1、课时提升卷(十五)离散型随机变量的均值(45 分钟 100 分)一、选择题(每小题 6 分,共 30 分)1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分,罚不中得 0 分.已知某运动员罚球的命中率是 0.7,则他罚球 6 次的总得分 X 的均值是 ( )A.0.70 B.6 C.4.2 D.0.422.(2013长沙高二检测)若 X 的分布列为X 0 1P 15 a则 E(X)= ( )A. B. C. D.45 12 25 153. (2013湖北高考)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125 个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的油漆面数为 X,则 X 的均
2、值 E(X)= ( )A. B.126125 65C. D.168125 754.(2013衡水高二检测)设随机变量 X 的分布列如下表所示,且 E(X)=1.6,则 a-b= ( )X 0 1 2 3P 0.1 a b 0.1A.0.2 B.0.1 C.-0.2 D.-0.45.现有 10 张奖券,8 张 2 元的、2 张 5 元的,某人从中随机抽取 3 张,则此人得奖金额的数学期望是 ( )A.6 B.7.8 C.9 D.12二、填空题(每小题 8 分,共 24 分)6.某射手射击所得环数 的分布列如表: 7 8 9 10P x 0.1 0.3 y已知 的期望 E()=8.9,则 y 的值
3、为 .7.马老师从课本上抄录一个随机变量 的分布列如下表:X 1 2来源:学优 3P ? ! ?请小牛同学计算 的数学期望,尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案 E()= .8.设 p 为非负实数,随机变量 X 的概率分布为:X 0 1 2P -p12p 12则 E(X)的最大值为 .三、解答题(910 题各 14 分,11 题 18 分)9.(2013昆明高二检测)某班将要举行篮球投篮比赛,比赛规则是:每位选手可以选择在 A 区投篮 2 次或选择在 B 区投篮 3 次,在 A 区每进一球得 2 分,不进球得 0 分;在
4、B 区每进一球得 3 分,不进球得 0 分,得分高的选手胜出.已知某参赛选手在 A 区和 B 区每次投篮进球的概率分别是 和 .91013(1)如果以投篮得分的期望值高作为选择的标准,问该选手应该选择哪个区投篮?请说明理由.(2)求该选手在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分的概率.10.(2012浙江高考)已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白球得 2 分,取出一个黑球得 1 分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为取出此 3 球所得分数之和.(1)求 X 的分布列.(2)求 X 的数学期望 E(X).11.(能力挑战题)一个口袋中
5、有 2 个白球和 n 个红球(n2,且 nN *),每次从袋中摸出两个球(每次摸球后把这两个球放回袋中),若摸出的两个球颜色相同为中奖,否则为不中奖.(1)试用含 n 的代数式表示一次摸球中奖的概率 P.(2)若 n=3,求三次摸球恰有一次中奖的概率.(3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为 f(p),当 n 为何值时,f(p)取最大值.答案解析1.【解析】选 C.总得分 XB(6,0.7),E(X)=60.7=4.2.【变式备选】设 15000 件产品中有 1000 件废品,从中抽取 150 件进行检查,查得废品的数学期望为 ( )A.20 B.10 C.5 D.15【解析】选 B.废品率为 ,
6、设 150 件中的废品数为 X,则 XB115,所以 E(X)=150 =10.(150,115) 1152.【解题指南】先借助概率分布的性质求 a 的值,再借助定义求 E(X).【解析】选 A.由题意知 +a=1,E(X)=0 +a=a= .15 15 453.【解析】选 B.P(3)= ,P(2)= ,P(1)= ,8125 36125 54125P(0)= ,E(X)= + + +0= .27125 241257212554125654.【解析】选 C.由 0.1+a+b+0.1=1,得 a+b=0.8,又由 E(X)=00.1+1a+2b+30.1=1.6,得 a+2b=1.3,来源:
