) 9.答案：3函数 y82 3x (x0) 的值域是 _答案：上的最大值比最小值大 ，则 a 的值为_a2解析：当 a1 时，f(x) a x为增函数，在 x上，f(x)最大 f(2)a 2，f( x)最小 f(1)a.a 2a .即 a(2a3)0.a2a0(舍) 或 a 1.a .32 32当 0a1 时，f(x)a x为减函数，在 x上，f(x) 最大 f(1) a， f(x)最小 f (2)a 2.aa 2 .a(2a1)0，a2a0(舍) 或 a .a . 12 12综上可知，a 或 a .12 32答案： 或12 32
