1、14.5 勾股定理的逆定理【学习目标】1.理解勾股定理的逆定理的证明方法并能证明勾股定理的逆定理。2.能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，掌握并记住勾股数。3.进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。【重点】利用勾股定理及逆定理解综合题。【难点】应用勾股定理及逆定理时的正确选择。【学习流程】自学目标一：直角三角形的判定问题 1：如何判定一个三角形是直角三角形呢？1.从角来说，_2.从边来说，_3.特殊直角三角形的判定，_问题 2：勾股定理逆的内容22 abcc如 果 三 角 形 的 三 边 长 、 、 满 足 ，那 么 这 个 三 角 形 是 直 角 三 角 形 。符号语
2、言：问题 3：想一想:上述哪条边所对的角是直角?问题 4：命题 1.命题 2 的题设、结论分别是什么？命题 1 的题设是： 结论是：命题 2 的题设是： 结论是：命题 1 与命题 2 的关系：说明命题 1 和命题 2 是互逆命题。问题 5：是否原命题正确，它的逆命题也正确呢？ 问题 6：由以上发现原命题正确，其逆命题不一定正确，那我们发现的勾股定理的逆命题一定正确吗？还需要我们做什么？ 2 cababcABCCA90问 题 7： 已 知 ： 在 中 ， ， ， ，并 且 （ 如 图 ） 求 证 ：问题 8：知道勾股定理逆定理这个结论有什么作用吗？判断三边为 5.6.7 的三角形是不是直角三角形
3、，是否把任意两边的平方和都算出来，再与第三边比较？还是有其他的方法？问题 9：勾股数：满足 a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。特殊勾股数需牢记：（3,4,5） ， （6,8,10） ， （5,12,13） ， （7,24,25） ， （8,15,17） ， （9,40,41） ， （10,24,26） ，（11,60,61） ， （12,35,37） ， （13,84,85）及它们的倍数。221,1,anbnc1毕 达 哥 拉 斯 学 派 明 确 地 给 出 了 勾 股 数 的 一 组 公 式 ： 一 组 勾 股 数 的 正 整 数 解 ：其 特 点 是 斜 边 与 其 中 一 股 的
4、 差 为 。4732Plato古 希 腊 学 者 柏 拉 图 （ 约 前 前 ） 也 给 了 另 一 组 公 式 ：， ， ， 此 时 斜 边 与 其 中 一 股 之 差 为 。问题 10：勾股定理逆定理的拓展 22ABCABC()3cabc已 知 、 、 为 的 三 边 ， 且 为 的 最 大 边 。若 ， 则 是 锐 角 三 角 形若 ， 则 是 直 角 三 角 形若 ， 则 是 钝 角 三 角 形勾股定理逆定理逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角 三角形，判定一般步骤：（1）先确定最大边（如 c）（2）验证 与 是否相等，若 22abo90,c则 ； 若 则 不 是 直 角 三 角
5、形 .自学目标二：直角三角形的判定的应用 22.,(1)4,56;():3:4534,(, )abccmnmn判 断 由 线 段 组 成 的 三 角 形 是 否 是 直 角 三 角 形 .是 正 整 数 ,且 mn.,10,8,abcabc三 角 形 的 三 边 长 满 足试 判 断 这 个 三 角 形 的 形 状 .C BAA B c C b a 3若ABC 的三边满足条件： ，试判断ABC 的形状. c26b4a1038cba22 4已知：四边形 ABCD 中，B90 0，AB3，BC4，CD12，AD13,求四边形 ABCD 的面积?5如图，一个牧童在小河的南 4km 的 A 处牧马，而
6、他正位于他的小屋 B 的西 8km北 7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家他要完成这件事情所走的最短路程是多少？小测试：一、选择题1已知三角形的三边长之比为 11 2，则此三角形一定是( )A 锐角三角形 B钝角三角形 C 等边三角形 D 等 腰 直 角 三 角 形2在 RtABC 中，若 AC 3，BC 1，AB4，则下列结论中正确的是（ ）AC90 BB90 CABC 是锐角三角形 DABC 是钝角三角形3将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形（ ）A仍是直角三角形 B不可能是直角三角形 C是锐角三角形 D是钝角三角形4如图，正方形网格中，每个小正方形的边长
7、为 1，则网格上的三角形 ABC 中，边长为无理数的边数是（ ）A0 B1 C2 D35如图，一电线杆 AB 的高为 10 米，当太阳光线与地面的夹角为 60时，其影长 AC 约为（ 31.732，结果保留三个有效数字） （ ）A5.00 米 B8.66 米 C17.3 米 D5.77 米6如图，一架 25 分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯的底部距墙底端 7 分米，如果梯子的顶端沿墙下滑 4 分米，那么梯的底部将平滑（ ）A9 分米 B15 分米 C5 分米 D8 分米7如图，ABC 中，CDAB 于 D，若 AD=2BD，AC=6，BC=3，则 BD 的长为（ ）A3 B 12 C1
