1、第三教时教材：算术平均数与几何平均数目的：要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“平均不等式”及其推导过程。过程：一、定理：如果 ，那么 （当且仅当 时取“=” ）Rba, ab22ba证明： 2)(0)(2ba时 ，当 时 ，当 ab221指出定理适用范围： R,2强调取“ =”的条件 二、定理：如果 是正数，那么 （当且仅当 时取“=” ）ba, ab2ba证明： )(222即： 当且仅当 时 ab2注意：1这个定理适用的范围： Ra2语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。三、推广：定理：如果 ，那么Rcba, abca33（当且仅当 时取“=” ）证明： cb)
2、(32233 )()(2 cbaacba 3) 22 c)(2bcc()212acab 上式0 从而Rca, abc33指出：这里 就不能保证Rcba, 0cba推论：如果 ，那么 3abc（当且仅当 时取“=” ）证明： 33333)()(cba3abca四、关于“平均数”的概念1如果 则：NnRan且1,21叫做这 n 个正数的算术平均数a叫做这 n 个正数的几何平均数nn212点题：算术平均数与几何平均数3基本不等式： naa21nna21iRNi,*这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。4 的几何解释：ab2以 为直径作圆，在直径 AB 上取一点 C， b过 C 作弦 DDAB 则 abBACD2从而 aD而半径 b2五、例一 已知 为两两不相等的实数，求证：cba, cabca22证： 2bc2以上三式相加： )(2 cabcba22六、小结：算术平均数、几何平均数的概念A BDDCa b基本不等式（即平均不等式）七、补充：1已知 ，分别求 的范围32,86baba,(8,11) (3,6) (2,4)2 试比较 与 （作差 ）Rx124x23x14x23x3求证： )(cbacba证： )(22b)22 )(22a三式相加化简即得高:考;试题库
