1、1第四单元 三角形第十八课时 等腰三角形与直角三角形基础达标训练1. 若等腰三角形的两边长为 3和 7，则该等腰三角形的周长为( )A. 10 B. 13 C. 17 D. 13 或 172. (2017滨州)如图，在 ABC中， AB AC， D为 BC上一点，且 DA DC， BD BA，则 B的大小为( )A. 40 B. 36 C. 30 D. 25第 2题图 第 3题图3. (2017荆州)如图，在 ABC中， AB AC， A30， AB的垂直平分线 l交 AC于点 D，则 CBD的度数为( )A. 30 B. 45 C. 50 D. 754. 如图，等边 OAB的边长为 2，则点
2、 B的坐标为( )A. (1，1) B. ( ，1) C. ( ， ) D. (1， )3 3 3 3第 4题图 第 5题图5. 如图，在 ABC中， AB AC， A36， BD、 CE是角平分线，则图中的等腰三角形共2有( )A. 8个 B. 7 个 C. 6 个 D. 5 个6. (2017大连)如图，在 ABC中， ACB90， CD AB，垂足为 D，点 E是 AB的中点，CD DE a，则 AB的长为( )A. 2a B. 2 a C. 3a D. a2433第 6题图 第 7题图7. 如图，在 ABC中， D是 BC上一点， AB AD， E、 F分别是 AC、 BD的中点， E
3、F2，则AC的长是( )A. 3 B. 4 C. 5 D. 6第 8题图8. (2017滨州)如图，在 ABC中， AC BC， ABC30，点 D是 CB延长线上的一点，且BD BA，则 tan DAC的值为( )A. 2 B. 2 C. 3 D. 33 3 3 39. (2017荆州)九章算术中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，来折关 注 数 学 文 化抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈10 尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为 x尺，则可列方程为( )A. x26(10 x)2 B
4、. x26 2(10 x)23C. x26(10 x)2 D. x26 2(10 x)210. (2017丽水)等腰三角形的一个内角为 100，则顶角的度数是_11. (2017淮安)如图，在 Rt ABC中， ACB90，点 D， E分别是 AB， AC的中点，点F是 AD的中点，若 AB8，则 EF_第 11题图 第 12题图12. (2017益阳)如图，在 ABC中， AB AC， BAC36， DE是线段 AC的垂直平分线，若 BE a， AE b，则用含 a、 b的代数式表示 ABC的周长为_13. (2017绥化)在等腰 ABC中， AD BC交直线 BC于点 D，若 AD BC，
5、则 ABC的顶角12的度数为_14. (2017淄博)在边长为 4的等边三角形 ABC中， D为 BC边上的任意一点，过点 D分别作DE AB， DF AC，垂足分别为 E， F，则 DE DF_15. 在 ABC中， BC2， AB2 ， ACb，且关于 x的方程 x24 x b0 有两个相等的3实数根，则 AC边上的中线长为_16. (2017常德)如图，已知 Rt ABE中， A90， B60， BE10， D是线段 AE上的一动点，过 D作 CD交 BE于 C，并使得 CDE30，则 CD长度的取值范围是_4第 16题图 第 17题图 17. 如图，在等腰 Rt ABC中， ABC90
6、， AB CB2，点 D为 AC的中点，点 E， F分别是线段 AB， CB上的动点，且 EDF90，若 ED的长为 m，则 BEF的周长是_(用含 m的代数式表示)18. (6分)(2017 北京)如图，在 ABC中， AB AC， A36， BD平分 ABC交 AC于点 D.求证： AD BC.第 18题图19. (8分)在 ABC中， AB15， BC14， AC13，求 ABC的面积某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程第 19题图能力提升训练1. (2017海南)已知 ABC的三边长分别为 4、4、6，在 ABC所在平面内画一条直线，将 AB
7、C分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可能( )条A. 3 B. 4 C. 5 D. 65第 2题图2. (2017台州)如图，已知等腰三角形 ABC， AB AC. 若以点 B为圆心， BC长为半径画弧，交腰 AC于点 E，则下列结论一定正确的是( )A. AE EC B. AE BEC. EBC BAC D. EBC ABE3. 如图， ABC是等边三角形， BD平分 ABC，点 E在 BC的延长线上，且CE1， E30，则 BC_第 3题图 第 4题图4. (2017杭州)如图，在 Rt ABC中， BAC90， AB15， AC20，点 D在边 AC上，AD5，
8、 DE BC于点 E，连接 AE，则 ABE的面积等于_5. 若点 P是 ABC内一点，且它到三角形三个顶点的距离之和最小，则 P点叫 ABC的费马点( Fermat point)已经证明：在三个内角均小于 120的 ABC中，当 APB APC BPC120时， P就是 ABC的费马点若点 P是腰长为 的等腰直角三角形 DEF的费马点，则2PD PE PF_拓展培优训练1. (2017杭州)如图，在 ABC中， AB AC， BC12， E为 AC边的中点，6第 1题图线段 BE的垂直平分线交边 BC于点 D. 设 BD x， tan ACB y，则( )A. x y23B. 2x y29C
9、. 3x y215D. 4x y2212. 已知等腰三角形顶角为 36，则底与腰的比值等于_答案1. C 【解析】当 3为底边时，其它两边都为 7，3、7、7 可以构成三角形，周长为 17；当 3为腰时，其他两边为 3和 7，3367，不能构成三角形，故舍去，该等腰三角形的周长为 17.2. B 【解析】设 C x， AD DC， DAC C x， ADB2 x， AB BD， BAD ADB2 x， B1804 x， BA AC， B C，1804 x x，解得 x36， B C36.3. B 【解析】 A30， AB AC， ABC ACB75，又 l为 AB的垂直平分线， DB DA，
