1、模块质量检测（B）(考试时间 120 分钟，满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列说法错误的是( )A如果命题“ p”与命题“ p q”都是真命题，那么命题 q 一定是真命题B命题“若 a0，则 ab0”的否命题是：“若 a0，则 ab0”C若命题 p： x0R， x022 x03b，则 ac0)，由抛物线的定义知点 P 到准线的距离为4，故 24， p4.p2抛物线方程为 x28 y，代入点 P 坐标得 m4，故选 C.答案： 7若 ABC 中， C90， A(1,2，3 k)， B(2,1,
2、0)， C(4,0，2 k)，则 k 的值为( )A. B10 10C2 D5 10解析： (6,1,2 k)， (3,2， k)，CB CA 则 (6)(3)22 k( k)CB CA 2 k2200， k .10答案： D8已知 (1,2,3)， (2,1,2)， (1,1,2)，点 Q 在直线 OP 上运动，则当 OA OB OP QA 取得最小值时，点 Q 的坐标为( )QB A. B.(12， 34， 13) (12， 32， 34)C. D.(43， 43， 83) (43， 43， 73)解析： 设 Q(x， y， z)，因 Q 在 上，OP 故有 ，可得： x ， y ， z2
3、 ，OQ OP 则 Q( ， ，2 )， (1 ，2 ，32 )，QA (2 ，1 ，22 )，QB 所以 6 216 106 2 ，QA QB ( 43) 23故当 时， 取最小值，此时 Q ，故选 C.43 QA QB (43， 43， 83)答案： C9椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为( )A. B.1010 1717C. D.21313 3737解析： 焦距为 2c，短轴长为 2b，由已知：2 c ，2b3 b3 c，又 a2 b2 c29 c2 c210 c2， e .ca 1010答案： A10给出下列四个命题，其中真命题为( )“ xR，使得 x
4、213 x”的否定是“ xR，都有 x213 x”；“ m2”是“直线( m2) x my10 与直线( m2) x( m2) y30 相互垂直”的必要不充分条件；设圆 x2 y2 Dx Ey F0( D2 E24 F0)与坐标轴有 4 个交点，分别为 A(x1,0)，B(x2,0)， C(0， y1)， D(0， y2)，则 x1x2 y1y20；函数 f(x)sin x x 的零点个数有 3 个A BC D解析： 正确；m2两条直线垂直，而两直线垂直推不出 m2， m2 是这两条直线垂直的充分非必要条件，错误；令 y0， x2 Dx F0 得， x1x2 F，令 x0， y2 Ey F0，
5、得 y1y2 F， x1x2 y1y20，正确；错误答案： C11在正方体 ABCD A1B1C1D1中， M 为 DD1的中点， O 为正方形 ABCD 的中心， P 为棱 A1B1上任一点，则异面直线 OP 与 MA 所成的角为( )A30 B45C60 D90解析： 如图所示，建立直角坐标系，设正方体棱长为 1，则 O ， P(1， y,1)， A(1,0,0)，(12， 12， 0)M ，(0， 0，12) ，OP (12， y 12， 1) ，AM ( 1， 0， 12) 0，OP AM OP 与 MA 所成的角为 90.答案： D12设 F1， F2是双曲线 x24 y24 a(a
6、0)的两个焦点，点 P 在双曲线上，且满足 1PF 20，| 1| 2|2，则 a 的值为( )PF PF PF A2 B.52C1 D. 5解析： 双曲线方程化为 1( a0)，x24a y2a 1 20， PF1 PF2.PF PF | |2| |24 c220 a，PF1 PF2 由双曲线定义| 1| 2|4 ，PF PF a又已知：| | 2|2，PF1 PF 由得：20 a2216 a， a1.答案： C二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，请把正确答案填在题中的横线上)13已知 AB 是过椭圆 1 左焦点 F1的弦，且| AF2| BF2|12，其中 F2是
7、椭圆的x225 y216右焦点，则弦 AB 的长是_解析： 由椭圆定义| AB| AF2| BF2|4 a20，得| AB|8.答案： 814设命题 p：|4 x3|1，命题 q： x2(2 a1) x a(a1)0.若 p 是 q 的必要而不充分条件，则实数 a 的取值范围是_解析： 由已知 p：14 x31， x1，12q： a x a1，又 pq， pq，即Error!，由此可知 0 a .12答案： 0，1215若直线 l 的方向向量为 a(1,0,2)，平面 的法向量为 u(2,0，4)，则直线与平面的位置关系是_解析： au(1,0,2)(2,0，4)2810直线 l 与平面 不平
