1、22 椭圆一、学习内容、要求及建议二、预习指导1预习目标(1)掌握椭圆的标准方程以及 a、b、c 间的关系；(2)能熟练地利用待定系数法、定义法或转移代入法求椭圆方程；(3)掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；(4)了解直线与椭圆的位置关系的处理方法；(5)体会数形结合、分类讨论等思想方法2预习提纲(1)回顾必修 2 中直线与圆的相关知识，回答下列问题：直线的点斜式方程是如何建立的?圆的标准方程是如何建立的?你能根据直线及圆的方程的建立过程，总结出建立曲线方程的一般步骤吗?(2)阅读课本第 2833 页，回答下列问题：建立适当的坐标系可以使方程的形式简单，你认为要推导椭圆的方程怎样
2、建系比较合适?焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为_，焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程为_，其中 a，b，c 的关系为_；椭圆 (ab0)上的点中，横坐标 x 的范围是 ，纵坐标 y 的范围是 21y知识、方法 要求 建议椭圆的标准方程 掌握1让学生自主探究：如何建系可使椭圆的方程形式简单?对焦点在 y 轴上的标准方程， 能否从焦点在 x 轴上的椭圆方程的结构特征来猜想出结论?2能熟练地利用待定系数法、定义法或转移代入法求椭圆方程椭圆的几何性质 掌握1掌握 a， b， c， e 的几何意义以及它们之间的关系2通过对方程的讨论， 知道解析几何是怎样用代数方法研究曲线性质的直线与椭圆的位置关系 了解
3、直线与椭圆的位置关系的讨论类似于直线与圆的位置关系的讨论，但由于圆的几何特性，它既可以利用代数法(即联立方程，利用判别式 )，也可以利用几何法(即圆心到直线的距离与半径的关系) 来处理直线与椭圆位置关系常联立两曲线方程，消元转化为关于 x 或y 的方程，利用判别式结合韦达定理来解决中点弦问题可用点差法来处理；椭圆关于 _都是对称的，椭圆的对称中心叫做 ；椭圆 (ab0)的四个顶点是 A1(_)、A 2(_)、B 1(_)、B 2(_)，21xy线段 A1A2、B 1B2 分别叫做椭圆的 ；椭圆的焦距与长轴长的比 e= ，叫做椭圆的 c(3)课本第 29 页例 1 求椭圆的标准方程，这是同学们熟
4、悉的实际模型，采用的方法是_；第 29 页例 2 求椭圆的标准方程，采用的方法是_，例 2 运用方程证实猜想：椭圆可用圆通过压缩变换得到，它揭示了椭圆与圆的内在关系，这种内在联系有利于进行类比探索，请同学们思考课本第 35 页探究拓展第 12 题；第 32 页例 1，先由方程研究椭圆的几何性质，再运用几何性质解决有关问题(如作图等) ，请同学们体会数形结合的思想方法；第 33 页例 2 希望同学们进一步感受圆锥曲线的实际背景，思考为什么长轴端点分别是近地点和远地点?3典型例题(1)椭圆的标准方程待定系数法：已知焦点、焦距或椭圆上一点求椭圆的标准方程：先确定方程的形式，再根据条件求 a、b例 1
5、 求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在 x 轴上，a：b=2：1，c= ；6(2)焦点在 y 轴上，a 2+b2=5，且过点 ( ，0)；2(3)焦距为 6，ab=1 分析：求椭圆的标准方程首先需确定焦点的位置，然后利用条件通过解方程或方程组解得a、b，从而得出椭圆方程 解：(1)由题意设椭圆方程为： (ab0)，21xy则 a：b=2：1，c= 6又 a2b 2=c2=6， 由 得：2,ab28,.a故椭圆方程为： ；218xy(2)由题意设椭圆方程为： (ab0)，2x则 椭圆过点( ，0)， b2=2又 a2+b2=5， a2=3故椭圆方程为： ；13yx(3)若焦点在 x 轴上