7、学优由解得 a=0.3,b=0.5,所以 a-b=-0.2.5.【解析】选 B.设此人的得奖金额为 X,则 X 的所有可能取值为12,9,6.P(X=12)= = ,P(X=9)= = ,P(X=6)= = ,故 E(X)C1822310115C2812310715C38310715=7.8.6.【解析】由分布列可得 x=0.6-y 且 7x+0.8+2.7+10y=8.9,解得y=0.4.答案:0.47.【解析】设“?”处的数值为 x,则“!”处的数值为 1-2x,则 E()=1x+2(1-2x)+3x=x+2-4x+3x=2.答案:28.【解题指南】先利用分布列的性质求 p 的取值范围,再
8、借助期望的定义建立 E(X)的函数关系,并且求其最值.【解析】由表可得 从而得 p ,期望值 E(X) =00121,01, 0,12+1p+(12)2 =p+1,当且仅当 p= 时,E(X) 最大值 = .12 12 32答案:32【误区警示】本题易因不算出 p 的取值范围而误认为 0p1,而导致错解.9.【解析】(1)设该选手在 A 区投篮的进球数为 X,则 XB ,故 E(X)=2 = ,(2,910) 91095则该选手在 A 区投篮得分的期望为 2 =3.6.95设该选手在 B 区投篮的进球数为 Y,则 YB ,故 E(Y)=3 =1,(3,13) 13则该选手在 B 区投篮得分的期
9、望为 31=3.所以该选手应该选择 A 区投篮.(2)设“该选手在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分”为事件C,“该选手在 A 区投篮得 4 分且在 B 区投篮得 3 分或 0 分”为事件D,“该选手在 A 区投篮得 2 分且在 B 区投篮得 0 分”为事件 E,则事件 C=DE,且事件 D 与事件 E 互斥.P(D)= = ,81100(49+827)35P(E)= = ,18100827475P(C)=P(DE)= + = ,35 4754975故该选手在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分的概率为 .4975【变式备选】(2013吉林高二检测)某市文化馆在春节期间举行高中生“蓝天海
10、洋杯”象棋比赛,规则如下:两名选手比赛时,每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时,甲每局获胜的概率皆为 ,且各局23比赛胜负互不影响.(1)求比赛进行 4 局结束,且乙比甲多得 2 分的概率.(2)设 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量 的分布列和数学期望.【解析】(1)由题意知,乙每局获胜的概率皆为 1- = .2313比赛进行 4 局结束,且乙比甲多得 2 分即头两局乙胜一局,3,4 局连胜,则 P= = .C12 13 23 13 13 481(2)由题意知, 的取值为 2,4,6.则 P(=2)= + =
11、,(23)2(13)2 59P(=4)= + = ,来源:GKSTK.ComC12 13 23 (23)2C12 13 23 (13)22081P(=6)=1-P(=2)-P(=4)= ,1681所以随机变量 的分布列为 2 4 6P 59 2081 1681则 E()=2 +4 +6 = .59 2081 16812668110.【解析】(1)X=3,4,5,6.P(X=3)= = .C3539542P(X=4)= = .C251439 1021P(X=5)= = .C152439 514P(X=6)= = .C3439121所以 X 的分布列为X 3 4 5 6P 542来源:学优1021
12、 514 121(2)X 的数学期望 E(X)= = = .15+80+75+1242 912113311.【解析】(1)一次摸球从 n+2 个球中任选两个,有 种选法,其C2+2中两球颜色相同有 + 种选法;故一次摸球中奖的概率 P= =C2C22 C2+222+2.n2+22+3+2(2)若 n=3,则一次摸球中奖的概率是 P= ,三次摸球是独立重复实验,25三次摸球中恰有一次中奖的概率是 P3(1)= P(1-P)2= .C13 54125(3)设一次摸球中奖的概率是 p,则三次摸球中恰有一次中奖的概率是f(p)= p(1-p)2=3p3-6p2+3p,0p1,C13因为 f(p)=9p2-12p+3=3(p-1)(3p-1),所以 f(p)在 是增函数,在 是减函数,(0,13) (13,1)所以当 p= 时,f(p)取最大值,所以 p= = (n2,nN *),13 n2+22+3+213所以 n=2,故 n=2 时,三次摸球中恰有一次中奖的概率最大.
