1、1如图，点 A 在双曲线 xy3上，点 B 在双曲线 xy5上，且 AB x 轴， C、 D 在 x 轴上，若四边形 ABCD 为平行四边形，则它的面积为 2 。2如图，菱形 OABC 的一边 OA 在 x 轴上，将菱形 OABC 绕原点 O 顺时针旋转 75至 OABC的位置.若 OB=23，C=120，则点 B的坐标为（）A. 3, B. , C. 6, D. 6,3如图，直角梯形 ABCD 的顶点 A、 B、 C 的坐标分别为（ ，0）、（2，0）和（2，3），12AB CD， C90， CD CB（1）求点 D 的坐标；（2）抛物线 y ax2 bx c 过原点 O 与点（7，1），且
2、对称轴为过点（4，3）与 y 轴平行的直线，求抛物线的函数关系式；（3）在（2）中的抛物线上是否存在一点 P，使得 PA PB PC PD 最小？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由解：（1） D（1，3）（2 分）（2）设抛物线解析式为 y ax2 bx c由题意得： ，49a 7b c 1c 0 b2a 4 ) a 17b 87c 0)yxOA BCDyxD CBAO y x2 x（5 分）17 87（3）显然 AC、 BD 的交点 Q 满足 QA QB QC QD 最小，直线 AC 的解析式为 y2 x1，（6 分）直线 BD 的解析式为 y x2，（7 分） Q（1，1）（
3、8 分）当 x1 时， y x2 x1， 17 87 点 Q 在此抛物线上，（9 分） 存在点 P（1，1）使得 PA PB PC PD 最小（10 分）4如图， OB 是矩形 OABC 的对角线，抛物线 y x x6 经过 B、 C 两点13(1)求点 B 的坐标；(2)D、 E 分别是 OC、 OB 上的点， OD5， OE2 EB，过 D、 E 的直线交 x轴于 F，试说明OE DF；(3)若点 M 是(2)中直线 DE 上的一个动点，在 x 轴上方的平面内是否存在另一个点 N，使以 O、 D、 M、 N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）
4、设 x0，则 y6，则点 C 的坐标为（0，6），1 分，又矩形 OABC，则 BC x 轴，抛物线 y x x6 过 B、 C 两点，则 B、 C 两13点关于抛物线的对称轴 x 对称，2 分32 B 点坐标为(3，6) 3 分yxABCD EO F图 1yxABCD EO FGMNPyxABCD EO FMNP 图 2(2) 如图 1，作 EGx 轴于点 G，则 EG/BA， OEG OBH， ，又 OE2 EB，OEOB OGOH EGBH ， ， OG2， EG4，点 E 的坐标为(2，4)4 分OEOB 23 23 OG3 EG6又点 D 的坐标为(0，5)，设直线 DE 的解析式为
5、 y kxb，则 ，解得2k b 4b 5 )k ， b5直线 DE 的解析式为： y x5，5 分12 12设 y0，则 x10，则 OF10， GF OF OG8， ，又 OGE EGF90， OGE EGF， EOG FEGOGGE 24 GEGF 48 FEO FEG OEG EOG OEG907 分其他证法酌情给分(3) 答：存在 如图 1，当 OD DM MN NO5 时，四边形 ODMN 为菱形作 MPy 轴于点 P，则MP/x 轴， MPD FOD， MPOF PDOD MDFD又 OF10在 Rt ODF 中， FD 5 ， ，5MP10 PD5 MP2 ， PD 点 M 的
6、坐标为(2 ，5 )5 5 5 5点 N 的坐标为(2 ， ) 5 5 如图 2，当 OD DN NM MO5 时，四边形 ODNM 为菱形延长 NM 交 x 轴于点 P，则MPx 轴点 M 在直线 y x5 上，设 M 点坐标为12(a， a5)，在 Rt OPM 中， OP 2PM 2 OM 2，12 a2( a5)25 2，解得 a14， a20(舍去)，12点 M 的坐标为(4，3)，点 N 的坐标为(4，8) 如图 3，当 OM MD DN NO 时，四边形 OMDN 为菱形连接NM，交 OD 于点 P，则 NM 与 OD 互相垂直平分， yM yN OP ， xM5 ， xM5，5
7、2 12 52yxABCD EO FMN P图 3 xN xM 5，点 N 的坐标为(5， )52综上所述， x 轴上方的点 N 有三个，分别为N1(2 ， )， N2(4，8)， N3(5， )10 分（每个 1 分）5 5525如图，四边形 ABCO是平行四边形， 42ABO， ， 抛物线过 ABC、 、 三点，与x轴交于另一点 D.一动点 P以每秒 1 个单位长度的速度从 点出发沿 向点 运动，运动到点 停止，同时一动点 Q从点 D出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿 D向点C运动，与点 同时停止.（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴与 AB交于点 E，与 x轴交于点 F，当点
