1、选修 2-2 2.2.2 反证法一、选择题1否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )A有一个解 B有两个解C至少有三个解 D至少有两个解答案 C解析 在逻辑中“至多有 n 个”的否定是“至少有 n1 个” ，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解” ，故应选 C.2否定“自然数 a、 b、 c 中恰有一个偶数”时的正确反设为( )A a、 b、 c 都是奇数B a、 b、 c 或都是奇数或至少有两个偶数C a、 b、 c 都是偶数D a、 b、 c 中至少有两个偶数答案 B解析 a， b， c 三个数的奇、偶性有以下几种情况：全是奇数；有两个奇数，一个偶数；有一个奇数，两个偶数；三
2、个偶数因为要否定，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数” 故应选 B.3用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于 60”时，反设正确的是( )A假设三内角都不大于 60B假设三内角都大于 60C假设三内角至多有一个大于 60D假设三内角至多有两个大于 60答案 B解析 “至少有一个不大于”的否定是“都大于 60”故应选 B.4用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程 ax2 bx c0( a0)有有理根，那么a， b， c 中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( )A假设 a， b， c 都是偶数B假设 a、 b， c 都不是偶数C假设 a， b， c 至多有一个偶数D假设 a，
3、 b， c 至多有两个偶数答案 B解析 “至少有一个”反设词应为“没有一个” ，也就是说本题应假设为 a， b， c 都不是偶数5命题“ ABC 中，若 A B，则 ab”的结论的否定应该是( )A ab”的否定应为“ a b 或 a0， x11 且 xn1 (n1,2)，试证“数列 xn或者xn(xoal(2,n) 3)3x2n 1对任意正整数 n 都满足 xnxn1 ”，当此题用反证法否定结论时，应为( )A对任意的正整数 n，都有 xn xn1B存在正整数 n，使 xn xn1C存在正整数 n，使 xn xn1 且 xn xn1D存在正整数 n，使( xn xn1 )(xn xn1 )0
4、答案 D解析 命题的结论是“对任意正整数 n，数列 xn是递增数列或是递减数列” ，其反设是“存在正整数 n，使数列既不是递增数列，也不是递减数列” 故应选 D.二、填空题11命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是_答案 没有一个是三角形或四边形或五边形解析 “至少有一个”的否定是“没有一个” 12用反证法证明命题“ a， bN， ab 可被 5 整除，那么 a， b 中至少有一个能被 5 整除”，那么反设的内容是_答案 a， b 都不能被 5 整除解析 “至少有一个”的否定是“都不能” 13用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步
5、骤： A B C9090 C180，这与三角形内角和为 180相矛盾，则 A B90不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设 A， B， C 中有两个角是直角，不妨设 A B90.正确顺序的序号排列为_答案 解析 由反证法证明的步骤知，先反证即，再推出矛盾即，最后作出判断，肯定结论即，即顺序应为.14用反证法证明质数有无限多个的过程如下：假设_设全体质数为 p1、 p2、 pn，令 p p1p2pn1.显然， p 不含因数 p1、 p2、 pn.故 p 要么是质数，要么含有_的质因数这表明，除质数 p1、 p2、 pn之外，还有质数，因此原假设不成立于是，质数有无限多个答案 质数只有有限多
6、个 除 p1、 p2、 pn之外解析 由反证法的步骤可得三、解答题15已知： a b c0， ab bc ca0， abc0.求证： a0， b0， c0.证明 用反证法：假设 a， b， c 不都是正数，由 abc0 可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设 a0，则由 a b c0，可得 c( a b)，又 a b0， ab0， b20， a2 ab b2( a2 ab b2)0 矛盾，所以假设不成立因此 a0， b0， c0 成立16已知 a， b， c(0,1)求证：(1 a)b，(1 b)c，(1 c)a 不能同时大于 .14证明 证法 1：假设(1 a)b、(1 b)c、
7、(1 c)a 都大于 . a、 b、 c 都是小于 1 的正14数，1 a、1 b、1 c 都是正数. ，(1 a) b2 (1 a)b 14 12同理 ， .(1 b) c2 12 (1 c) a2 12三式相加，得 ，(1 a) b2 (1 b) c2 (1 c) a2 32即 ，矛盾32 32所以(1 a)b、(1 b)c、(1 c)a 不能都大于 .14证法 2：假设三个式子同时大于 ，即(1 a)b ，(1 b)c ，(1 c)a ，三式相乘得14 14 14 14(1 a)b(1 b)c(1 c)a 3(14)因为 0bsbr，则只可能有 2bs br bt成立14 232 s1 r1 t1 .14(23) 14(23) 14(23)两边同乘 3t1 21 r，化简得 3t r2 t r22 s r3t s，由于 rst，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾故数列 bn中任意三项不可能成等差数列
