1、 1 / 10直线和抛物线的位置关系一、课标要求1熟悉直线与抛物线的位置关系2 掌握直线与抛物线位置关系的判定方法、弦长公式、焦点弦等二、要点精讲1直线与抛物线的位置关系的判定(1) 相交：直线与抛物线交于两个不同点 判别式 ；0直线与抛物线交于一点，直线平行于抛物线的对称轴或与抛物线的对称轴重合(2) 相切 . (3) 相离 002有关弦长问题(1)一般弦长公式：设直线 交双曲线于 ， ，则bkxy1,yxP2,yx，22122212 4xP或 0212122212 kyyky(2)焦点弦长问题若 AB 为抛物线 的一条过焦点 F 的弦， ， ，02pxy 1,yxA2,B则弦长 .21BF
2、A三、基础自测1.抛物线 截直线 所得弦长等于（ ）xy12xy(A) (B) (C) (D) 1555212过抛物线 的焦点 F 的直线交抛物线于 ， ，若 x1+x2=6,则|AB|xy421,yxA2,B的值为（ ）(A)4 (B)6 (C)8 (D) 123过点 P(0, 2)且与抛物线 y2=2px(p0)只有一个公共点的直线有（ ）(A)1 条 (B)2 条 (C)3 条 (D)4 条选 C.点 P(0, 2)在抛物线外部，故过 P 点可作两条切线，另 y=2 与对称轴平行，故选 C.4.（09 宁夏海南）设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为 F(1，0)，直线 l 与抛物线
3、 C相交于 A，B 两点。若 AB 的中点为（2，2 ） ，则直线 l 的方程为_.5抛物线 的弦 AB 垂直于 x 轴，若|AB| = ，则焦点到 AB 的距离为 xy42346过定点 M(4,0)作直线 l 交抛物线 于 A,B 两点，F 是抛物线的焦点，求FAB 面积y2的最小值四、典例精析题型一：直线与抛物线的交点问题1、当 为何值时，直线 与抛物线 只有一个公共点？a1axyxy422、求过点 P(0 ,1)且与抛物线 只有一个公共点的直线方程xy23 / 103 （2013 浙江）设 F为抛物线 xyC4:2的焦点,过点 )0,1(P的直线 l交抛物线 C于两点BA,点 Q为线段
4、AB的中点,若 |Q,则直线的斜率等于_. 解：设直线 l 的方程为 y=k(x+1)，联立 消去 y 得 k2x2+(2k24)x+k2=0，由韦达定理，214ykxxA+ xB = ，于是 xQ= = ，把 xQ 带入 y=k(x+1)，得到 yQ= ，根据|FQ|=2k24k2 xA+ xB2 2k21 2k，解出 k=1(2k22)2 +(2k)2 =24.（2012 北京）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过抛物线 的焦点 F.且与该撇物线相42交于 A、B 两点 .其中点 A 在 x 轴上方。若直线 l 的倾斜角为 60.则OAF 的面积为 解：由 可求得焦点坐标 F(1,0)，
5、因为倾斜角为 ，所以直线的斜率为y4260，360tank利用点斜式，直线方程为 ，将直线和曲线联立3xy，)32,1(432BAxy因此 3AOAFyS5 （2013 大纲）已知抛物线 2:8Cx与点 2,M,过 C的焦点且斜率为 k的直线与C交于 ,AB两点 ,若 0MBA,则 k（ ）A 12B 2C 2D 2解：由题意知抛物线 C 的焦点坐标为 (2,0)，则直线 AB 的方程为 yk( x2)，将其代入 y28x ，得 k2x24(k 2 2)x4k 20.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1x 2 ，x 1x24.24k由 12ykx12124,.ykxk ， (
6、x12，y 12)(x 22，y 22) 0. (x12)(x 22)(y 12)( y22)0MAB0，即 x1x22(x 1 x2)4y 1y2 2(y1y 2)40. 由 解得 k2.故选 D.6.(2011 江西）已知过抛物线 的焦点，斜率为 的直线交抛物线于0px2（ ）两点，且 12,Axy2,B12x9AB（1）求该抛物线的方程；（2） 为坐标原点， 为抛物线上一点，若 ，求 的值OCOC7、 （2010 福建)已知抛物线 C：y 22px(p0)过点 A(1，2) (1)求抛物线 C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l，使得直线 l
7、与抛物线 C 有公共点，且直线OA 与 l 的距离等于 ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由55解 (1)将(1 ， 2)代入 y22px，得(2) 22p1 ，所以 p2.故所求的抛物线 C 的方程为 y24x，其准线方程为 x1.(2)假设存在符合题意的直线 l，其方程为 y2x t，由 得 y22y2t0.24yxt因为直线 l 与抛物线 C 有公共点，所以 48t0，解得 t .12另一方面，由直线 OA 与 l 的距离 d ，可得 ，解得 t1.（t-1 舍掉）55 |t|5 15所以符合题意的直线 l 存在，其方程为 2xy10.5 / 10题型二：抛物线的焦点弦问题
8、8、已知 AB 是抛物线 的焦点弦，F 为抛物线焦点， 、02pxy 1,yxA，2,yxB求证： ； （ 为直线 AB4,2121xp 221sinpxAB的倾斜角） ； ； 为定值； 以 为直径的圆与抛sinSAOB FAB物线准线相切.证明： 4)(,2, 2212121 Pyxpyx pxBFA2121)()(若 时, 直线 L 的斜率不存在，此时 AB 为抛物线的通径,2结 论 得 证p若 时,设直线 L 的方程为： 即 tan)2(pxy2cotpyx代入抛物线方程得 由韦达定理0cot2py,121py由弦长公式得 22212 sin)cot(ct ppyAB证：过 A 点作 A
9、R 垂直 X 轴于点 R，过 B 点作 BS 垂直 X 轴于点 S，设准线与 轴交x点为 E,则 cos1s PAFAFPEFR同理可得 PFcos1co1pB2证：设 M 为 AB 的中点，过 A 点作准线的垂线 AA1， 过 B 点作准线的垂线 BB1， 过 M 点作准线的垂线 MM1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知故结论得证 221 ABFBA考点三：对称问题9、抛物线 上两点 、 关于直线 对称，且2xy),(1yxA),(2yBmxy，则 .12xm解析：设直线 的方程为 ，Byxb22120由 yxbb121.又 ， 212,xx则 的中点 在直线 上，AB5(,)4Mym3.