8、D48设一个直角三角形的两条直角边长为 a、 b，斜边上的高为 h，斜边长为 c，则以 ch， ab，为边的三角形的形状是（ ） A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 不能确定二、填空题：9已知三角形的三边长分别是 3n， 428， 56n，当 _时，这个三角形是直角三角AB小河东北牧童小屋第 6 题BCA第 4 题60BC A第 5 题BCA D第 7 题AB CD形10已知两条线段的长为 3cm 和 2cm，当第三条线段的长为 cm 时，这三条线段能组成一个直角三角形. 11一轮船以 16 海里/时的速度从 A 港向东北方向航行，另一艘船同时以 12 海里/时的速度从 A 港
9、向西北方向航行，经过 1.5 小时后，它们相距_海里12小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多 1m，当他把绳子的下端拉开 5m后，发现下端刚好接触地面，你能帮助他把旗杆的高度求出来是_13等腰三角形底边上的高为 8，周长为 32，则该等腰三角形面积为_14直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为_15如图，一根树在离地面 9 米处断裂，树的顶部落在离底部 12 米处这棵树在折断之前有_ 米.16如图所示，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心 A 和 B 的距离为 17如图，梯子 AB 靠在墙上，梯子的底端 A 到墙根 O
10、的距离为 2 米，梯子的顶端 B 到地面的距离为 7米现将梯子的底端 A 向外移动到 A，使梯子的底端 A到墙根 O 的距离等于 3 米，同时梯子的顶端 B下降至 B，那么 BB的值： 等于 1 米；大于 1 米 5；小于 1 米.其中正确结论的序号是 18小刚准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边 1.5m 远的水底，竹竿高出水面 0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，河水的深度为 .三、解答题：19 （6 分）根据三角形的三边 a， b， c的长，判断三角形是不是直角三角形：（1） a11， b60， c61 （2） 3， 1， c 4520 （6 分）如图，供电所
11、李师傅要安装电线杆，按要求，电线杆要与地面垂直，因此，从离地面 6m 的处向地面拉一条长 6.5m 的钢绳，现测得地面钢绳固定点 A 到电线杆底部 B 的距离为 2.5m，请问：张师傅的安装方法是否符合要求？请说明理由21 （8 分）如图所示，在四边形 ABCD 中，已知： :ABCDA2：2：3：1，且B90，求DAB 的度数22 （8 分）如图，铁路上 A.B 两点相距为 25km，C.D 为两村庄，DAAB 于 A，CBAB 于 B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路 AB 上建一个货运站 E，使得 C.D 两村到 E站距离相等，问 E 站应建在离 A 多少千米处？BCA
12、ED23 （10 分）如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明在 C 处用测角仪测得树顶端 A 的仰角为6012 00 60140BAC 第 15 题 第 16 题 第 17 题BAC30，已知测角仪高 DC=1.4m，BC=30m，请帮助小明计算出树高 AB（ 3取 1.732，结果保留三个有效数字） 24 一个零件的形状如图，按规定这个零件中A 与DBC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD = 4，AB = 3, DC = 13 , BC=12，这个零件符合要求吗？ 25 “引葭赴岸”是九章算术中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深，葭长各几何？
13、”题意是：有一个边长为10 尺的正方形池塘，一棵芦苇 AB 生长在它的中央，高出水面部分 BC 为 1 尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部 B 恰好碰到岸边的B（如图所示） ，问水深和芦苇长各多少？26. 如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是，斜边长为 和一个边长为 的正方形，请你将它们拼成一个能ab， cc证明勾股定理的图形 （1）画出拼成的这个图形的示意图 （2）证明勾股定理27如图所示，在ABC 中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为 36，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 点以每秒1cm 的速度移动；点 Q 从点 B 沿 BC 边向点 C 以每秒 2cm 的速度移动，如果同时出发，问过 3 秒时，BPQ 的面积为多少？28能够成为直角三角形三边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察下列表格所给出的三个数a，b，c，abc （1）试找出它们的共同点，并证明你的结论 （2）写出当 a=17 时，b，c 的值知识小结： CD45123cb acbacbacba cc