8、 P运动时间 t为何值时，四边形 POQE是等腰梯形？（3）当 t为何值时，以 O、 、 为顶点的三角形与以点 QBO、 、 为顶点的三角形相似？解：（1） 四边形 ABCO是平行四边形， 4.OCAB(2)0(4)BC， ， ， ， ， 抛物线 2yaxbc过点 ， 2.c由题意，有 16402， 解得16.4ab，所求抛物线的解析式为21.64yx（2）将抛物线的解析式配方，得 211().64yx抛物线的对称轴为 2.x(80)2().DEF， ， ， ， ，欲使四边形 POQE为等腰梯形，则有 .OPQEBF即 36tt， 即 （3）欲使以点 B、 、 为顶点的三角形与以点 、 、 为
9、顶点的三角形相似，90POQ，有 BPO或 BOQ，即 B或 2若 、 在 y轴的同侧.当 BP时， t=83， 2t 来源:学优 WWW.ZK5U.COM当 2OPQ时， (83)4t， 即 240.解得 1.3t， 若 、 在 y轴的异侧.当 PBOQ时， 38t， t当 2OBPQ时， (38)4t，即 240t.解得 427.3t4703t.故舍去. 7.t当 2t或 或 t或 423秒时，以 PBO、 、 为顶点的三角形与以点QBO、 、为顶点的三角形相似. 6 已知抛物线 2yxa（ 0）与 y轴相交于点 A，顶点为 M.直线12ya分别与 轴， 轴相交于 BC， 两点，并且与直线
10、 相交于点 N.(1)填空：试用含 的代数式分别表示点 M与 N的坐标，则 ， ， ， ；(2)如图，将 NAC 沿 y轴翻折，若点 的对应点 恰好落在抛物线上， AN与x轴交于点 D，连结 ，求 a的值和四边形 ADC的面积；(3)在抛物线 2yxa（ 0）上是否存在一点 P，使得以 ACN， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 点的坐标；若不存在，试说明理由.（1）4113MaNa， ， ，来源:学优（2）由题意得点 与点 关于 y轴对称， N413a，将 N的坐标代入2yxa得216839， 10（不合题意，舍去）， 294a.3， 点 N到 y轴的距离为 3.904A，
11、N 34， 直线 AN的解析式为94yx，它与 x轴的交点为0D， ，点 到 y轴的距离为94.19183226ACNASS 四 边 形.（3）当点 P在 y轴的左侧时，若 PN是平行四边形，则 PN平行且等于 AC，第（2）题xyBCODAMN NxyBCOAMN备用图把 N向上平移 2a个单位得到 P，坐标为 473a， ，代入抛物线的解析式，得：71683910（不舍题意，舍去）， 238，12P7，.当点 P在 y轴的右侧时，若 ACN是平行四边形，则 AC与 N互相平分，OAC， P与 关于原点对称，413Pa，将 P点坐标代入抛物线解析式得：216839a， 10（不合题意，舍去）
12、，2158a，528，存在这样的点17P，或258，能使得以 PACN， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形7 如图 14（1），抛物线 2yxk与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点C（0， 3）图 14（2）、图 14（3）为解答备用图（1） k ，点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ；（2）设抛物线 2yxk的顶点为 M，求四边形 ABMC 的面积；（3）在 x 轴下方的抛物线上是否存在一点 D，使四边形 ABDC 的面积最大？若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线 2yxk上求点 Q，使 BCQ 是以 BC 为直角边的直角三角形图 14（1） 图
13、 14（2） 图 14（3）解：（1） 3k，（-1，0），B（3，0）（2）如图 14（1），抛物线的顶点为 M（1，-4），连结 OM则 AOC 的面积= 2，MOC 的面积= 23，MOB 的面积=6， 四边形 ABMC 的面积=AOC 的面积+MOC 的面积+MOB 的面积=9说明：也可过点 M 作抛物线的对称轴，将四边形 ABMC 的面积转化为求 1 个梯形与 2 个直角三角形面积的和（3）如图 14（2），设 D（m， 32），连结 OD则 0m3， 32 0 且 AOC 的面积= 2，DOC 的面积=m23， DOB 的面积=- （ 2）， 四边形 ABDC 的面积=AOC 的面
14、积+DOC 的面积+DOB 的面积=6293m= 875)23(存在点 D15()4，使四边形 ABDC 的面积最大为 875 （4）有两种情况：来源:GKSTK.Com图 14（2）图 14（3） 图 14（4）如图 14（3），过点 B 作 BQ1BC，交抛物线于点 Q1、交 y 轴于点 E，连接 Q1C CBO=45，EBO=45，BO=OE=3 点 E 的坐标为（0，3） 直线 BE 的解析式为 3x 12 分由2yx，解得125xy，；=-30.， 点 Q1 的坐标为（-2，5） 13 分如图 14（4），过点 C 作 CFCB，交抛物线于点 Q2、交 x 轴于点 F，连接 BQ2