6、，则设椭圆方程为： (ab0)，21xy焦距为 6， a2b 2=9又 ab=1， a2=25，b 2=16即椭圆方程为： ；15xy若焦点在 y 轴上，则可设椭圆方程为： (ab0)，21yx同上可得：a 2=25，b 2=16，即方程为： 256故椭圆方程为： 或 2156xy21x点评：求符合条件的椭圆方程常用待定系数法，在计算 a、b 的过程中注意准确运用 a2=b2+c2这一条件对焦点位置不确定的椭圆方程除了分类讨论以外，也可以设为 mx2+ny2=1(m0，n0且 mn)的形式例 2 已知方程(2k)x 2+ky2=2kk 2 表示焦点在 x 轴上的椭圆，求实数 k 的取值范围分析
7、： 二元方程表示椭圆可先将二元方程化成标准式解： 由(2k)x 2+ky2=2kk 2 得：当 2kk 20 时有： 1xy 方程表示焦点在 x 轴上的椭圆， k2 k 0 ，即：1k2点评：二元方程 表示焦点在 x 轴或 y 轴上的椭圆首先是要求ymn，其次若 ，则焦点在 x 轴上；若 ，则焦点在 y 轴上 0,n且 mn定义法：正确理解椭圆的定义是熟练运用定义的前提，准确运用定义的关键是注意定义中的限制条件“2aF 1F2”及对题设条件的正确转化例 3 在圆 C： 内有一点 A(1，0) ，Q 为圆 C 上一点，AQ 的垂直平分线与2()5xyC、Q 的连线的交点为 M，求 M 点的轨迹方
8、程分析：定义法求轨迹方程关键是找到动点满足的条件，本题中 M 在 CQ 上，且有：MA=MQ解：由题意 M 在线段 CQ 上，从而有 CQ=MQ+MC又 M 在 AQ 的垂直平分线上， MA=MQ即：MA+MC=CQ=5 A(1，0) 、C( 1，0)，点 M 的轨迹是以 A(1，0)、C(1，0) 为焦点，a= 的椭圆52故 M 点的轨迹方程为： 254xy点评：本题在解答过程巧妙地利用点 M 是 AQ 垂直平分线上的点，将条件转化为：MA=MQ，再利用 M 是 CQ 上的点，结合 A、C 是定点得出点 M 满足的条件：MA+MC=5，从而避免了烦琐的解题过程，这在解析几何中会经常遇到，因此
9、在解题过程中应充分挖掘隐含的条件，以达到简化之目的坐标转移法：若一动点(x，y)随着另一动点( x0，y 0)变化，且 x0，y 0 的关系已知，则将 x0，y 0 用 x、y 表示代入已知关系式即可例 4 将圆 x2+y2=9 上任意一点 P 的横坐标不变，纵坐标变为原来的 得到点 M，求点 M 的13轨迹方程，并说明它表示什么曲线分析：利用条件得出点 M(x， y)的坐标与 P(x0，y 0)的坐标间的关系，将 x0，y 0 用 x，y 表示代入方程 x2+y2=9 即可解：设点 M 的坐标为(x，y)，点 P 的坐标为( x0，y 0)，则由题意的：x 0= x ，y 0=3 y点 P(
10、x0，y 0)在圆 x2+y2=9 上， x02+y02=9， x2+9y2=9，即点 M 的轨迹方程为： 19故点 M 的轨迹为：以(2 ，0) 、(2 ，0) 为焦点，a=3 的椭圆2点评：此例的解题步骤是先写出 P 点与 M 点的坐标之间的关系，然后用 M 点的坐标表示 P点坐标并代入 P 点的坐标所满足的方程，整理即得所求轨迹方程转移代入法的基本步骤是：先求出相关的动点间的坐标关系，并且用从动点的坐标表示主动点的坐标，然后代入主动点的坐标所满足的方程并整理即得所求方程(2)椭圆的几何性质已知椭圆方程得椭圆的几何性质：化方程为标准形式例 5 已知椭圆 25x2+16y2=400，写出其长
11、轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率分析：将椭圆方程化为椭圆的标准方程解：由 25x2+16y2=400 得： ，2165则 a5，b4，故 c3故椭圆的长轴长为 10，短轴长为 8，焦点坐标为(0，3) 、 (0，3)，四个顶点坐标为(0，5)、(0 ，5)、(4，0)、(4，0)，离心率 e= 35点评：由椭圆方程求描述椭圆几何性质的量时，应首先将方程化为标准式并判断焦点所在的坐标轴，写出 a、b、c 三个基本量，再写其他的特征量已知椭圆的几何性质求椭圆的标准方程；一是定型，二是定 a、b例 6 分别求出符合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两轴之和为 20，焦距为 4 ；5(2)长轴长
