1、14.1.1 直角三角形三边的关系（2）课前知识管理对于勾股定理的探索，可以采用测量、计算、观察和动手操作的方法来验证其正确性课本主要运用拼图的方法，利用两种方法表示同一个图形的面积来验证勾股定理如图 1，是由 4 个完全相同的直角三角形拼成的，得到一个边长为（a+b）的大正方形和以斜边 c 为边长的小正方形，有（a+b） 2=4 ab+c2，整理可得 a2+b2=c2对于图 2，有 S 正方形1EFGH=c2=（b-a ） 2+4 ab，即 c2=a2+b2名师导学互动典例精析：知识点 1：用拼图法验证勾股定理例 1、请判断一下，下列图形中，哪些可以用来验证勾股定理.【解题思路】大正方形的面
2、积等于四个直角三角形面积加中间小正方形面积；中间正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形面积；推导不出.【解】可以验证勾股定理.【方法归纳】勾股定理的验证，主要通过拼接图形的面积来实现.对应练习：请结合以下图形，验证勾股定理.知识点 2：方程的思想例 2、如图，在ABC 中，AB=15 ，BC=14， CA=13，求 BC 边上的高 AD【解题思路】【解】设 DC= ，则 BD=14 ， 在 RtABD 和 Rt ACD 中，由勾股定理可得：xx（14 + ，两式相减得： ，解得：2)2215,13AD2(14)56x在 Rt ACD 由勾股定理得：AD=125x【方法归纳】由于勾股定理反
3、映了直角三角形三边的数量关系，所以在应用勾股定理解决问题时，要考虑应用定理列方程来求解对应练习：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm,BC=8cm,现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 等于（ ）A 2cm B 3cm C 4cm D 5cm知识点 3：数形结合的数学思想例 3、某市气象台测得一热带风暴中心从 A 城正西方向 300km 处，以每小时 26km 的速度向北偏东 60方向移动，距风暴中心 200km 的范围内为受影响区域.试问 A 城是否受这次风暴的影响？如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明
4、理由.【解题思路】【解】构造数学模型，如图所示，设 O 为风暴中心，OC 为风暴中心移动方向，AD OC.在 Rt OAD 中，AOD=30 ，OA=300km，所以 AD=150km200km，即 A 城受到这次风暴的影响.如图，设 AB=AC=200km，在 RtABD 中，应用勾股定理，得，所以，A 城遭受风暴影响的时间)(75012022 kmADB（小时）.16750【方法归纳】勾股定理本身就是数形结合的定理，它的验证和应用，都体现了数形结合的思想知识点 4：分类讨论的数学思想例 4、在 中， 边上的高 则 的长为 .ABC15,20,ABC12,ADBC【解题思路】三角形中某边上的
5、高既可在三角形内部，也可在三角形的外部，故此题应分为两种情况来考虑.当 边上的高 在 的内部时，如图，由勾股定理，得BCADBC得 ，222158,BDA9,22201AD56得 则 ；6,C当 上的高 在 的外部时，如图，同样由勾股定理可求得 ，BC ,C9B这时， 故 的长为 或 .1697,D257【解】 或 .257【方法归纳】当元素之间的位置关系没有限制时，要对可能的情形分类进行讨论.对应练习：已知直角三角形的两边长分别为 5，12，求第三边的长.知识点 5：整体思想例 5、如图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.已知大正方形的面积是 13,小正方形的面积
6、是 1,直角三角形的短直角边是 a ,较长直角边是 b ,则的值为( )2)baA. 13 B. 19 C. 25 D. 169【解题思路】由勾股定理 可得到两个变形： 和22abc22abc.通过这两个变形，我们可以从 中任意两个出发，22abc,c求出其他各个量.仔细观察图形，不难得到： ， ，利用13，可求得 ，故 = =13+12=25.22abc12ab2)(bca【解】选 C.【方法归纳】利用整体思想可避免繁琐的运算，达到快速求值的目的.对应练习：如图， 的周长为 32，且 于 ， 的周长ABC ABCD， ACD为 24，那么 的长为 D知识点 6：转化思想例 6、如图，高速公路
7、的同一侧有 A、B 两个奥运村，它们到高速公路所在的直线 MN 的垂直距离分别为 =2km， =4km， km，要在高速公路上 A、B 之间设一个出口1A181P，使 A、B 两个奥运村到 P 的距离之和最短，则这个最短距离是 . BB1A1 PEBANM【解题思路】过 B 作关于 MN 的对称点 B，连接 AB交 于点 P.因 垂直平分1BA1PBB，所以 PB=PB，则 AP+PB=AP+ PB=AB，由“两点之间，线段最短”易知，P 点为到 A、B 距离之和最短的点.【解】过点 A 作 AE 垂直于 BB于 E，则 AE= =8km，BE= + =6km，由勾股定理，11得 AB= =1
