1、椭圆的简单几何性质（系列课）一、教案描述：椭圆的简单几何性质包括椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、椭圆的第二定义等等，教材中单独地把它分成几块拿出来讨论，显得极不自然。特别是椭圆的第二定义，教材通过一个例子给出，思路不蹈常规，这一切都是教材的简洁性决定的。我在教学设计中，创设了问题情境，把这些内容有机地串联起来，整个过程如同一次重大战役，环环紧扣，层层深入，促进学生思维的展开，增强创新意识的培养。过程如下：（一） 、以问题为中心，注重过程教学。首先，设计如下情境，提出反常规的问题。师：上几节课，我们导出了椭圆的标准方程，整个过程严谨周密，现摘录如下：设 M 是椭圆上任意一点，焦点 F 和 F
2、的坐标分别是 ， （图 1） 。由yx, 120,c,椭圆的定义可得： )(22aycxc将这个方程移项，两边平方得 )(22ax两边再平方，整理得)3()0(12bby问题 1：为什么将（3）式作为椭圆的标准方程？对于这一问题学生首先会感到奇怪，似乎（3）式作为标准方程那是顺理成章的，进而会展开热烈的讨论，教师总结一下大致有以下几点理由：1、 （3）式简捷，具有对称的美感。2、 （3）式为我们提供了求椭圆轨迹的标准方程，方便用待定系数法求解轨迹的方程。3、根据解析几何用曲线的方程研究曲线的几何性质这一特点， （3）式方便研究椭圆的几何性质。针对上述理由 3，教师可以组织学生就如何利用（3）式
3、从整体上把握椭圆的曲线的形状，展开讨论。这样便自然引出：范围、对称性、顶点、离心率等课文要求的内容。若要进一步研究椭圆的曲线，自然需要列表、描点、连线等常用手段，于是课文中的例 1 便自然出来了。上述讨论需要一个课时左右。（二）以探究为热点，培养创新意识。由于有了第一节课的基础，本节课教师的问题设计显然容易且自然多了。师：上节课我们讨论了（3）式作为椭圆标准方程的诸多优点，自然我们会有：问题 2：将（3）式作为椭圆的标准方程有什么缺点？对于这一问题学生感到有些困难，教师可以和学生一起比较圆的标准方程的优点后，发现（3）式无法揭示椭圆上的动点到定点的距离之和等于定长 2a 这一本质属性，相比之下
4、（1）式恰好具有这一优点。于MF2F1yO x（图 1）是师生一起可以讨论（1）式的优缺点，具体可得：1、 （1）式充分揭示了椭圆的定义。2、 （1）式难以讨论椭圆的其他几何性质，如范围、对称性、顶点等等。通过以上讨论，自然产生了：问题 3：是否存在一个方程，同时体现椭圆的第一定义和椭圆的几何性质？自然将目光转向（2）式，将（2）式变形，得 )4(2xacycx即 52eMF同理可得 )6(1x将（2）式再变形，得 )(22caycx即 )7(2xc（5） （6）两式将椭圆上点到焦点的距离转化为只和焦点的横坐标有关的一维算式，充分体现了数学降维思想。而（7）式正好揭示了椭圆的第二定义，正是书本
5、上例 2 的意图（图 2） 。如此处理教材，自然流畅，既能完成教学任务，又充分地揭示了知识的发生过程，通过被人们所遗弃的（2）式，挖掘出如此宝贵的教学成果，这会让学生兴奋不已。在品尝创新果实的同时也培养了学生的创新能力，以上讨论约一教时。（三） 、以反思为主调，奏响创新旋律。务必指出，反思是创新的源泉。通过前二节课的探索，特别是第二课时获得一系列创新成果以后，教师更要引导学生养成良好的反思习惯，打破思维定势，争取更大的突破。师：总结上二节课的讨论，我们发现对（1）式的每一次变形，都会收到一系列令人激动的科学成果，那么自然会有：问题 4：（1）式还有其他变形吗？如果有又能得到什么收获呢？此时，学
