1、 1.七种常见的空间中的距离 (1)两点间的距离连结两点的线段的长度 (2)点到直线的距离从直线外一点向直线引垂线， 点和垂足间的长度 (3)点到平面的距离从点向平面引垂线，点和垂足间 的长度 (4)平行直线间的距离从两条平行线中一条上任意取一点向另一条直线引垂线， 点和垂足间的长度 (5)异面直线间的距离两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的 公垂线段的长度 (6)直线平面间的距离如果一条直线和一个平面平行，从直线上任意一点向平面引垂线， 点和垂足间的长度 (7)两平行平面间的距离夹在两个平行平面之间的 公垂线段的长度 2求距离的常用方法与一般步骤 (1)求距离的常用方法 直接法：即寻找
2、或作出与该距离相对应的垂线段，此法的关键是确定垂足的位置，然后借助于直角三角形求解 等体积法：把所求的距离转化为三棱锥的高，再通过变换三棱锥的顶点，由同一棱锥的体积是不变的，求出相应的距离 (2)求距离的一般步骤 “一作”：即先作出表示距离的线段(要符合作图规则，避免随意性) ； “二证”：即证明所作的线段符合题目的要求为所求线段(证明要符合逻辑且推理正确) ； “三计算”：即将所求线段放置在三角形中，解三角形求取或利用等积法求取 1.已知平面 平面 ，直线 m ，直线 n ，点 Am ，点 Bn，记点 A、B 之间的距离为 a，点 A 到直线 n 的距离为 b，直线 m 和 n 的距离为 c
3、，则( ) Abca Bac b Cca b Dcba在如图所示的单位正方体中，上、下底面分别记为 、，直线 m 即 AD1，直线 n 就是直线 BD，显然点 A、B 之间的距离为 a ，3点 A 到直线 n 的距离为 b ，直线 m 和 n 的距离为 c 1.则 cba2，由排除法选 D.2在正三棱柱 ABCA 1B1C1 中，若 AB2，AA 11，则点 A 到平面 A1BC 的距离为( )A. B. C. D.34 32 334 3解析：S ABC 22sin60 ， VA 1ABC 1 .12 3 13 3 33在ABA 1 中，A 1B ， BC 的中点 M 到点 A1 的距离为 2
4、12 22 5 52 12SA 1BC 222. 三棱锥 VA1ABC VA A 1BC. 设点 A 到平面 A1BC 的距离为 h， 2h .12 13 33h .323已知长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，棱 A1A5，AB 12，那么 直线 B1C1 到平面 A1BCD1 的距离是( )A5 B. C. D 8132 6013解析： B1C1 BC，且 B1C1平面 A1BCD1， BC平面 A1BCD1，B1C1平面 A1BCD1从而点 B1 到平面 A1BCD1 的距离即为所求过点 B1 作 B1EA 1B 于 E 点BC平面 A1ABB1，且 B1E平面 A1ABB1，BC
5、B 1E.又 BCA 1BB，B 1E平面 A1BCD1.即线段 B1E 的长即为所求在 Rt A1B1B 中， B1E .A1B1B1BA1B 51252 122 6013因此直线 B1C1 到平面 A1BCD1 的距离是 . 答案：C60134四边形 MNPQ 是边长为 a 的菱形，NMQ 60，将此菱形沿对角线 NQ 折成 60的二面角，则此时 MP 与NQ 间的距离为( )A. B. a C. a D. a32 34 64 34 设 E、 F 分别是 NQ 及 MP 的中点由于等腰三角形底边上的中线必垂直于底边，有 ME NQ， PE NQ，故NQ平面 MEP，于是 NQ EF.另外
6、EM EP， EF MP.这样， EF 就是 MP 与 NQ 的公垂线段MENQ，PENQ，MEP60 ，故 MEP 是边长为 a 的等边三角形， 32 其一条边 MP 上的高线EF a a. 答案：B32 32 345在 RtABC 中，C30，B90，D 是 BC 的中点， AC2，DE 平面 ABC，DE 1，则点 E 到斜边AC 的距离是( )A. B. C. D. 52 72 112 194解析：如图所示，作 DHAC 于点 H，连结 EH.因为 DE平面 ABC，所以 DEAC， 因为 DEDHD，所以 AC平面 DEH，所以 EHAC，由B90，C 30，AC2，得 BC .3因
7、为 D 是 BC 边的中点，所以 DH CD BC ，12 14 34又 DE1，所以 EH 答案：D DE2 DH2194 类型一 点到直线的距离 解题准备：求点到直线的距离的关键是作出点到直线的垂线在垂足的位置不容易确定时通常可以借助三垂线定理或其逆定理，先作出较容易的垂线，再进行证明即可 【典例 1】 如图，已知四边形 ABCD 是正方形， PD平面 ABCD，若 AB a， PD a，求： (1)P 到正方形各顶点的距离； (2)P 到正方形各边的距离； (3)P 到两条对角线的距离解析 (1)P 到各顶点的距离分别为 PA、PB、PC、PD 的长PD平面 ABCD，PDAD，PDDC