10、10、已知抛物线 上存在关于直线 对称的相异两点 、 ，则 等23yx0xAB于 .解：设直线 的方程为 ，ABb2212330由 yxxxb则 的中点 在直线 上，1(,)My2,0.而bx2432.AB11、若抛物线 上存在关于直线 对称的两点，求实数 的取值范围。xy1:xkyl k7 / 1012、已知直线 过坐标原点，抛物线 C 的顶点为原点，焦点在 x 轴正半轴上，若点 A（-1,0)l和点 B(0, 8)关于 的对称点都在 C 上，求直线 和抛物线 C 的方程l考点四：定点问题13、如图，A、B 是抛物线 y22px (p0)上的两点，且 OAOB (O 为坐标原点)（1）求 A
11、、B 两点的横坐标之积和纵坐标之积；（2）求证：直线 AB 过定点（3 ）求弦 中点 的轨迹方程；P解：设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，中点 P(x0，y 0)(1)kOA ，k OB . 因为 OAOB，所以 kOAkOB1，所以 x1x2y 1y20.y1x1 y2x2因为 y 2px 1，y 2px 2，所以 y 1y20.因为 y10，y 20，所以 y1y24p 2，21 2y212py22p所以 x1x24p 2.AoxB(2)证明：因为 y y ( y2y 1)(y2y 1)2p(x 2x 1)，又 x1x 2，所以 .2 21y2 y1x2 x1 2py1 y2所
12、以直线 AB 的方程为 yy 1 (xx 1) (x )，2py1 y2 2py1 y2 y212p所以 y x y 1 x x (x2p) 所以2py1 y2 y21y1 y2 2py1 y2 y1y2y1 y2 2py1 y2 4p2y1 y2 2py1 y2直线 AB 过定点(2 p,0)（3）设 P(x， y)，则 ， 。由 y 2px 1，y 2px 2，121221 2得 以 ，即211212px4px2ypx14、已知 知是平面上一动点，且满足(0)ABP， ,， , .PAB（1 ）求点 的轨迹 的方程；C（2 ）已知点 在曲线 上，过点 作直线 与 交于 两点，且 的(2)M
13、m， M12l、 CDE、 12l、斜率 满足 ，求证：直线 过定点，并求此定点。12k、 1kDE()()() )PxyAxyPBxy设 ， ,， ,，解 ： 则 ， (0)()AB， ， ， .AB因 为 ， 211,所 以 24x即21(1)2)()()4(2) yyMDE证 明 ： 由 知 ， ,设 ， ， ， ,1224yk所 以 ， 12()8.整 理 得 由知 1212=DEky124.yk 1284yk.211()4xy直 的所 线 为以 方 程 , 12120xy（ ）整 理 得 ，840,xyk亦 即 0)k即 . (,)DE直 线 过 定 点所 以 .五、能力提升1对于抛
14、物线 ，我们称满足 的点 在抛物线的内部，若点xC:2024xy0,yM9 / 10在抛物线的内部，则直线 与 C 的位置关系（ ）0,yxM002xy(A) 恰有一个公共点 (B) 恰有两个公共点(C) 可能一个，也可能两个公共点 (D) 无公共点2过抛物线 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点，它们的横坐标之和等xy42于 5，则这样的直线（ ）(A)有且仅有一条 (B)有且仅有两条(C)有无穷多条 (D)不存在3直线 交抛物线 于 A、B 两点，若 AB 中点的横坐标为 2，则 等于（ 2kxyxy82 k）(A) 2 或-1 (B) -1 (C) 2 (D) 36. (06 山东)已知抛物线 ，过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 ，xy421,yxA两点，则 的最小值是 2,yxB21y7已知斜率为 1 的直线经过抛物线 的焦点，且与该抛物线交于 A,B 两点，042pxy若三角形 OAB 的面积为 (O 为原点） ，求该抛物线的方程8抛物线 x2 =4y 的焦点为 F，过点（0,-1)作直线交抛物线于不同两点 A,B，以 AF, BF 为邻边作平行四边形 FARB，求顶点 R 的轨迹方程9、如图，过抛物线 的顶点任意作两条互相垂直的弦 OA ,0B，求 AB 能否02pxy交抛物线的轴上一个定点，并求 AB 的最小弦长
