1、【高效整合篇】专题四 立体几何（一）选择题（12*5=60 分）来源:学科网 ZXXK1 【2017 届广东省高三上学期阶段性测评一】三棱柱 1ABC的侧棱垂直于底面，且 ABC，12ABC，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A 48 B 3 C 12 D 8【答案】C2 【重庆市第八中学 2017届高三上学期第二次适应性考试】已知 ， ， 是三个不同的 平面， 1l，l是两条不同的直线，下列命题是真命题的是（ ）A若 ， ，则 /B若 1/l， 1l，则 /C若 /， 1/l， 2l，则 12/lD若 ， ， 2l，则 12l【答案】D【解析】对于 A，B 选项， ,
2、可能相交；对于 C选项， 12,l可能异面，故选 D.3 【广西高级中学 2017届高三 11月阶段性检测】三棱锥 的每个顶点都在表面积为 的球BA16的球面上，且 平面 ， 为等边三角形， ，则三棱锥 的体积为（ OCDBCBACD）A3 B C D32323【答案】C【解析】因为球的表面积为 ，所以球半径为 ，设 的边长为 ，则 ，由16RBa2ABCa正三角形的性质可知 外接圆直径 ，根据球的性质可得BCD23ra，解得 ，三棱锥 的体积为： ，故22244,163ABrRa3aBACD2134a选 C. 4 【2017 届河北衡水中 学高三 12月月考】 九章算术是我国数学史上堪与欧几
3、里得几何原本相媲美的数学名著其第五卷商功中有如下问题：“今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？”这里所说的圆堡就是圆柱体，其底面周长是 4丈 8尺，高 1丈 1尺，问它的体积是多少?若 取 3，估算该圆堡的体积为（1 丈=10 尺） （ ）A1998 立方尺 B2012 立方尺 C2112 立方尺 D2324 立方尺【答案】A【解析】由底面半径为 r，则 248，又 3，所以 8r，所以该圆堡的体积为83198V立方尺，故选 A5 【2017 届河南中原名校 豫南九校高三上学期质检四 】在直三棱柱 1ABC中， ACB，点 M是侧面 1AB内的一点，若 MC与平面 B所成的角为 30，
4、M与平面 所成的角也为 30，则MC与平面 1所成的角正弦值为（ ）A 2 B 2 C. 32 D 3【答案】B6 【2017 届四川成都市高三一诊考试】在直三棱柱 1ABC中，平面 与棱 11,A,BC分别交于点 ,EFGH，且直线 1/A平面 .有下列三个命题：四边形 EFGH是平行四边形；平面/平面 1BC；平面 平面 FE.其中正确的命题有（ ） A B C D【答案】C【解析】因为 /1A平面 EFGH,根据线面平行的性质定理，可知 GFEHA/1,又根据平行平面被第三个平面所截，交线平行，可知 /,所以四边形 EFG是平行四边形；平面 和平面1BC不一定平行，有可能相交， A/1，
5、而 1平面 BC,那么 平面 BCFE,EH平面 ，所以平面 平面 BCFE,正确，所以正确的是，故选 C.7 【2017 届重庆巴蜀中学高三 12月月考】如图所示，在三棱柱 1ABC中， 1A平面 BC，1A2B， 1C， 5A，若规定主（正）视方向垂直平面 ，则此三棱柱的侧（左）视图的面积为（ ）A. 45 B. 25 C. 4 D.2【答案】A8 【2017 届河北唐山市高三数上学期期末】现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为 （ ）A 63 B 6 C. 328 D 324【答案】A9 【2017 届湖南五市十校高三 12月 联考
6、】圆锥的母线长为 L，过顶点的最大截面的面积为 21L，则圆锥底面半径与母线长的比 rL的取值范围是（ ） A 102rL B 1 C 20rL D 1rL【答案】D【解 析】由题意得轴截面的顶角 不小于 2，因为2sinsi4r，所以1rL，选 D.10 【2017 届辽宁庄河市高级中学高三 12月月考】已知长方体 1DCBA的外接球 O的体积为32，其中 21B，则三棱锥 ABCO的体积的最大值为（ ）A.1 B.3 C.2 D.4【答案】A【解析】由题意设外接球的半径为 R,则由题设可得 324R,由此可得 2R.记长方体的三条棱长分别为 2,yx,则 42yxR,由此可得 122yx,
7、因棱锥 ABCO的体积16161V,故应选 A.11 【2017 届河北磁县一中高三 11月月考】在正四棱锥 PD中， 为正方形 D的中心，24PEO，且平面 ABE与直线 交于 ,Ff，则（ ）A. f B. 26f C. 37f D. 49f【答案】A12 【2017 届重庆市第八中学高三上学期二调】用半径为 R的圆铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高于底面半径，则圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为（ ）A 38 B 37 C 28 D 327【答案】C【解析】设圆柱的高为 x，则其内接矩形的一边长为 x，那么另一边长为2xRy，所以圆柱的体积为 )20