12、是短轴长的 3 倍，且过点(0 ，3)；(3)与椭圆 4x2+9y2=36 有相同的焦距，且离心率为 5分析：涉及到椭圆标准方程问题必须先考虑焦点位置，然后用待定系数法解：(1)由题意：ab10， a 2b 2=20，解方程组 得：a6，b4210,若焦点在 x 轴上，则椭圆方程为： ；2136xy若焦点在 y 轴上，则椭圆方程为： 故椭圆方程为： 或 2136xy2136x(2)由题意得：a3b，若焦点在 x 轴上，则设椭圆方程为： ，29yb 椭圆过点 (0，3)， b 2=9，即：椭圆方程为： 18y若焦点在 y 轴上，则设椭圆方程为： ，219yxb 椭圆过点 (0，3)， b 2=1
13、，即：椭圆方程为： 19x故椭圆的标准方程为： 或 28y219x(3)由题意得：c 5又 e = = ， a5， b 2= a 2c 2=20，若焦点在 x 轴上，则椭圆方程为： ，150xy若焦点在 y 轴上，则设椭圆方程为： ，2故椭圆的标准方程为： 或 2150xy150x(3)直线与椭圆的位置关系直线与椭圆位置关系的讨论类似于直线与圆的位置关系的讨论，但由于圆的几何特性，它既可以利用代数法(即联立方程，利用判别式 )，也可以利用几何法 (即圆心到直线的距离与半径的关系)来处理直线与椭圆位置关系常联立两曲线方程，消元转化为关于 x 或 y 的方程，利用判别式结合韦达定理来解决中点弦问题
14、可用点差法来处理例 7 已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆与直线 x+y=1 相交于 A、B 两点，且 AB=，连结 AB 的中点与原点的直线的斜率为 ，求此椭圆方程2 2分析：焦点所在坐标轴无法确定时，设椭圆方程为：ax 2+by2=1(a，b0)解：设椭圆方程为：ax 2+by2=1(a，b0)，A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，AB 的中点 P(x0，y 0)由 得：(a+ b)x22bx+b1=021,xyab 直线与椭圆交于 A、B 两点， =4(a+bab)0且 1212,x |AB|= | 2kxab a+bab=(a+b) 2又 ，且 AB 中点与原点连结的斜率为1
15、000,1xyx2故 ，即 b= a22解方程组 得：2(), 2,3ab检验知： 故椭圆方程为：1,3ab1xy点评：涉及到弦长、弦的中点问题时，常设出弦的端点坐标例 8 已知椭圆 ，直线 ，若椭圆上存在两个不同的点关于该直线对42yxmxyl4:称，求 的取值范围m分析：若存在 关于直线 成轴对称，则直线 是线段 的垂直平分线要根据这几个21,Pll21P条件，寻求它们与所求之间的联系，设计自己的解题方案，然后再实施解题方案解：法一 假设存在 关于直线 对称),(),(21yxmxy4， ， ，代入 化简得：lP21421Pk blP1:21与 132y08683bx 40)39(6422
16、设 的中点为 M，则21 13,121 bxyxM将 M 坐标代入直线 得：my4b4132134)413(222 mmb法二 假设存在 关于直线 对称，它们的中点为),(),(21yxPxy4),(0yxM则： )(24321yxmyxmyxyyxk 3,4,3413)( 0000021 与与，代入椭圆方程得：)(:)3,(21 mlmMP，令 0486912 x 1342与 132法三 ， 在椭圆内 (,3) )()(2m点评：法一先利用 求出 的范围，再找到 的关系，从而求出 的取值范围bmb与法二法三点差法是通过设弦的端点坐标代入曲线方程，然后将两式作差得弦的中点坐标与弦所在直线的斜率
17、间的关系，在处理中点弦时较为简便，但在求弦中点轨迹时无法确定取值范围，需按几何意义确定4 自我检测(1)若动点 P 到点 F1(3，0)、F 2(3，0) 的距离之和为 10，则动点 P 的轨迹方程是_(2)若动点 P 到点 F1(0，2)、F 2(0，2) 的距离之和为 12，则动点 P 的轨迹方程是_(3)已知方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是 _2xky(4)若椭圆的一个长轴端点到一个短轴端点的距离恰等于该椭圆的焦距，则该椭圆的离心率为_(5)已知椭圆 的离心率为 ，则 m 的值为_214xym2三、课后巩固练习A组1有下列命题：平面内与两个定点 F1、F 2 的
