1、一、基础知识汇总1.向量的概念（1）向量的基本要素：大小和方向.（2）向量的表示：几何表示法： ，a；坐标表示法：axiyj（x，y）.AB（3）向量的长度：即向量的大小，记作|a|.（4）特殊的向量：零向量 a0 |a|0.单位向量 a0 为单位向量 |a0|1.（5）相等的向量：大小相等，方向相同（x 1，y 1）（x 2，y 2） 21yx（6）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作 ab.由于向量可以进行任意的平移（即自由向量） ，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量.2.向量的运算：运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质向量的加法1.平行四
2、边形法则2.三角形法则ab（x 1 x2，y 1y 2）abba(a b)ca(bc )来源: 学优高考网ACB向量的减法三角形法则ab（x 1x 2，y 1y 2）aba（b）ABO数乘向量 a 是一个向量，满足：1.| a| | |a|；2. 0 时, a 与 a 同向; 0 时， a 与 a 反向； 0 时， a0 a（ x， y） （ a）（ ）a（ ）a a a （ab） a bab a b向量的数量积ab 是一个数：1.a0，且 b0 时，ab|a|b|cosa，b2.a0 或 b0 时，ab0abx 1x2y 1y2abba（ a）ba（ b） （ab）来源:学优高考网（ab）c
3、ac bca2|a| 2，|a| 2yx|ab| |a|b|3.重要定理、公式（1）平面向量基本定理e1，e 2 是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数 1， 2，使 a 1e1 2e2.（2）两个向量平行的充要条件ab a b x1y2x 2y10.（3）两个向量垂直的充要条件ab ab0 x1x2y 1y20.（4）线段的定比分点公式设点 P 分有向线段 所成的比为 ，即 ，则21 P12（线段的定比分点的向量公式）OPO（线段定比分点的坐标公式）1,2yx当 1 时，得中点公式： 2)(21221yxOP或二、例题讲解：例 1.已知向量 = ( ,
4、1) , = ( , ) .求证: ; a3b3ab是否存在不为 0 的实数 k 和 t , 使 = +(t23) , = k +t , 且 ? 如果存在, 试确定 kxyxy与 t 的关系, 如果不存在, 请说明理由 .证明： = ( , 1) , = ( , )， ，a3b21313302ab又 ， ， .0b解：假设存在不为 0 的实数 k 和 t , 使 = +(t23) , = k +t , 且 ，则 ，xabyabxy0即 ，得 ，23atatb230t又 ， ，故 ，41b34k取 ， ，则 ， ，tkxab134yab此时 ， 。2135520xy xy综上，存在不为 0 的实
5、数 k 和 t 使 = +(t23) , = k +t , 且 ；k 与 t 的关系为xabxy.3,4tkt例 2.已知平面内 , , 两两所成的角相等 , 且| |=1 , | |=2 , | |=3 , 求 + + 的长度及与三已知abcabcabc向量的夹角.解：因为平面内 , , 两两所成的角相等,abc所以 , , 两两所成的角为 0或 120.若 , , 两两所成的角为 0，c则| + + |=| |+| |+| |=6，ab+ + 与三已知向量的夹角都为 0.c若 , , 两两所成的角为 120，则 2|abc22bcabca|os10|os120|cos120a来源:gkst
6、k.Com14963所以 ，|abc设 + + 与三已知向量 , , 的夹角分别为 A,B,C,abc则 ，312cos|Ac，43s 0|2abB，9cos|3cCab则 A=150，B=90，C=30。即 + + 与三已知向量 , , 的夹角分别为 150，90，30.cabc例 3.已知坐标平面内 = (1 , 5) , = (7 , 1) , = (1 , 2) , P 是直线 OM 上的一个动点, 当 OABOMPA取最小值时, 求 的坐标.PBP解：P 是直线 OM 上的一个动点,设 ，,2Ptt则 AB1,571t1752ttt20t28t所以，当 时， 有最小值8，此时，2tP
7、AB2,4OP随堂练习1. 向量 =（ 1，2） ，向量 =（3，m） ，若 ，则 m= .OAB2、若 AD, BE 分别是ABC 的边 BC,AC 上的中线, ， 则用 , 表示向量 = . DaEbaBC3.若 的起点为 A(-2,4),终点为 B(2,1).则: = _，| |= _; 与 平行的单位向量为_;a a与 垂直的单位向量为_; 与 Ox 轴正方向夹角的余弦值为_4.函数 y=f(x)的图象按向量 平移后,得到的图象的解析式为 y=sin(x+/4)+2,那么 y=f(x)的解析式)24(a为来源:学优高考网5.已知向量 , ,且 ,则在 A,B,C,D 中一定共线的三点是
8、 ab baCDbaBbA27,65,6. 已知 O,A,B 三点的坐标分别为 O(0,0),A(3,0),B(0,3),点 P 在线段 AB 上,且 ,则)10(tABtP的最大值为 OPA7、已知 , 与 的夹角为 600,3,2baabkadc3,5(1)当 / 时, 求实数 k 的值cd(2) 当 时,求实数 k 的值8、在 R tABC 中, 已知 BC=a,若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点, 问 与 的夹角 取值时PQC的值最大?并求出这个最大值.CQBP9、已知向量 a 是以点 A（3，1）为起点，且与向量 b（3，4）垂直的单位向量，求 a 的终点坐标.来源:学优高考网10、已知：如图所示，ABCD 是菱形，AC 和 BD 是它的两条对角线.求证 ACBD.