10、DBA A30， CBD CBA DBA753045.7第 4题解图4. D 【解析】如解图，过点 B作 BC AO于点 C， AOB是等边三角形， OC AO1，在 Rt BOC中， BC ， B点的坐标为(1， )12 OB2 OC2 3 35. A 【解析】 AB AC， A36， ABC ACB (180 A)72，12 BD， CE是角平分线， ABD DBC ABC36， ACE ECB36，12 A ABD ACE， DBC ECB， BDC180 ACB DBC180723672，同理 BEC72， BDC ACB， BECE BC， EOB180 BEC EBD1807236
11、72，同理 DOC72， BEO BOE， CDO COD，即等腰三角形有 OBC， ADB， AEC， BEC，BDC， ABC， EBO， DCO，共 8个6. B 【解析】在 Rt CDE中， CD DEa， DE a，点 E为CD2 DE2 a2 a2 2Rt ACB斜边 AB的中点， CE AE BE AB， AB 2CE2 a.12 2第 7题解图7. B 【解析】如解图，连接 AF， AB AD， F是 BD的中点， AF BD，在 Rt ACF中， AFC90， E是 AC的中点， EF2， AC2E F4.8. A 【解析】设 AC x， AC BC， ABC30，8 AB2
12、 x， BC x， AB BD， BD2 x， CD BC BD(2 )3 3x，tan DAC ， tan DAC 2 .CDAC （ 2 3） xx 3第 9题解图9. D 【解析】如解图，在直角三角形 ABC中，利用勾股定理，列方程为 x26 2(10 x)2.10. 100 【解析】由三角形内角和定理可知，若等腰三角形的一个内角为 100，则这个内角为顶角，此时两底角均为 40，即该三角形顶角的度数是 100.11. 2 【解析】在 Rt ABC中， ACB90，点 D是 AB的中点， CD AB4，点 E12是 AC的中点，点 F是 AD的中点， EF是 ADC的中位线，EF CD2
13、.1212. 2a3 b 【解析】在 ABC中， AB AC， BAC36， ABC ACB72， DE垂直平分 AC， CE AE， ECA A36， BEC A ECA72， BEC B， CE BC b， ABC的周长为 AB AC BC 2AB BC2( a b) b2 a3 b.13. 30，90或 150 【解析】如解图，第 13题解图解图中 ABC是等腰直角三角形，顶角是 90，解图中 AC BC，在直角三角形 ADC9中， AD AC， ACD30， ACB180 ACD150，解图中， AC BC，在12直角三角形 ADC中，AD AC， ACD30，综上所述， ABC顶角的
14、度数分别是 30，1290或 150.14. 2 【解析】假设点 D与点 B重合，可得 DE DF为等边三角形 AC边上的高，再由等3边三角形的边长为 4，根据勾股定理得 AC边上的高为 2 .315. 2 【解析】方程 x24 x b0 有两个相等的实数根，164 b0，解得b4，又 BC2， AB2 ， AC b4， AB2 BC2(2 )22 24 2 AC2， B90，3 3 AC边上的中线长为 2.第 16题解图16. 00， AD12， SABC BCAD 141284.12 12能力提升训练 1. B 【解析】符合条件的直线共有 4条：(1)如解图，在边 BC上截取CE CA，
15、BF BA，连接 AE、 AF，得到等腰三角形 CEA， BAF；(2)如解图，分别作AB、 AC的中垂线交 BC于点 M、 N，连接 AM， AN，得到等腰三角形 MAB， NCA，综上所述，直线 AE、 AF、 AM、 AN均满足题意112. C 【解析】由题图知，BC BE， BCE BEC， AB AC， BCA CBA， BCE BEC CBA， EBC180 BCE BEC， BAC180 BCA CBA， EBC BAC.3. 2 【解析】 ABC是等边三角形， ABC ACB60， BA BC， BD平分 ABC， DBC E30， BD AC， BDC90， BC 2DC，
16、ACB E CDE， CDE E30， CD CE1， BC 2CD2.第 4题解图4. 78 【解析】如解图，过 A作 AH BC， AB15， AC20， BAC90，由勾股定理得， BC 25， AD5， DC20515， DE BC， BAC90，152 202CDE CBA， ， CE 2012， BE BC CE13. BCAH ABAC， AHCECA CDCB 1525 12， SABE 121378.ABACBC 152025 12第 5题解图5. 1 【解析】如解图，等腰 Rt DEF中， DE DF ，过点 D作 DM EF于点 M，过3 2E、 F分别作 MEP MFP
17、30，从而可找到点 P，则 DM EM EF 21，在 Rt12 1212PEM中，PM tan30EM ， PE ， DP1 ， PF ， PD PE PF 1.33 233 33 233 3拓展培优训练1. B 【解析】如解图，连接 DE，过点 A作 AF BC，垂足为 F，过 E作 EG BC，垂足为G， AB AC， AF BC， BC12， BF FC6，又 E是 AC的中点，EG BC， EG AF， CG FG CF3，在 Rt CEG中，12tanC ， EG CGtanC3 y， DG BF FG BD63x9x， HD是 BE的垂直EGCG平分线， BD DE x，在 Rt EGD中，由勾股定理得， ED2 DG2 EG2， x2(9 x)2(3 y)2，化简整理得 2x y29.第 1题解图2. 【解析】如解图，设等腰 ABC底边为 a，腰为 b，作 B的平分线交 AC于 D，5 12则 B (18036)72， BCD、 DAB均为等腰三角形，则 BD AD BC a，12而 CD b a，由 BCD ABC， ，即 ，BCAB CDBC ab b aa( )2( )10，解得 或 (舍去)ab ab ab 5 12 5 1213第 2题解图