8、，PDBD，PAD、PCD、PBD 是直角三角形PDa，AB a，ABCD 为正方形，PA a，PB a，PC a，PDa.2 3 2(2)由图形易知 P 到 AD、CD 的距离都是 PDa.P 到 BC 的距离为 PC，即为 a，2P 到 AB 的距离 为 PA，即为 a.2(3)ACBD，DOAC.又 PD平面 ABCD，AC平面 ABCD，PDAC，POAC.故 PO 的长就是 P 到对角线 AC 的距离PO a.a2 ( 22a)2 62而 P 到对角线 BD 的距离为 PD 的长， PDa. 点评 (1)求点到点的距离及点到直 线的距离，关键是找到这个距离，两点间的距离较容易求，点到
9、直线的距离则往往需要利用三垂线定理或其逆定理 (2)求点 A 到直线 l 的距离时，一般有两种情形： 能直接找到垂 线段时，在某个三角形中求出它的长； 当没有 现成的垂线段时，一般地，可以过点 A 作直线 l 所在平面的垂线，过垂足 M 作直线 l 的垂线，得另一垂足 N，连结 AN.由三垂 线定理可得 ANl，则 AN 的 长就是点 A 到直线 l 的距离 探究 1：菱形 ABCD 中， BAD60 ，AB10 cm， PA平面 ABCD，且 PA5 cm，求： (1)点 P 到 CD 的距离； (2)点 P 到 BD 的距离； (3)点 P 到 AD 的距离解析：(1)PA平面 ABCD，
10、点 P 在平面 ABCD 上的射影为 A，过 A 在平面 ABCD 内作 AECD 于 E(ADC120，E 在 CD 的延长线上)连结 PE，由三垂 线定理得 PECD.线 段 PE 之长就是 P 到 CD 的距离在 RtADE 中，AE5 cm，3在 RtPAE 中，PE 10 cm，点 P 到 CD 的距离为 10 cm. (2)连结 AC、 BD，交点为 O， AC BD， PO BD，线段 PO 之长就是点 P 到 BD 的距离，易得 PO10 cm. (3) PA平面 ABCD， AD平面 ABCD， PA AD. 故线段 PA 之长就是点 P 到 AD 的距离， PA5 cm.
11、点评：求点到直线的距离，除利用平面图形性质和直线与平面垂直的性质外，三垂线定理和它的逆定理是不可忽视的重要方法 类型二 点到平面的距离 解题准备：求点到平面的距离其方法有三种： 1用定义，直接作出这段距离，经论证再计算 2用二面角的平面角性质：平面角的一边上任意一点到另一边的距离都垂直于第二边所在的平面先作“点”所在平面与另一边所在平面组成的二面角过“点”作平面角另一边的垂线，此垂线段长即为此“点”到“平面”的距离 3转化为锥体的高，用三棱锥体积公式求点到平面的距离 【典例 2】 在直三棱柱 ABCA1B1C1 中， AB1 BC1， AB CC1 a， BC b. (1)设 E， F 分别为
12、 AB1， BC1 的中点， 求证： EF平面 ABC； (2)求证： A1C1 AB； (3)求 B1 到平面 ABC1 的距离 分析 (1)线线平行或面面平行线面平行 (2)线面垂直线线垂直 (3)求垂线段长或用等积法解析 (1)证明：分别取 AB，BC 的中点 M，N，连结 EM，MN，FN，于是 EM 綊 BB1，FN 綊 BB1，12 12从而 EM 綊 FN，即四边形 EFNM 是平行四边形，EFMN.而 EF平面 ABC，MN平面 ABC，故 EF平面 ABC. (2)证明：连结 A1B， 三棱柱 ABCA1B1C1 是直三棱柱， AA1 AB. 又 AB CC1 AA1， AB
13、B1A1 是正方形，从而 AB1 A1B， AB1 BC1， AB1平面 A1BC1， A1C1 AB1， 而 A1C1 AA1， A1C1平面 ABB1A1. 又 AB平面 ABB1A1， A1C1 AB.(3)A1B1AB，A1B1平面 ABC1，于是 B1 到平面 ABC1 的距离等于 A1 到平面 ABC1 的距离，自 A1 作 A1HAC1 于 H.由(2)知，BA 平面 ACC1A1，BAA1H，于是 A1H平面 ABC1.在 RtA1AC1 中，AA 1CC 1 a，A1C1AC ，BC2 AB2 b2 a2AC1 b，C1C2 AC2 a2 b2 a2A1H ，A1AA1C1A
14、C1 a b2 a2b 误区指津 求点到平面的距离，不能忽视运用两个平面垂直的判定定理及性质定理确定垂足位置，转化为平面几何中求点到直线的距离问题，如果垂足的位置不容易确定，可考虑用等积法点评 求点到平面的距离，一般找出 (或作出)过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性 质过该点作出平面的垂线，进而计算；也可以利用 “三棱锥体积法”直接求距离如本题(3)的如下解法即用等积法 VC1ABB 1VB 1ABC1，即 A1C1 ABBB1 h ABAC1，将各数据代入可得 h13 12 13 12的值 探究 2：如图所示，已知三棱柱 A1B1C1ABC 的底面是边长为 2 的正三角形，侧棱 A
