1、综合测评(B )(时间:120 分钟,满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列命题中,真命题是( ). A.x0 R,0B.x R,2xx2C.a+b=0 的充要条件是=-1D.a1,b1 是 ab1 的充分条件答案: D解析:a10,b10,由不等式的性质得 ab1,即 a1,b1ab1.2.已知命题 p:xR, x2-x+0,则 p 为( ) .A.x R,x2-x+0B.x R,x2-x+0C.x R,x2-x+0D.x R,x2-x+0答案: B3.双曲线=1 的焦距是( ).A.4
2、B.2 C.8 D.与 m 有关答案: C解析:依题意 a2=m2+12,b2=4-m2,所以 c=4.所以焦距 2c=8.4.已知空间向量 a=(1,n,2),b=(-2,1,2),若 2a-b 与 b 垂直,则 |a|等于( ) .A. B. C. D.答案: D解析:由已知可得 2a-b=(2,2n,4)-(-2,1,2)=(4,2n-1,2).又(2 a-b) b, -8+2n-1+4=0.2 n=5,n=. |a|=.5.椭圆=1 上一点到两焦点的距离分别为 d1,d2,焦距为 2c,若 d1,2c,d2成等差数列,则椭圆的离心率为( ).A. B. C. D.答案: A解析:依题意
3、 d1+d2=2a.而 d1,2c,d2成等差数列,所以 d1+d2=4c.而 2a=4c,所以 e=.6.对于空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C,有如下关系:6+2+3,则( ).A.四点 O,A,B,C 必共面B.四点 P,A,B,C 必共面C.四点 O,P,B,C 必共面D.五点 O,P,A,B,C 必共面答案: B解析:由已知得,而=1,四点 P,A,B,C 共面.7.若命题 “xR,使 x2+(a-1)x+10),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A,B 两点,若线段AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( ).A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x
4、=-2答案: B解析:y 2=2px 的焦点坐标为,过焦点且斜率为 1 的直线方程为 y=x-,即 x=y+,将其代入 y2=2px 得 y2=2py+p2,即 y2-2py-p2=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=2p.=p=2.抛物线的方程为 y2=4x,其准线方程为 x=-1.9.如图,将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角,若点 P 满足,则| 2的值为( ).A. B.2 C. D.答案: D解析:由题可知|=1,|=1,|=.=45,b0,则 loab0 时,有 loa0,不一定有 ab0,因此逆命题不正确,故否命题也不正确,故选
5、B.11.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,直线 BC1与平面 A1BD 所成角的余弦值为( ).A. B. C. D.答案: C解析:建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为 1,则 D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1).=(1,0,1),=(1,1,0),=(-1,0,1).设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z),则 n=0,n=0.令 x=1,则 n=(1,-1,-1), cos=.直线 BC1与平面 A1BD 所成角的正弦值为.直线 BC1与平面 A1BD 所成角的余弦值为.12.过 M(-2,0)的直线 m 与椭圆+y 2=
6、1 交于 P1,P2两点,线段 P1P2的中点为 P,设直线 m 的斜率为 k1(k10),直线 OP 的斜率为 k2,则 k1k2的值为 ( ).A.2 B.-2 C. D.-答案: D解析:设直线 m:y=k1(x+2),代入+y 2=1 得:x 2+2(x+2)2-2=0,整理,得(1+2)x 2+8x+8-2=0,=(8) 2-4(1+2)(8-2)0,解得.设 P1P2的中点 P(x0,y0),则 x0=,y0=k1(x0+2)=.k 2=-.k 1k2=-.二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)13.在四面体 OABC 中, =a,=b,=c,D 为 BC
7、的中点, E 为 AD 的中点,则 = .(用a,b,c 表示) 答案: a+b+c解析:)=a+b+c.14.命题 p:若 a,bR,则 ab=0 是 a=0 的充分条件,命题 q:函数 y=的定义域是3, +),则 “p q”“p q”“ p”中是真命题的有 . 答案:pq,p解析:依题意可知 p 假,q 真,所以“pq”为真,“pq”为假,“p”为真.15.设 F1,F2是椭圆=1 的两个焦点,P 是椭圆上一点,且|PF 1|-|PF2|=1,则 cosF 1PF2= .答案:解析:椭圆焦点在 y 轴上,a 2=4,b2=3,c=1,又 P 在椭圆上,所以|PF 1|+|PF2|=4,因
8、为|PF1|-|PF2|=1,所以|PF 1|=,|PF2|=.又|F 1F2|=2c=2,所以 cosF 1PF2=.16.如图,已知 A(-3p,0)(p0),B,C 两点分别在 y 轴和 x 轴上运动,并且满足=0,则动点Q 的轨迹方程为 . 答案:y 2=4px(p0)解析:设 Q(x,y),因为,所以 B.又 A(-3p,0),所以.由已知=0,所以 3px-y2=0,即 y2=4px(p0).三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12 分)已知命题 p:不等式 |x-1|m-1 的解集为 R,命题 q:f(x)=-(5