8、行， a u12 a u直线 l 与平面 垂直答案： 垂直16已知命题 p： m1，命题 q：2 m29 m100，若 p， q 中有且仅有一个为真命题，则实数 m 的取值范围是_解析： q：2 m ，由题意 p 真 q 假521 m2 或 m .52答案： 1,2 52， )三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 12 分)已知 a0，设 p：函数 y ax在 R 上单调递减， q：不等式x| x2 a|1 的解集为 R.若 p q 为假， p q 为真，求 a 的取值范围解析： 由函数 y ax在 R 上单调递减知 01
9、 的解集为 R，即 y x| x2 a|在 R 上恒大于 1，又因为 x| x2 a|Error! ，函数 y x| x2 a|在 R 上的最小值为 2a，故要使解集为 R，只需 2a1， a .12若 q 真，则 a .又 p q 为真， p q 为假，12 p 与 q 一真一假若 p 真 q 假，则 00，于是有 kR.设点 A 的坐标为( x1， y1)，点 B 的坐标为( x2， y2)，则 1. y1x1 y2x2因为 y1 kx11， y2 kx21，代入，得 2k 1. (1x1 1x2)又因为 x1 x22 k， x1x22，代入得 k1.所以直线 l 的方程为 y x1.19
10、(本小题满分 12 分)已知椭圆 1( a b0)的一个顶点为 A(0,1)，离心率为x2a2 y2b2，过点 B(0，2)及左焦点 F1的直线交椭圆于 C， D 两点，右焦点设为 F2.22(1)求椭圆的方程；(2)求 CDF2的面积解析： (1)易得椭圆方程为 y21.x22(2) F1(1,0)，直线 BF1的方程为 y2 x2，由Error!得 9x216 x60. 16 2496400，所以直线与椭圆有两个公共点，设为 C(x1， y1)， D(x2， y2)，则Error!| CD| |x1 x2| 1 2 2 5 x1 x2 2 4x1x2 ，5 ( 169)2 423 109
11、2又点 F2到直线 BF1的距离 d ，455故 S CDF2 |CD|d .12 491020(本小题满分 12 分)三棱柱 ABC A1B1C1， BCA90，AC BC2， A1在底面 ABC 上的射影恰为 AC 的中点 D，又知BA1 AC1.(1)求证： AC1平面 A1BC；(2)求二面角 A A1B C 的余弦值解析： (1)证明：如图，设 A1D t(0)，取 AB 的中点 E，则 DE BC，因为BC AC，所以 DE AC，又 A1D平面 ABC，以 DE， DC， DA1为x， y， z 轴建立空间直角坐标系，则 A(0，1,0)， C(0，1,0)，B(2,1,0)，
12、A1(0,0， t)， C1(0,2， t)， (0,3， t)，AC1 (2，1， t)，BA1 (2,0,0)，CB 由 0，知 A1C CB，A1C CB 又 BA1 AC1， BA1 CB B，从而 AC1平面 A1BC；(2)由 3 t20，得 t .AC1 BA1 3设平面 A1AB 的法向量为 n( x， y， z)， (0,1， )，AA1 3(2,2,0)，AB 所以Error!，设 z1，则 n ( ， ，1)3 3再设平面 A1BC 的法向量为 m( u， v， w)，(0，1， )， (2,0,0)，CA1 3 CB 所以Error!，设 w1，则 m (0， ，1)，
13、3故 cos m， n ，mn|m|n| 77因为二面角 A A1B C 为锐角，所以可知二面角 A A1B C 的余弦值为 .7721(本小题满分 12 分)设 p：实数 x 满足 x24 ax3 a20，其中 a0， q：实数 x 满足x2 x60 或 x22 x80，且 p 是 q 的必要不充分条件，求 a 的取值范围解析： 设 A x|p x|x24 ax3 a20( a0) x|3a x a(a0)，B x|q x|x2 x60 或 x22 x80 x|x2 x60 x|x22 x80 x|2 x3 x|x4 或 x2 x|x4 或 x2 p 是 q 的必要不充分条件， qp，且 p
14、/ q， x|4 x2 x|x3 a 或 x a(a0)，则Error!或Error!即 a0 或 a4.2322(本小题满分 14 分)如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， DAB60， AB2 AD， PD底面 ABCD.(1)证明： PA BD；(2)若 PD AD，求二面角 A PB C 的余弦值解析： (1)证明：因为 DAB60， AB2 AD，由余弦定理得 BD AD.3从而 BD2 AD2 AB2，故 BD AD.又 PD底面 ABCD，可得 BD PD.所以 BD平面 PAD，故 PA BD.(2)如图，以 D 为坐标原点， AD 的长为单位长，射线 DA 为 x 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 D xyz，则 A(1,0,0)， B(0， ，0)， C(1， ，0) ， P(0,0,1). (1， ，0)，3 3 AB 3(0， ，1)， (1,0,0)，PB 3 BC 设平面 PAB 的法向量为 n( x， y， z)，则Error!即Error!因此可取 n( ，1， )3 3设平面 PBC 的法向量为 m，则Error!可取 m(0，1， )，cos mn .3 427 277故二面角 A PB C 的余弦值为 .277