15、1A 与 AB， AC 均成 45角，且 A1E B1B 于 E， A1F CC1 于 F.(1)求证：平面 A1EF平面 B1BCC1； (2)求点 A1 到平面 B1BCC1 的距离； (3)当 AA1 多长时，点 A1 到平面 ABC 与到平面 B1BCC1 的距离相等 解析：(1)证明：由棱柱性质 A1A B1B C1C. 又 A1E BB1， A1F CC1， AA1平面 A1EF.B1B平面 A1EF.平面 A1EF平面 B1BCC1.(2)由(1)知，作 A1HEF 于 H， 则 A1H平面 B1BCC1，A1H 的长为 A1 到平面 B1BCC1 的距离又 EFBC2 ，A1E
16、A 1F2sin45 ，2A1H 1.A1E2 (12EF)2(3)设 AA1a，作 A1G平面 ABC 于 G，则 A1G 为 A1 到平面 ABC 的距离A1ABA 1AC45，AG 为BAC 的平分 线BAG30.又A 1AB45，设 A1A 与底面 ABC 所成角为 ，则 cos45coscos30.cos ，cos45cos30 63sin .33A1GAA 1sin a.33要使 A1 到平面 ABC 与到平面 B1BCC1 的距离相等，则 A1GA 1H，即 a1，a ，33 3即当 AA1 时，3点 A1 到平面 ABC 与到平面 B1BCC1 的距离相等 类型三 线到平面、面
17、到面的距离 解题准备：1.求线面距离常用的方法 如图，若 a ，作 a 的垂面 ，设垂足为 A， 找出 和 的交线 l，则点 A 到直线 l 的距离 就等于 a 和平面 的距离 2求平行平面距离常用的方法 (1)直接利用定义求证(或连、或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之 (2)把面面平行距离转化为线面平行距离，再转化为线线平行距离最后转化为点线(面)距离，通过解三角形或体积法求解之 【典例 3】 在棱长为 1 的正方体 ABCD A B C D中 (1)求点 A 到平面 BD的距离； (2)求点 A到平面 AB D的距离； (3)求平面 AB D与平面 BC D 的距离； (4)求直线
18、 AB 与平面 CDA B的距离解析 (1)连结 AC、BD 交于 O，AOBD，又 AODD，AO平面 BD.AO 的长即为所求，AO AC .12 22(2)解法一：易知平面 AACC平面 ABD ，在矩形 AAC C 中，易知 ACOA，设 AEAO于E，AE平面 ABD.AE 即为所求，A E AC .13 33解法二：用等体积法 VAABD V DA AB .(3)易知 AC平面 ABD，AC平面 BCD，设直线 AC 分别交平面 ABD、平面 BCD 于点E、F ，则 EF 的长为平面 ABD 与平面 BCD 的距离，于是 EF AC .13 33(4)因为直线 AB平面 CDAB
19、，点 B 到平面 CDAB的距离 BG 就是所求的距离( G 是 BC与 BC 的交点，BG BC ，BG CD，直线BG平面 A BCD )，此距离为 BG BC .12 22 点评 (1)求距离的一般步骤是：一作，二证，三计算即先作出表示距离的线段，再证明它就是要求的距离，然后再计算，其中第二步的证明易被忽视，应引起重视 (2)求距离问题体现了化归与转化的思想，一般情况下需要转化为解三角形 探究 3：如图，在棱长为 2 的正方体 AC1 中， G 是 AA1 的中点，求 BD 与平面 GB1D1 的距离 分析：线到面的距离转化为点到面的距离 解析：解法一： BD平面 B1D1G， BD 上
20、任意一点到平面 B1D1G 的距离皆为所求故可求底面中心 O 到平面 B1D1G 的距离，易证平面 A1ACC1 与平面 B1D1G 垂直， O G 是此两垂直平面的交线，故只要作 OH O G 于H，则 OH 即为所求在OOG 中，由面积关系 OHOG 2 ，而 OG ，故 OH .2 3263解法二：如果选择求 B 点到平面 B1D1G 的距离，由于垂足位置不易确定，所以 利用体积关系求距离设 B 到平面 B1D1G 的距离为 h.VBB 1D1GVD 1GBB 1，SB1D1Gh22，而 SB1D1G .h .6263点评：求线面距离，关键是选恰当的点，本题解法一直接作出距离，对掌握面面垂直、线面垂直有帮助；解法二较为简捷，考查学生的图形变换能力如图已知ABC 中，ACBC 1，AB ，S 是ABC 所在平面外的点，SASB2，SC ，点 P 是 SC 的中2 5点，求：(1)二面角 SACB 的大小；(2)点 P 到平面 ABC 的距离快解：如图所示，由题设，将棱长为 1 的正方体 OQ 的侧棱 OR 延长到 S，使 OS ，则 SASB2，SC .显然， SAO 为二面角 SACB 的平3 5面角，SAO 60.由于 P 是 SC 的中点，点 P 到平面 ABC 的距离等于点 S 到平面 ABC 距离的一 半，则点 P 到平面 ABC 的距离 为 .32