15、CBO=45，CFB=45，OF=OC=3 点 F 的坐标为（-3，0） 直线 CF 的解析式为 3y 14 分由23yx，解得103xy， ；=-214， -点 Q2 的坐标为（1，-4）综上，在抛物线上存在点 Q1（-2，5）、Q2（1，-4），使BCQ1、BCQ2 是以 BC 为直角边的直角三角形8 已知：如图所示，关于 x的抛物线 2(0)yaxc与 x轴交于点 (20)A， 、点(60)B，与 y轴交于点 C（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点 D，使四边形 ABC为等腰梯形，写出点 D的坐标，并求出直线AD的解析式；（3）在（2）中的直线 交抛物线的对
16、称轴于点 M，抛物线上有一动点 P， x轴上有一动点 Q是否存在以 PQ、 、 、 为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由BA OCyx（第 26 题图）BA OCyx第 26 题图Q4Q3Q1Q2P3P1P2DCP4解：（1）根据题意，得42036ac，解得143ac抛物线的解析式为214yx，顶点坐标是（2，4）（2） (43)D， ，设直线 A的解析式为 (0)ykxb直线经过点 (20)， 、 点 (43)D，23k121yx（3）存在 1Q， ， 2)， 0， (60)Q， ， 4(620)，9.如图 18，抛物线 F： cbxay的顶点为 P，抛物
17、线：与 y 轴交于点 A，与直线 OP交于点 B过点 P 作 PD x 轴于点 D，平移抛物线 F 使其经过点 A、 D 得到抛物线 F：cbxay2，抛物线 F与 x 轴的另一个交点为 C当 a = 1， b=2， c = 3 时，求点 C 的坐标(直接写出答案)；若 a、 b、 c 满足了 a求 b： b的值；探究四边形 OABC 的形状，并说明理由1） C（3，0）；（2）抛物线 cbxay2，令 =0，则 y=c， A 点坐标（0，c）来源:学优 cb2， 244a，点 P 的坐标为（ 2,cab） PD x轴于 D，点 D 的坐标为（0,b）根据题意，得 a=a，c= c，抛物线 F
18、的解析式为 cxbay2又抛物线 F经过点 D（0,2ab），ba)(42 cb420又 c， 3b:b= 32由得，抛物线 F为bxay2yxOPD CBA图 18令 y=0，则023cbxa abx21,点 D 的横坐标为,点 C 的坐标为（0,）设直线 OP 的解析式为 kxy点 P 的坐标为（ 2,cab），kabc2， 2bacb，xy点 B 是抛物线 F 与直线 OP 的交点，bcx2 abx21,点 P 的横坐标为 a2，点 B 的横坐标为 a把代入y，得cby)(2点 B 的坐标为),(aBCOA，ABOC（或 BCOA，BC =OA），四边形 OABC 是平行四边形又AOC=
19、90，四边形 OABC 是矩形 10 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x 2+2x+3 与 x 轴交于 AB 两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是该抛物线的顶点（1）求直线 AC 的解析式及 BD 两点的坐标；（2）点 P 是 x 轴上一个动点，过 P 作直线 lAC 交抛物线于点 Q，试探究：随着 P 点的运动，在抛物线上是否存在点 Q，使以点 AP、Q、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由（3）请在直线 AC 上找一点 M，使BDM 的周长最小，求出 M 点的坐标解：（1）当 y=0 时，x 2+2x+3=0，解得 x1=
20、1，x 2=3。 点 A 在点 B 的左侧，AB 的坐标分别为（1，0） ， （3，0） 。当 x=0 时，y=3。C 点的坐标为（0，3） 。设直线 AC 的解析式为y=k1x+b1（k 10） ，则 1b=k+，解得 1k=3b。直线 AC 的解析式为 y=3x+3。y=x 2+2x+3=（x1） 2+4，顶点 D 的坐标为（1，4） 。（2）抛物线上有三个这样的点 Q。如图，当点 Q 在 Q1位置时，Q 1的纵坐标为 3，代入抛物线可得点 Q1的坐标为（2，3） ；当点 Q 在点 Q2位置时，点 Q2的纵坐标为3，代入抛物线可得点 Q2坐标为（1+ 7，3） ；当点 Q 在 Q3位置时，
21、点 Q3的纵坐标为3，代入抛物线解析式可得，点 Q3的坐标为（1 ，3） 。综上可得满足题意的点 Q 有三个，分别为：Q 1（2，3） ，Q 2（1+ 7，3） ，Q3（1 7，3） 。（3）点 B 作 BBAC 于点 F，使 BF=BF，则 B为点 B 关于直线 AC 的对称点连接 BD 交直线 AC 与点 M，则点 M 为所求。过点 B作 BEx 轴于点 E。1 和2 都是3 的余角，1=2。RtAOCRtAFB。 COA=BF。由 A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，AC= 1，AB=4。 30=BF4，解得 610BF=5。BB=2BF= 1205，由1=2 可得 RtAOCRtBEB， AOC=BE。 1310=E25。BE= 125，BE= 36。OE=BEOB= 3653= 21B点的坐标为（ 215， ） 。设直线 BD 的解析式为 y=k2x+b2（k 20） ，则2k+b=415，解得 24=138b。直线 BD 的解析式为： 4yx+13。联立 BD 与 AC 的直线解析式可得：y3x48=+1，解得9=5132y。M 点的坐标为（ 95 ，） 。
