1、 有关函数单调性问题的思维导图讲解及测试题函数的单调性是函数的重要性质， 用定义证明函数的单调性是函数问题中的一类重要题型，本文阐述一下用定义证明函数的单调性的基本步骤及注意事项。一、定义法根据增（减）函数的定义判断函数的单调性是常用的基本方法，一般按照“取值-作差变形-判断符号-下结论”这四个步骤进行判断，关键是变形，常用的手段有：通分提取公因式、配方法、有理化、因式分解。例 1：利用单调性的定义证明函数 在 上是减函数。+2()1xf(-,)思维导图：第一步：在 上任取 ， 第二步：作差、通分 第三步：(-1,2判断差与零的关系 第四步：下结论。解析：在 上任取 ，(-1,)12x则 21
2、2+(ff21(+)x因为 ，所以 。21x1210,0x，所以 ；即 ，210(+)2()ff21()fx故 在区间 上为减函数。fx-,+例 2：证明函数 在 上的单调递增。3()R思维导图：第一步：在 上任取 ， 第二步：作差、 配方 第三步：12x判断差与零的关系 第四步：下结论。2、图象法：就是画出函数的图象，自左向右观察函数图象的上升和下降趋势，从而判断函数的单调性。例 2：函数 在区间 A 上是增函数，则区间 A 是 （ ）()1)fx(A) (B) (C) (D) 0,)(,01,21(,)2思维导图：第一步：作出函数 的图像 第二步：自左向右观察函数图象的变)fx化趋势 第三
3、步：下结论。解析： ，2(0)(1)xyx该函数为分段函数， 其图象如右图，观察图象可知，自左向右看,在 (,)上，图象逐渐下降，故在 上是减函数；0在上，图象逐渐10,2上升，故在 上是增函数，在 上，1(,)2 图象逐渐下降，故在上是减 函数。故选 C。三、复合函数单调性判断法则，规律：同增异减例 2：求函数 的单调区间。2()16fx思维导图：第一步：求该函数的定义域 第二步：该函数可看成 与)0(uy复合而成 第三步：在定义域内判断 的单调性，2ux 216x第四步：根据同增异减下结论。解析：令 ，即 ， ，2160x216x4x可看成 复合而成，y2(0),16yu当 时， 单调递增
4、；4,x2xO xy 12当 时， 单调递减；又 为增函数，0,4x216ux(0)yu在 上单调递增，在 上单调递减。216y,0,4例 3：求函数 且 的单调区间。20xa()a思维导图：第一步：求该函数的定义域 第二步：该函数可看成 与uay复合而成 第三步：在定义域内判断 的单2ux 2x调性 第四步：根据同增异减下结论。解析：已知该函数的定义域为 R，设 ，此函数的对称轴为 ，开口向上，2()x 1x所以 时， 单调递减； 时， 单调递增；,1()ux(,)()ux当 时， 单调递减，0aya所以 时， 单调递增；(,)x23x所以 时， 单调递减；1当 时， 单调递增，xy所以 时
5、， 单调递减；(,)23xya所以 时， 单调递增；四、常用结论（1）函数 与 的单调性相反；()yfx()yf（2）当 恒为正或恒为负时，函数 与 的单调性相反；1()yfx()yf（3）在公共区间内：增函数 增函数 增函数；增函数 减函数 增函数；减函数 减函数 减函数；减函数 增函数 减函数；例 4：设 是定义在 上的减函数，且 ，则下列函数 ；()fxA()0f32()fx； ； ,其中为增函数的个数是（ 21()yf1()yfx1()yfx）（A） （B） （C） （D） 423解： 是定义在 上的减函数，且 ，()fxA()0fx、 为增函数， 为减函数，yf1()yfx1yf、
6、、 为增函数，故选 D。32()yfx21()yfx1()yfx针对性练习：1.下列函数中，在区间 上是增函数的是（ ）),0(A) (B) (C) (D) 21yx2yx21yx2yx2函数 的单调性为 （ ）2,()0f(A) 上是减函数 (B) 上是增函数，在 上是减函数,(,0)(0,)(C) 不能判断单调性 (D) 在 上是增函数3.已知 定义在同一区间上，且 是增函数， 是减函数，)(,xgf )(xf)(xg，0)(xg则在该区间上 （ ）(A) 为减函数 (B) 为增函数()f()f(C) 为减函数 (D) 为增函数xgA()xg4下列命题中正确的是_。 函数 在 上不是增函数；函数 在21y(0,)1yx(,)上是减函数；若 为增函数，则 为增函数； 若(1,)fx2()f fx为增函数， 为减函数，且 有意义，则 为减函数。(gx()gg5.已知 ，求 的单调区间。3,1,2lo)21xf )(xf6.用定义证明 在定义域 上为减函数。1)(xf ),07已知 ， （1）用单调性的定义证明 在 上是减函数；3)(xf )(xf),0（2）求 在区间 上的最值。f,