18、距离和等于常数的点的轨迹是椭圆；平面内与两个定点 F1、F 2 的距离和等于常数(大于 F1 F2)的点的轨迹是椭圆； 方程(ac 0) 表示焦点在 x 轴上的椭圆；方程 (a0，b0)表示焦22xyc 1yx点在 y 轴上的椭圆其中真命题的序号为_2椭圆 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6，则点 P 到另一个焦点 F2 的距离是 10363椭圆 9x2+4y2=1 的焦点坐标为 ，焦距为 4已知椭圆的两个焦点为 F1(2，0) 、F 2(2，0)，并且点 M(0，2)在该椭圆上，则其方程为 _ 5方程 ，化简的结果是_2()0xyxy6设 F1、F 2 为椭圆 16x2+25y2=40
19、0 的焦点，P 为椭圆与 y 轴的一个交点，则 P 到 F1、F 2 的距离和为 7已知 F1、F 2 是椭圆 的两个焦点，过 F1 的直线与椭圆相交于 A、B 两点，则2196的周长为_2AB8若椭圆经过两点(2，0)、(0，1) ，则椭圆的标准方程为 9两个焦点的距离为 8，椭圆上一点 P 到两焦点的距离的和等于是 10，则椭圆的标准方程为 10 ABC 的两个顶点坐标 A(4，0)、B(4，0) ， ABC 的周长是 18，顶点 C 的轨迹方程为 11将圆 x2+y2=4 上任意一点 P 的纵坐标不变，横坐标变为原来的 得到点 Q，则动点 Q 的23轨迹方程是_12已知圆 x2+y2=4
20、，从这个圆上任意一点 P 向 x 轴作垂线段 PP，则线段 PP的中点 M 的轨迹方程是_13若椭圆有两个焦点 F1 (4，0) 、F 2 (4，0)，过 F1 的直线与椭圆交于 A、B 两点当ABF2 的周长为 20 时椭圆方程为_ _14椭圆 6x2+y2=6 的长轴的端点坐标是_15椭圆 的长轴长为 ，短轴长为 316椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则长轴长是短轴的_倍17与椭圆 x2+ky2=2(0k1)， k 越接近 ，椭圆越扁，k 越接近 ，椭圆越接近圆18设 12F是椭圆 的左、右焦点, 为直线 32ax上一点,2:1(0)yEabP21P是底角为 30的等腰三角形,
21、则 的离心率为_E19椭圆的一个焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为_20设 为椭圆 的两个焦点，以 为圆心、且过椭圆中心的圆21,F)0(12bayx 1F与椭圆的一个交点为 M，若直线 与圆 相切，则该椭圆的离心率为_ F121椭圆 的右焦点 ，其右准线与 轴的交点为 A，在椭圆上存在点21()xyabxP 满足线段 AP 的垂直平分线过点 ，则椭圆离心率的取值范围是_22中心在原点，焦点在 x 轴上，若长轴长为 18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是_23椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离是 5，焦点到椭圆中心的距离为 3，则椭圆的标准方程是_24已知 F1、
22、F 2 为椭圆 (ab0) 的两个焦点，过 F2 作椭圆的弦 AB，若AF 1B21xy的周长为 16，椭圆离心率 ，则椭圆方程为_ 3e25经过椭圆 (ab0) 的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为 _21xy26求出符合下列条件的椭圆的标准方程：(1)a= ，b=1 焦点在 x 轴上；6(2)a+c=10， ac=4 ；(3)焦距为 4，过 P(3，2 )，焦点在 x 轴上627已知椭圆的焦点是 F1( 1，0) 、F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且 F1 F2 是 PF1 和 PF2 的等差中项试求椭圆的标准方程28求以椭圆 9x2+5y2=45 的焦点为焦点，且经过点 M 的椭圆的标准方