6、生的思维已被激活，讨论特别的活跃，热情空然的高涨，通过讨论可获得一系列成果如下：成果一：将（1）两边平方，整理可得：)8(2222 bayxcxycx （8）式揭示了椭圆的又一本质属性：，2221MOF即，椭圆上动点到两焦点的距离之积，PxMyO F2（图 2）xyMOF1 F2和它到椭圆中心距离的平方之和等于常数（图 3） 。成果二：将（5） （6）代入（8）式可得： )9(2exbMO若将动点到中心的长度称为椭圆的半径，那么（9）式给出了椭圆半径的计算方法，它只和该点的横坐标有关，同样起到降维作用。成果三：若将（1）式的两边乘以 ，整理可得：22ycxycx)10(22axycycx（10
7、）式给出了椭圆的又一本质属性：即椭圆上动点到两焦点的距离之差与该点到椭圆的一条对称轴（垂直于焦点所在直线）的距离之比是一个常数。成果四：在 则由余弦定理可得：,),1(2121 MFF设图中 )cos1(24)cs()(2212 aMc所以 1(s21bF将（11）式代入（8）式可得： )2(tan22bMO（12）式给出了椭圆半径与动点到两焦点连线所成角的关系。应该指出：本节课的创新讨论是无止境的，关键在于培养学生的创新意识，当然由于学生的程度不同，得到的成果也不同，无论如何，教师都应给予充分的肯定。从对（1）式作变形看，自然也可考虑对其它式子变形，如将（3）式变形成 ，于是可得，椭圆上动点
8、到两焦点 A ,B 的连线的斜率之积等于22)(abxay0,a,常数，等等。本内容可以安排 1 至 2 课时。二、教案分析（一） 、教学观念是教学设计的指南针培养创造性思维是素质教育的主要任务之一。突破旧的教学模式，精心设计教学环节，多给学生以创新的条件、机遇和氛围，突出知识的发生、形成、探索过程，寓创新意识于课堂教学之中，这是本节内容教学设计的主思想、主旋律。本教案一反常规的教学过程，在注重知识落实的同时，更注重的是过程，通过一系列问题的创设，将课本教学内容有机地联系起来，一切显得那么的自然和谐、合情合理、引人入胜，这与教师的教学观念是密切相关的。（图 3）从这堂课的整体效果看，因从暴露思
9、维的角度组织材料，所以学生学得轻松愉快，主动参与教学活动的热情高涨，变被动接受为主动学习，提高了学习效果。在教师的适当点拨下，学生在力所能及的发现中可以领略到数学的魅力，激发了他们的学习兴趣。从教师的教学理念看，特别注重提高思维能力和创新意识的培养，于是设计出一个又一个富有成果的、有价值的问题。给学生以探索的机会，创造的热情，从而提高了素质。我们说演绎推理能力的培养，无疑是重要的，但对于寻找真理、发现真理和探索真理而言，更要重视合乎情理的推理能力的培养。这一切，传统的数学教学未予重视，于是说要设计一个好的教案，转变教学观念更是关键、是方向盘、是指南针。（二）挖掘教材是教学设计的必修课。现行教学
10、教材是由很多教学教育专家经过反复修改、讨论才编就的，它的每一项内容乃至每一条题目，都有其精心的考虑。当然，编写者不可能也无必要把他们的所有想法都写进教材，这就要求我们深入钻研教材，充分挖掘教材的潜能，实际教学时，做到既源于课本，又高于课本、活于课本，以培养学生的创造性的思维能力和解决实际问题的能力。本教案从一个反常规的问题入手，扣开了学生的创新思维，可能在学生的心目中，甚至在许多教师的心底里认为（3）式作为椭圆的标准方程是天经地义的，从来没有想过为什么要把（3）式作为标准方程，也从来没有想过（3）式的许多不足和缺陷。本课时正是在这一逆向思维的基础上，一下子吸引了学生的注意力，激活了他们的好奇心，整节内容设计成几课时，犹如一部优秀的电视连续剧，让人留恋忘返、欲止不能。本教案的成功之处是充分的挖掘了教材的潜能，站在学生的层面上设计教学过程，把知识点的掌握转化为探索过程，并把探求的领域一次次地扩大，一次次地深入，这种有浅入深、由表及里、由小见大的教学设计方案，符合学生的心理特征和人们的一般的认知规律，值得借鉴和推广。