9、-2m)x是减函数,若 p 或 q 为真命题, p 且 q 为假命题,求实数 m 的取值范围 .解:由于不等式 |x-1|m-1 的解集为 R,所以 m-11,mb0)的离心率为,且 a2=2b.(1)求椭圆的方程;(2)若直线 l:x-y+m=0 与椭圆交于 A,B 两点,且线段 AB 的中点在圆 x2+y2=5 上,求 m 的值.解:(1)由题意得解得所以 b2=a2-c2=1,故椭圆的方程为 x2+=1.(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 M(x0,y0).联立直线与椭圆的方程得即3x2+2mx+m2-2=0,所以 x0=-,y0=x0+m=,即 M.又因
10、为 M 点在圆 x2+y2=5 上,所以=5,解得m=3.20.(12 分)如图,在四棱锥 O-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,ABC=,OA底面ABCD,OA=2,M 为 OA 的中点,N 为 BC 的中点.(1)解:直线 MN平面 OCD;(2)求异面直线 AB 与 MD 所成的角的大小.解:作 APCD 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0),B(1,0,0),P,D,O(0,0,2),M(0,0,1),N.(1),设平面 OCD 的一个法向量为 n=(x,y,z),则 n=0,n=0,即取
11、 z=,解得 n=(0,4,). n=(0,4,)=0.又 MN平面 OCD,MN平面 OCD.(2)设异面直线 AB 与 MD 所成的角为 ,=(1,0,0), cos=.=,即异面直线 AB 与 MD 所成的角的大小为 .21.(12 分)如图,椭圆 E:=1(ab0)的左焦点为 F1,右焦点为 F2,离心率 e=.过 F1的直线交椭圆于 A,B 两点,且 ABF2的周长为 8.来源 :学优 (1)求椭圆 E 的方程;(2)设动直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P,且与直线 x=4 相交于点 Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点 M,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M
12、?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由.解法一:(1)因为|AB|+|AF 2|+|BF2|=8,即|AF 1|+|F1B|+|AF2|+|BF2|=8,又|AF 1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a,所以 4a=8,a=2.又因为 e=,即,所以 c=1.所以 b=.故椭圆 E 的方程是=1.(2)由得(4k 2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.因为动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P(x0,y0),所以 m0 且 =0,即 64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化简得 4k2-m2+3=0.(*)此时 x0=-=-,y0=kx0+m=,所以
13、 P.由得 Q(4,4k+m).假设平面内存在定点 M 满足条件,由图形对称性知,点 M 必在 x 轴上.设 M(x1,0),则=0 对满足(*)式的 m,k 恒成立.来源:学优因为=(4-x 1,4k+m),由=0,得-4x 1+3=0,整理,得(4x 1-4)-4x1+3=0.(*)来源:学优 gkstk由于(*)式对满足(*)式的 m,k 恒成立,所以解得 x1=1.故存在定点 M(1,0),使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M.解法二:(1)同解法一.(2)由得(4k 2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.因为动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P(x0,y0),所以 m0
14、且 =0,即 64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化简得 4k2-m2+3=0.(*)此时 x0=-=-,y0=kx0+m=,所以 P.由得 Q(4,4k+m).假设平面内存在定点 M 满足条件,由图形对称性知,点 M 必在 x 轴上.取 k=0,m=,此时 P(0,),Q(4,),以 PQ 为直径的圆为(x-2) 2+(y-)2=4,交 x 轴于点M1(1,0),M2(3,0);取 k=-,m=2,此时 P,Q(4,0),以 PQ 为直径的圆为,交 x 轴于点 M3(1,0),M4(4,0).所以若符合条件的点 M 存在,则点 M 的坐标必为(1,0).来源:学优 gkstk
15、以下证明 M(1,0)就是满足条件的点:因为 M 的坐标为(1,0),所以=(3,4k+m),从而=-3+3=0,故恒有,即存在定点 M(1,0),使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M.22.(14 分)如图,在四棱锥 A-BCDE 中,底面 BCDE 为矩形,侧面 ABC底面BCDE,BC=2,CD=,AB=AC.来源:学优(1)证明 ADCE;(2)设 CE 与平面 ABE 所成的角为 45,求二面角 C-AD-E 的余弦值.(1)解:作 AOBC,垂足为 O,则 AO底面 BCDE,且 O 为 BC 的中点.以 O 为坐标原点,射线 OC 为 x 轴正方向,建立如图所示的直角坐标系 Oxy
16、z.设 A(0,0,t).由已知条件知 C(1,0,0),D(1,0),E(-1,0),=(-2,0),=(1,-t),所以=0,得 ADCE.(2)解:作 CFAB,垂足为 F,连结 FE,如图所示.设 F(x,0,z),则=(x-1,0,z),=(0,0),=0,故 CFBE.又 ABBE=B,所以 CF平面 ABE,故CEF 是 CE 与平面 ABE 所成的角,CEF=45 .由 CE=,得 CF=.又 CB=2,所以FBC=60 ,所以ABC 为等边三角形,因此 A(0,0,).作 CGAD,垂足为 G,连结 GE.在 RtACD 中,求得|AG|=|AD|.故 G,.又=(1, -),=0,=0,所以的夹角等于二面角 C-AD-E 的平面角.故二面角 C-AD-E 的余弦值 cos=-.