23、程(2,6)29已知椭圆过点 M(4， )、N(2 ，3) ，求椭圆的标准方程3230 ABC 中，已知顶点 B(2，0)、C(2，0)，顶点 A 满足：sinB+sin C= Asin23(1)求 ABC 的周长；(2)求点 A 的轨迹方程31求符合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点为(2，0)，过 M(0，2) ； (2)过点(0 ，2 )，( ， 0)532求符合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦距为 8，离心率为 08；(2)焦点与长轴较近端点距离为 ，焦点与短轴两端点的连线互相垂直5133已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是 6
24、，且 cosOFA ，求椭圆方程32B组34椭圆 ax2+by2+ab=0 (ab0)的焦点坐标为_35方程 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 m 的取值范围为 173xym36已知 ，方程 ，表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 的取值范)2,0(22sincos1xy围为_37椭圆 的焦距为 2，则 m 的值等于_ 14xym38已知椭圆 的离心率 ，则 m 的值为 _25105e39若椭圆 2kx2+ky2=1 的一个焦点是(0 ，4)，则 k 的值为_40过点 F1(0， 2)且与圆 x2+(y+2)2=36 内切的动圆圆心的轨迹方程为_41我国发射的“神舟” 五号载人飞船的运行轨道是以地球的
25、中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面为 m 千米，远地点距地面为 n 千米，地球半径为 R 千米，则飞船运行轨道的短轴长为_42设椭圆 的长轴两端点为 M、N，异于 M、N 的点 P 在椭圆上，则 PM、PN2143xy的斜率之积为_ 43已知椭圆 的左右顶点分别为 、 为椭圆上任意一点，且直线 的斜2y, M率的取值范围是 ，则直线 的斜率的取值范围是 1,P44 ABC 中，A、B 坐标分别为( 6，0)、(6，0) ，边 AC、BC 所在直线斜率之积为 ， 49求顶点 C 的轨迹方程 45若焦点是(0， )的椭圆截直线 3xy 2=0 所得的弦的中点的横坐标为 ，则该椭25 21圆方程为_
26、46直线 y=2x+m 与椭圆 有两个公共点，则实数 m 的取值范围是2194_47过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点 F 且倾斜角为 的直线 l 被椭圆截得的弦长为_348直线 y=x+1 被椭圆 x2+2y2=4 截得的弦的中点坐标为_49椭圆 x2+2y2=1 中斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程为_50过点 P(1， 1)作椭圆 的弦 AB，则弦 AB 的中点的轨迹方程为14_51椭圆的两个焦点 F1、F 2 在 x 轴上，以 F1F2 为直径的圆与椭圆的一个交点为 (3，4)，求椭圆标准方程 52点 P 是椭圆 上一点，以点 P 以及焦点 F1、F 2 为顶点的三角形的面积等于259xy8求点 P 的坐标53已知 x 轴上的一定点 A(1，0)，Q 为椭圆 上的动点，求 AQ 中点 M 的轨迹方24xy程54已知定圆 C1：x 2+y2+4x=0，圆 C2 ： x2+y24x60=0，动圆 M 和定圆 C1 外切和圆 C2 内
