1、聚焦定积分的五种基本题型定积分部分是高中数学课程的新增内容，也是与高等数学相衔接的内容，同时该部分又与实际生活联系密切，所以它已成为高考命题的热点，其基本题型主要有以下几种：（一） 利用微积分基本定理求定积分例 1：计算以下定积分：（1） （2） （3）2()xd30(sin2)xd21xd解析：（1）函数 的一个原函数是 ，1ylnyx所以 = = .21()xd321(ln)x4l（2）函数 的一个原函数是 ，所以siy1cos2yx= = .30(in2)xd 30(cos2)x4（3） = + = + = .2132123xd321()xd23()dx1评注：本题考查了利用微积分基本定
2、理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数.（二） 用定积分的几何意义求定积分例 2：求定积分 .120xd解析：设 ，则 ， 表示由曲线 在y21(0)y120xd21yx上的一段与坐标轴所围成的面积，即在第一象限部分的圆的面积，所以0,1=20xd.4评注：本题考查了利用定积分的几何意义来求定积分，其关键是将被积函数的图象在坐标系中画出来，再根据积分区间确定图形的范围与大小，利用相关的面积公式求出其面积，即得到定积分的值.（三） 利用定积分求平面图形的面积例 3：求由曲线 和直线 和 所围成的图形的面积.2yxyx解析：如图，为了确定图形的范围，先求出这些曲线的交点的坐标 A(1, 1)，B
3、(2, 4)，因此，所求图形的面积为 S= + =10()d221()xd+ = .210x321()x76评注：本题考查了定积分的几何意义、微积分基本定理，借助图象，求出两曲线的交点，利用微积分基本定理即可.（四） 定积分求参数例 4：已知直线 分抛物线 与 x 轴围成图形面积为相等的两部分，求 k 的ykx2y值.解析：因为抛物线 与 x 轴两交点的横坐标 ，所以，2 120,x抛物线 与 x 轴围成图形面积为 S= = =2y120()d310，又 ，由此可得交点横坐标 ，所以16k12,xk= = ，又知 S= ，所以 ，120()2Sxdx32101()kk3()61631()2k所
4、以 .334k评注：本题考查了利用定积分几何意义及微积分基本定理来求参数这一基本应用，这种题型是近几年高考命题的热点.（五） 利用定积分的物理意义解题例 5：一点在直线上从 时刻开始以 速度运动，求：0()ts243(/)vtms(1)在 的位置； (2)在 运动的路程.4ts4t解析：（1）在时刻 时该点的位移为 = = .即t 420()tdt32401()t()3m在 时刻该点距出发点 .（2） = ，在区间0，1及ts()3m)v)3，4上的 0，在区间1，3上 0，所以在 时的路程为vt (vt4ts + =4.120(4)stdt321(4)d423()td评注：本题考查了定积分的物理意义在解决物理问题中的应用，是数学知识与生活实际相联系的典例.例 5 备用题：将一弹簧压缩 x 米需要 4x 牛顿的力，现将其从自然长度压缩 5 米，求压力所做的功.解析：由题意知，弹簧的弹性系数为 k=4，根据定积分的物理意义知压力所做的功即为压力 F=kx 关于 x 的定积分，所以 W= = =50（焦）.504xd250
