1、空间向量的应用一、 求空间距离（一）求点到平面的距离：如图，已知平面外一点 P ( x0 ,y0 ,z0 ), 平面 内一点 A（x 1 ,y1 ,z1 ） ，平面 的一个法向量 ，直线nAP 与平面 所成的角为 ， , 则 sin |cos|cos . nAnP由数量积的定义知 . =| | |cos ， cos n|A点 P 到平面 的距离 d| |sin | | cos |=AP|n即：法向量与斜线向量的数量积的绝对值除以法向量的长度。例 1已正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别是边 AB、AD 的中点，GC 垂直于 ABCD 所在的平面，且 GC=2，求点 B 到平面 EFG
2、的距离。练习：如图，ABC 是正三角形，AA 1、CC 1 都垂直于平面 ABC，且 AA1=CC1=AB=a，E 为 CC1 的中点，求点 C 到平面 A1BE 的距离。 A BCDEFGxyzABCEA1 C1xyz（二） 、求直线到与它平行的平面的距离：设直线 a平面 ，A ,B . 是平面 的法向量，过 A 作 AC 垂足为 C ，an则 . = = + 又 | |= CnB）（ CAnBBn|A直线 a 到平面 的距离 d= =|同 1，即点到面的距离，即：法向量与斜线向量的数量积的绝对值除以法向量的长度。例：在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M、N 分别为有向直
3、线 A1B 和 AC 上的点，且 A1M =xA1B,AN = xAC（x1）求证：(1)MN平面 BB1C1C。(2)求 MN 到平面 BB1C1C 的距离。（三）求两平行平面之间的距离：求两平行平面间的距离; 转化为点到面的距离或线面距离求解例：如图， ABCDA1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体，M、N、P、Q、R、S 分别是所在棱的中点。（1）求证：平面 PMN平面 QRS；（2）求平面 PMN 与平面 QRS 间的距离。NMA BCDA1B1C1D1xyzNMA BCDA1B1C1D1xyzPQRS（四） 、求两条异面直线间的距离：如图，直线 a 和 b 是两条异面直线若 CD
4、是异面直线 a,b 的公垂线，A、B 分别是 a ,b 上的任意两点，令向量 a， b, 则 CD ，则由 = , 得 =nnABDCn nDBCA = ， 又 | |= = ABCD n|B两异面直线间的距离为 d= |也同前：即点到面的距离，即：法向量与斜线向量的数量积的绝对值除以法向量的长度。例如图，在正方体 AC1 中，AB= a，BC= b，AA 1= c， 求异面直线 A1C 与 BD 之间的距离。二、空间角的求法：（一）. 几何法：空间角的计算步骤 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 一作、二证、三算1 头htp:/w.xjkygcom126
5、t:/.j 异面直线所成的角 范围 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 0 90 方法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 平移法；补形法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 直线与平面所成的角 范围 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 0 90 方法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 关键是作垂线，找射影 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 3 头htp:/w
6、.xjkygcom126t:/.j 二面角：范围 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 0 180 方法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 定义法；三垂线定理及其逆定理；垂面法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 二面角的计算也可利用射影面积公式 S=Scos 来计算 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j A BCDA1B1C1D1xyz（二） 、向量法三种空间角的向量法计算公式：1.异面直线 所成的角 ： ,abcos,ab|2.直线 与平面 (法向量 )所成的角 ： ；nsinco,n|a
7、3.锐二面角 ： ，其中 为两个面的法向量。cos,m|,m求二面角的大小：只需求出二面角的两个半平面的法向量 ，则利用公式求出两向量 的夹角，,n,mn则二面角与其或其补角相等（视其实际情况而定） 。典型题例示范讲解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 例 1 在棱长为 a 的正方体 ABCDABC D中，E、F 分别是 BC、AD的中点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)求证 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 四边形 BEDF 是菱形； (2)求直线 AC 与 DE 所成的角；(3)求直线
8、AD 与平面 BEDF 所成的角；(4) 求面 BEDF 与面 ABCD 所成的角 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 知识依托 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 技巧与方法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 求二面角的大小也可应用面积射影法 头htp:/w.xjkygcom126t:
9、/.j GFEDCB ADCB A例 2 如图， 为 60的二面角，等腰直角三角形 MPN 的直角顶l点 P 在 l 上，M ,N ,且 MP 与 所成的角等于 NP 与 所成的角 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)求证 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco MN 分别与 、 所成角相等；(2)求 MN 与 所成角 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 学生巩固练习 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 在正方体 ABCDA1B1C1D
10、1 中，M 为 DD1 的中点，O 为底面 ABCD 的中心，P 为棱 A1B1 上任意一点，则直线 OP 与直线 AM 所成的角是( )A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 432 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 设ABC 和 DBC 所在两平面互相垂直，且 AB=BC=BD=a,CBA =CBD=120,则 AD 与平面 BCD所成的角为( )A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j
11、30 B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 45 C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 60 D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 753 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知AOB=90,过 O 点引AOB 所在平面的斜线 OC，与 OA、OB 分别成 45、60，则以 OC 为棱的二面角 AOCB 的余弦值等于_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为 23,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为_ 头htp:/w.x
12、jkygcom126t:/.j 60 CD A60NPBM5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知四边形 ABCD 为直角梯形，ADBC，ABC=90,PA平面 AC，且 PA=AD=AB=1,BC=2(1)求 PC 的长；(2)求异面直线 PC 与 BD 所成角的余弦值的大小；(3)求证 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 二面角 BPCD 为直二面角 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 6 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 设ABC 和 DBC 所在的两个平面互相垂直，且 AB=BC=BD，ABC= DB
13、C=120，求 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)直线 AD 与平面 BCD 所成角的大小； (2)异面直线 AD 与 BC 所成的角；(3)二面角 ABDC 的大小 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 7 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j一副三角板拼成一个四边形 ABCD，如图，然后将它沿 BC 折成直二面角 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)求证 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 平面 ABD平面 ACD；(2)求 AD 与 BC 所成的角； (3)求二
14、面角 ABDC 的大小。PAB CDDCBAAB CD空间向量的应用（教师版）一、 求空间距离（一）求点到平面的距离：如图，已知平面外一点 P ( x0 ,y0 ,z0 ), 平面 内一点 A（x 1 ,y1 ,z1 ） ，平面 的一个法向量 ，直线nAP 与平面 所成的角为 ， , 则 sin |cos|cos . nAnP由数量积的定义知 . =| | |cos ， cos n|A点 P 到平面 的距离 d| |sin | | cos |=AP|n即：法向量与斜线向量的数量积的绝对值除以法向量的长度。例 1已正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别是边 AB、AD 的中点，GC 垂直于
15、 ABCD 所在的平面，且 GC=2，求点 B 到平面 EFG 的距离。解：建立如图所示的直角坐标系 Cxyz，则 B（4，0，0 ） ，G（0，0，2） ，E（4，2， 0） ，F （2，4，0） ； =（4，2，2） ， =（2，4，2） ，G=（0，2，0） 。B设 平面 GEF，则显然 不与 z 轴垂直，故可设 =（x，y，1） ，aaa则由 平面 GEF 024GE同理有： ， 解得： ， 。故 = 。2yxFaG3x1ya1,3点 B 到平面 GEF 的距离是： 12|aAd练习：如图，ABC 是正三角形，AA 1、CC 1 都垂直于平面 ABC，且 AA1=CC1=AB=a，E
16、为 CC1 的中点，求点 C 到平面 A1BE 的距离。 解：建立如图所示的直角坐标系 Cxyz，则有B ，A 1（0， a，a） ，E ，C （0，0，0）,23a2,a A B CDEF Gx yzABCEA1 C1xyz = ， = ， = 。BA1a,23EB2,3aCE2,0a设 平面 A1BE，则显然 不与 z 轴垂直，故可设 =（x，y，1） ，a则由 平面 A1BE 02311 aBAa同理有： 解得： ， 。故 = 。023yxEBax1y1,23点 B 到平面 A1BE 的距离是： 4|aCEd（二） 、求直线到与它平行的平面的距离：设直线 a平面 ，A ,B . 是平面
17、的法向量，过 A 作 AC 垂足为 C ，an则 . = = + 又 | |= CnB）（ CAnBBn|A直线 a 到平面 的距离 d= =|n同 1，即点到面的距离，即：法向量与斜线向量的数量积的绝对值除以法向量的长度。例：在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M、N 分别为有向直线 A1B 和 AC 上的点，且 A1M =xA1B,AN = xAC（x1）求证：(1)MN平面 BB1C1C。(2)求 MN 到平面 BB1C1C 的距离。证明：（1）如图，A 1B = AC， A 1M = AN， ，x11CxN BxNMNCB11（2）建立如图所示的直角坐标系 Dxyz，