8、(424232 RxRyxV ， 243V，令0xV，得 Rx32；令 0xV，得 Rx23，即在 R32,0内单调递增，在R,32内单调递减，所以当 2时，此圆柱体积最大，那么另一边长为 6，故圆铁皮的面积和其内接矩形的面积比为 8236322R，故选 C.（二）填空题（4*5=20 分）13 【贵州省遵义市 2017届高三上学期第一次联考（期中） 】已知平面 截一球面得圆 M，过圆 的圆心的平面 与平面 所成二面角的大小为 60，平面 截该球面得圆 N，若该球的表面积为 64，圆M的面积为 4，则圆 N的半径为_来源:学&科&网【答案】 1314 【河南省郑州市第一中学 2017届高三上学
9、期期中】已知球的表面积为 264cm，用一个平面截球，使截面圆的半径为 2cm，则截面圆心与球心的距离是_ c【答案】 3【解析】试题分析：由已知可得 2 24643RdRr15 【2017 届河北沧州一中高三 11月月考】已知三棱锥 PABC的顶点都在同一个球面上（球 O） ，且2PA， BC，当三棱锥 PAB的三个侧面的面积之和最大时，该三棱锥的体积与球 的体积的比值是 .【答案】 316【解析】由于三条棱长 PCBA,是定值,所以由题设可知当 PCBA,两两互相垂直时,三个侧面的面积之和最大.在此前提下可构造长方体 BMNQPACD,使得 PCBA,分别是该长方体的长，宽，高.由此可得其
10、外接球的直径即长方体的对角线长为 462R,即球的半径 2R,球的体积3241V,而三棱锥的体积 213V,所以 163:V,故应填答案 316.来源:Z&xx&k.ComNQDCBPMA16 【2017 届河南中原名校高三上质检三】如图，在棱长均相等的正四棱锥 PABCD最终， O为底面正方形的重心， ,MN分别为侧棱 ,PA的中点，有下列结论： /PC平面 O；平面 D平面 ； A； 直线 与直线 N所成角的大小为 90.其中正确结论的序号 是 .（写出所有正确结论的序号）来源:学科网 ZXXK【答案】 【解析】如图，连接 AC，易得 /POM，所以 /PC平面 OMN，结论正确.同理 /
11、PDON，所以平面 /PD平面 N，结论正确.由于四棱锥的棱长均相等，所以222AB，所以 A，又 /，所以 A，结论正确.由于,MN分别为侧棱 ,B的中点，所以 /B，又四边形 D为正方形，所以 /BC，所以直线 P与直线 所成的角即为直线 PD与直线 C所成的角，为 PC，知三角形 P为等边三角形，所以 60DC，故错误，故答案为 .（三）解答题（10+5*12=70 分）17 【2017 届湖南湘中名校教改联合体高三 12月联考】如图所示的几何体 QPABCD为一简单组合体，在底面 ABCD中， 60， ADC， B， D平面 ， ， 1PA，2Q（1）求证：平面 PAB平面 QC；（2
12、）求该组合体 D的体积【解析】 （1）证明：因为 平面 AB， PQD，所以 PA平面 BCD又因为 平面ABCD，所以 PBC，又因为 C，且 ，所以 平面 PA，又因为 BC平面 Q，所以平面 平面 Q 18 【2017 届江苏如东高级中学等四校高三 12月联考】如图，在四面体 ABCD中， B，90ABC，点 E， F分别为棱 AB， C上的点，点 G为棱 AD的中点，且平面 EFGP平面 D求证：（1） 2BCEF；（2）平面 D平面 ABC【解析】 （1）因为平面 GP平面 D，平面 AB平面 EFG，平面 ABD平面 CB，所以 EBP，又 为 A的中点，故 E为 的中点，同理可得
13、， 为 的中点，所以2CF （2）因为 D，由（1）知， 为 B的中点，所以 ABDE，又 90ABC，即 BC，由（1）知， EBC，所以 AEF，又 F， ， 平面 D，所以 平面 F，又 平面 ，故平面平面 A19 【2017 届辽宁盘锦高级中学高三 11月月考】 如图，四棱锥 PABCD中， 底面 ABCD，2BCD， 4， 3CBA， F为 的中点， F（1）求 PA的长；（2）求二面角 BFD的正弦值【解析】 （1）如图，连接 BD交 AC于点 O， BCD， A平分角 BC， ABD，以 O为坐标原点， O、 所在直线分别为 x轴、 y轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，则 cos
14、3C，而 4，可得 3，又 sin3，可得 (0,)A， (,0)B， (,10)C， (,0)，由于 PA底面 BC，可设 (0,)Pz， F为 PC边的中点， (,)2zF，由此可得 (,2)zAF， (3,)z，且 AFB， 2160ABz，解得 3（舍负） ，因此， (0,P，可得 P的长为 23（2）由（1）知 (,)D， (,0)B， ,23)，设平面 D的法向量为1(,)mxyz，平面 FA的法向量为 2nxyz， 0nA，且 0nF，取 13y，得 2,3，同理，由 0且 AF，解出 (3,2)向量 m， n的夹角余弦值为 3(3)cos,|94n 18，因此，二面角 BAD的正弦值等于2137()8来源:学科网 ZXXK20 【河南省郑州市第一中学 2017届高三上学期期中】如图，四棱锥 中，底面 为平行PABCAB四边形， 底面 ， 是棱 的中点，且 PABCDMP2,A（1）求证： 平面 ；CDPA（2）如果 是棱 上一点，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值NBCNMAB105ANB【解析】 （1）连结 ，因为在 中， ，所以 ，2,C22C所以 因为 ，所以 又因为 底面 ，所以 ，因为AC/ADPDP
