1、第 6 课时 函数的奇偶性主备人：董晓斌 审核人：白云成来源:gkstk.Com1.理解函数的奇偶性及其几何意义, 会判断函数的奇偶性 .2.了解奇、偶函数图象的对称性 .美丽的蝴蝶,盛开的花朵,富有创意的图标等都蕴含了对称的美 ,这种“对称美”在数学中也有大量的反映 .问题 1:观察上面的两个图片, 说明它们各具备怎样的对称性?第一个图片可看作一个轴对称图形,第二个图片可看作一个中心对称图形 .问题 2:(1)奇函数、偶函数是如何定义的?(2)具有奇偶性的函数的图象具有哪些特征?(1)偶函数:一般地 ,对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 ,那么 f(x)就叫作偶函数 . 奇函数:
2、一般地,对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 ,那么 f(x)就叫作奇函数 . (2)偶函数的图象关于 对称,奇函数的图象关于 对称 . 问题 3:奇、偶函数的定义域有什么特点?奇函数若在 x=0 处有定义, 能得出什么结论?函数的奇偶性是函数的整体性质 .由函数奇偶性的定义可知,函数具有奇偶性的一个必备条件是对于定义域内的任意一个 x,则 -x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于 对称) . 若函数 f(x)是奇函数且在 x=0 处有定义, 则必有 f(0)= ,即函数图象必过 .问题 4:奇偶性与单调性有什么联系?(1)奇函数在关于原点对称的区间上具有 的单调性 . (2
3、)偶函数在关于原点对称的区间上具有 的单调性 . 1.下列图象是函数图象且具备奇偶性的是 . 2.下列函数是偶函数的是 . y=x ; y= 2x2-3;y= ; y= ,x0,1.3.函数 y=-|x|是 函数 . 4.判断下列函数的奇偶性:(1) ； (2)f(x)=|x-2|-|x+2|.42yx函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x+ ; (2)f(x)=2-|x|;(3)f(x)= + ; (4)f(x)= .利用奇偶性求值或求范围若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数 ,在( -,0上是减函数, 且 f(2)=0,则使得 f(x)0 时, f(x)=x|x-2|
4、,求当 x0 时, f(x)=x2-2x+3,求 f(x).(2013 年山东卷)已知函数 f(x)为奇函数, 且当 x0 时, f(x)=x2+ ,则 f(-1)等于( ).A.-2 B.0 C.1 D.2考题变式(我来改编):第 6 课时 函数的奇偶性知识体系梳理问题 2:(1)f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x) (2)y 轴原点问题 3:原点 0 原点问题 4:(1)相同 (2)相反基础学习交流1. 先看图象是否是函数图象, 再判断函数图象是否关于原点或 y 轴对称,只有 中的图象符合 .2. 中是奇函数 ; 中是偶函数; 中的定义域不关于原点对称, 故为非奇非偶函数 .3.偶
5、 f(-x)=-|-x|=-|x|=f(x),函数 y=-|x|为偶函数 .4.解:(1) 函数的定义域为 x|x0,关于原点对称,设 y=f(x)=x4+ ,又 f(-x)=(-x)4+ =x4+=f(x),函数为偶函数 .(2)设 y=f(x)=|x-2|-|x+2|,f(-x)=|-x-2|-|-x+2|=|x+2|-|x-2|=-f(x),函数为奇函数 .重点难点探究探究一:【解析】(1) 函数 f(x)的定义域是 x|x0,关于原点对称,又 f(-x)=-x+ =-(x+ )=-f(x).f(x)为奇函数 .(2)函数 f(x)的定义域为 R,关于原点对称,又 f(-x)=2-|-x
6、|=2-|x|=f(x),f(x)为偶函数 .(3)函数 f(x)的定义域为 -1,1,关于原点对称,且 f(x)=0,又 f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),f(x)既是奇函数又是偶函数 .(4)函数 f(x)的定义域为 x|x1,不关于原点对称,f(x)是非奇非偶函数 .【小结】判断函数奇偶性的步骤:(1)考虑定义域是否关于原点对称,如果不是,那么它一定不具有奇偶性 .(2)考虑 f(-x)与 f(x)的关系,若 f(-x)=f(x),则函数是偶函数;若 f(-x)=-f(x),则函数为奇函数;若 f(-x)既等于 f(x),又等于 -f(x),则函数既是奇函数又是偶函数 ;若 f(-x)既不等于 f(x),又不等于-f(x),则函数既不是奇函数,也不是偶函数 .探究二:【解析】由题意知,函数 f(x)的大致图象如图所示, 易知 f(x)0,f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|.又 f(x)是奇函数, f(-x)=-f(x),-f(x)=-x|x+2|,f(x)=x|x+2|.故当 x0,f(-x)=x2+2x+3,又 f(-x)=-f(x),f(x)=-x2-2x-3,f(x)=全新视角拓展A f(x)为奇函数, f(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2.思维导图构建f(-x)=-f(x) 原点 f(-x)=f(x) y 轴