18、易得 A1（1，0，1） ，B（ 1， 1，0）, 。而平面 BB1C1C 的单位法向量为 ，)1,(xMAx x, 0,1j故 MN 到平面 BB1C1C 的距离为：d （几何法更简单）|jB1（三）求两平行平面之间的距离：平面平面 平面 NMA BCDA1B1C1D1xyz求两平行平面间的距离; 转化为点到面的距离或线面距离求解例：如图， ABCDA1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体，M、N、P、Q、R、S 分别是所在棱的中点。（1）求证：平面 PMN平面 QRS； （2）求平面 PMN 与平面 QRS 间的距离。解答：（1）略；（2）建立如图所示的直角坐标系 Dxyz，则 A1（a
19、，0，a） ，C(0，a，0),R， 0,aM 。易得 为平面 MPN 和 QRS 的法向量，2,aCA,1又向量 所以： d = 2,aR|1CARMa32（四） 、求两条异面直线间的距离：如图，直线 a 和 b 是两条异面直线若 CD 是异面直线 a,b 的公垂线，A、B 分别是 a ,b 上的任意两点，令向量 a， b, 则 CD ，则由 = , 得 =nnBDn nDBCA = ， 又 | |= = ABCDAn|C|两异面直线间的距离为 d= |也同前：即点到面的距离，即：法向量与斜线向量的数量积的绝对值除以法向量的长度。例如图，在正方体 AC1 中，AB= a，BC= b，AA 1
20、= c， 求异面直线 A1C 与 BD 之间的距离。解：建立如图所示的直角坐标系 Dxyz，则 D（0，0，0） ，B （b，a，0） ，C（0，a，0） ，A1（b，0，c ） ， =（b，a，0） ， =（b，a，c） 。 （a ，0，0） （即斜线上各取一点）DBCA1 C设 ， ，则显然 与 A1C 和 DB 的公垂线平行，面 B、C 分别位于两条异面直线 A1C 和 DB 上，故 在 上的射影的绝对值即两异面B直线 A1C 和 DB 间的距离。显然， 不与 z 轴垂直，故可设 =（x，y，1） ，aa由 和 可得： ，解之得： DBa10cybxacyb2NMA BCDA1B1C1D
21、1xyzPQRSA BCDA1B1C1D1xyz故有 ， ，所求距离为：d=1,2acb|CaB 2224bac二、空间角的求法：（一）. 几何法：空间角的计算步骤 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 一作、二证、三算1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 异面直线所成的角 范围 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 0 90 方法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 平移法；补形法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2 头htp:/w.xjkygcom
22、126t:/.j 直线与平面所成的角 范围 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 0 90 方法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 关键是作垂线，找射影 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 二面角：范围 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 0 180 方法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 定义法；三垂线定理及其逆定理；垂面法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j
23、 二面角的计算也可利用射影面积公式 S=Scos 来计算 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j （二） 、向量法三种空间角的向量法计算公式：1.异面直线 所成的角 ： ,abcos,ab|2.直线 与平面 (法向量 )所成的角 ： ；nsinco,n|a3.锐二面角 ： ，其中 为两个面的法向量。cos,m|,m求二面角的大小：只需求出二面角的两个半平面的法向量 ，则利用公式求出两向量 的夹角，,n,mn则二面角与其或其补角相等（视其实际情况而定） 。典型题例示范讲解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 例 1 在棱长为 a 的正方体 ABCD
24、ABC D中，E、F 分别是 BC、AD的中点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)求证 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 四边形 BEDF 是菱形； (2)求直线 AC 与 DE 所成的角；(3)求直线 AD 与平面 BEDF 所成的角；(4) 求面 BEDF 与面 ABCD 所成的角 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 知识依托 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 技巧与
25、方法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 求二面角的大小也可应用面积射影法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)证明 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 如上图所示，由勾股定理，得 BE =ED=DF=FB= a,下证 B、E、D、F 四点共面，取25AD 中点 G，连结 AG、EG，由 EG AB AB知，BEGA是平行四边形 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j GFEDCB ADCB A
