1、3.2.4 二面角及其度量一、选择题1自二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，这两条垂线所成的角与二面角的大小关系是( )A相等 B互为补角C互为余角 D相等或互为补角2如图所示，已知二面角 l 的大小为 60， m， n 为异面直线，且 m ， n ，则直线m， n 的夹角为( )A30 B60C90 D1203如果二面角 l 的平面角是锐角，点 P 到 ， 和棱 l 的距离分别为 2 ，4 和 4 ，则2 2二面角的大小为( )A45或 30 B15或 75C30或 60 D15或 604从点 P 引三条射线 PA、 PB、 PC，每两条夹角均为 60，则二面角 BPAC 的余弦值是(
2、)A. B. C. D.12 13 33 325在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E 为 BB1的中点，则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )A. B. C. D.12 23 33 226.如图所示，在边长为 a 的等边 ABC 中， AD BC，沿 AD 将 ABD 折起，若折起后 B、 C 两点间距离为a，则二面角 BADC 的大小为( )12A30 B45C60 D90二、填空题7若两个平面 ， 的法向量分别是 n(1,0,1)， (1，1,0)则这两个平面所成的锐二面角的度数是_8在直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面为正三角形，若 AA1 AB1，
3、 E 为棱 BB1的中点，则平面 AEC 与平面 ABC 所成锐二面角的大小为_9.如图，已知正四棱锥的体积为 12，底面对角线的长为 2 ，则侧面与底面的夹角等于6_三、解答题10自二面角 l 的棱上一点 A 在平面 内引一条射线 AC，它与棱 l 成 45角，和平面 成 30角，求二面角 l 的大小11.ABCD 是直角梯形， ABC BAD90，又 SA平面 ABCD， SA AB BC1， AD ，求面 SCD12与面 SAB 所成二面角的正切值能力提升12在正方体 AC1中，求二面角 ABD1C 的大小13. 如图，直三棱柱 ABC A1B1C1中， AC BC， AA1 AB， D
4、 为 BB1的中点， E 为 AB1上的一点，AE3 EB1.(1)证明： DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线；(2)设异面直线 AB1与 CD 的夹角为 45，求二面角 A1 AC1 B1的正弦值32.4 二面角及其度量1D2B3B 如图，所示，分别是 P 在二面角 l 的内部、外部时的情况因为 PA ，所以PA l，因为 PC l，所以 l面 PAC，同理， l面 PBC，而面 PAC 与面 PBC 有公共点，所以面 PAC和面 PBC 应重合，即 A， B， C， P 在同一平面内， ACB 是二面角的平面角在 Rt APC 中，sin ACP ，所以 ACP30.在 Rt BP
5、C 中，PAPC 2242 12sin BCP ，所以 BCP45，故 ACB304575(图)，或 ACB45PBPC 442 223015(图) 4B 在射线 PA 上取一点 O，分别在平面 PAB、 PAC 内作 OE PA， OF PA 交 PB、 PC 于 E、 F，则 EOF 为所求二面角的平面角在 EOF 中，令 EF1，则由题意可求得， OE OF ，cos EOF .故选 B.3234 34 1232 32 135B建立如图所示的直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则 (1,0,1)， (1,1， )DA1 DE 12设平面 A1DE 的法向量 n1( x， y， z)，则Er
6、ror!解得Error!令 z1， n1(1，1)12平面 ABCD 的一个法向量为 n2(0,0,1)，cos n1， n2 .11 14 11 236C AD CB， BD AD， CD AD， BDC 为二面角 B AD C 的平面角，又 BD CD BC ， BDC 为等边三角形，a2 BDC60.760解析 cos n， .nv|n|v| 122 12 n， 120.8309. 3解析 作 VO底面 ABCD， OM BC，连结 VM，则 VM BC，所以 VMO 为侧面和底面的夹角由题意知 O 为底面中心，设底面边长为 a，则 2a2(2 )2，解得 a2 ，所以 OM .又 VV
7、ABCD (2 )2h12，得 h3.6 3 313 3所以 tan VMO ，所以 VMO .33 3 3本题还可利用向量法求二面角10解 如图所示，过 C 作 CD平面 ，在 内作 DB AB，垂足为 B，连结 BC.由三垂线定理知 BC AB，则 CBD 为二面角 l 的平面角设 CD a，又 CAD 为 AC 与面 所成的角，即 CAD30， AC2 a.又 CAB45， BC a.2在 Rt CDB 中，sin CBD ，CDBC 22 CBD45，即二面角 l 为 45.11解 建立如图的空间直角坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)， D ，(12， 0， 0)C(1,1,0)，
8、 S(0,0,1)，则 是平面 SAB 的法向量AD (12， 0， 0)设面 SCD 的法向量 n(1， ， )，易得 ， . n .12 12 (1， 12， 12)若以 表示欲求二面角的值，则 cos ， n .AD n ，AD (12， 0， 0) (1， 12， 12) 12| | ，| n| ，AD 12 1 ( 12)2 (12)2 32cos ，sin ，121232 23 13tan .12 2212解 以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则 D(0,0,0)， A1(1,0,1)， C1(0,1,1)(1,0,1)是平面 ABD1的一个法向量，
9、DA1 (0,1,1)是平面 BCD1的一个法向量DC1 所以 cos ， .DA1 DC1 12所以 ， 60.DA1 DC1 由图形可知二面角 ABD1C 为 120.13(1)证明 以 B 为坐标原点，射线 BA、 BB1为 x 轴正半轴、y 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系 B xyz.设 AB2，则 A(2,0,0)， B1(0,2,0)，D(0,1,0)， E( ，0)1232又设 C(1,0， c)，则 ( ，0)，DE 1212(2，2,0)， (1，1， c)B1A DC 于是 0， 0，故 DE B1A， DE DC，又 DE AB1 E， CD DE D.DE B1
10、A DE DC 所以 DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线(2)解 因为 ， 等于异面直线 AB1与 CD 的夹角，B1A DC 故 | | |cos 45，B1A DC B1A DC 即 2 4.2 c2 222解得 c ，故 (1,0， )2 AC 2又 (0,2,0)，AA1 BB1 所以 (1,2， )AC1 AC AA1 2设平面 AA1C1的法向量 m( x， y， z)，则 m 0， m 0，AC1 AA1 即 x2 y z0,2 y0.2令 x ，则 z1， y0.故 m( ，0,1)2 2设平面 AB1C1的法向量为 n( p， q， r)，则 n 0， n 0，AC1 B1A 即 p2 q r0,2 p2 q0，2令 p ，则 q ， r1.故 n( ， ，1)2 2 2 2所以 cos m， n .mn|m|n| 115由于 m， n等于二面角 A1 AC1 B1的平面角，所以二面角 A1 AC1 B1的正弦值为 .1 115 21015高$考试 题库