8、0km，即 AP+PB=AP+ PB=AB=10km，故最短出口 P 到 A、B 两2E个奥运村距离和为 10km.【方法归纳】本题可转化为“在直线 同侧有两点 A、B，试在 上找一点 P，使 PA+PB 最小，l l利用对称作图即可.对应练习：为了向建国六十周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级（3）班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：先裁下了一张长 ，宽 的矩形20cmC16cAB纸片 ABCD，将纸片沿着直线 AE 折叠，点 D 恰好落在 BC 边上的 F 处， 请你根据步骤解答下列问题：（1）找出图中FEC
9、 的余角；（2）计算 EC 的长.知识点 7：化立体为平面例 7、有一根 70 cm 的木棒，要放在长、宽、高分别是 50 cm、40 cm、30 cm 的木箱中，能放进去吗？【解题思路】在实际生活中，往往工程设计方案比较多，应用所学的知识进行计算方可解决，而此题正是需要我们大胆实践和创新，用我们学过的勾股定理和丰富的空间想像力来解决.我们可注意到木棒虽比木箱的各边都长，按各边的大小放不进去，但木箱是立体图形，可以利用空间的最长长度.如 AC .【解】由下图可得，AA =30 cm，A B =50 cm，B C =40 cm.A B C ，AA C 都为直角三角形.由勾股定理，得 A C 2=
10、A B 2+B C 2.在 RtAA C 中.AC 最长，则 AC 2=AA 2+A B 2+B C 2=302+402+502=500070 2. 故 70 cm 的棒能放入长、宽、高分别为 50 cm，40 cm，30 cm 的大箱中.【方法归纳】本题源于生活实际，较有趣味性，能够较好地增强学生的应用意识和实践能力，同时还考查了空间观念. 求解立体几何图形的一些问题时，通常是通过平面展开图，将其转化为平面图形的问题，然后求解.对应练习：制一个底面周长为 a、高为 b 的圆柱形花架，需用沿圆柱侧面绕织一周的竹条若干根，如图中的 ， 则每一根这样的竹条的长度最少是_.12BCA2易错警示1、注
11、意勾股定理的使用前提是直角三角形例 8 如图，在 中， ， ， 边上的中线 ，试说明ABC 106BC6AD AB错解：因 是 边上的中线，所以 又 , 在ADC 中，由勾股定D2DA理，得 = 而 ，故 22681010BC错因分析：由于受题目、结论及图形的影响，不少同学在没有进行推证说明，就先行认为是直角三角形，忽视了运用勾股定理的前提，犯了循环论证的错误 ADC正解：因为 是 边上的中线，所以 又 ， , B182BDC10AB6D且有 ，即 ，则 是直角三角形，22681022AA即 所以，在 中，由勾股定理，ACRt 2C从而 2BC2、注意分清直角边和斜边例 9 在 中，已知 ,
12、， ， 的对边分别是 ， ， ，且A 90ABabc， ，求 的长6a8bc错解：由已知， 为直角三角形则由勾股定理，得 ,即BC 22abc210c错解分析：错解未抓住题目实质，受勾股定理的表达式： 的影响而误认为 是22cc斜边，其实，由 ,知 才是斜边（如图） 因此，我们在运用勾股定理时，首先要9Bb正确识别哪个角是直角，从而确定哪条边是斜边，然后准确写出勾股定理表达式进行解题正解： ,则在 中，由勾股定理，得 = = 90BRtABC 2cba26873、注意分类讨论例 10 已知三角形的两边长为 和 ，如果这个三角形是直角三角形求第三边的长34错解：设第三边的长为 ，则由勾股定理得
13、，解得 x2234x5x错解分析：题中没有明确指出直角边和斜边，应分类讨论，而上述解法中误以为所求的第三边即为斜边因此漏解，值得注意正解：设第三边的长为 （1）当 为斜边时，由勾股定理，得 ，解x 2234x得 （2）当 为直角边时，由勾股定理，得 解得 所以，第5x 2437三边的长为 或 来源:gkstk.Com7课堂练习评测1、如果直角三角形的三条边 2，4，a，那么 a 的取值可以有（ ） A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0 个2、如图，OAB=OBC= OCD=90， AB=BC=CD=1，OA=2，则 OD2=_.3、如图，设火柴盒 ABCD 的两边之长为 a 与
14、b，对角线长为 c，推倒后的火柴盒是ABCD，试利用该图验证勾股定理的正确性4、 （1）求下列直角三角形未知边的长 （如图所示）来源:gkstk.Com（2）求下列图中未知数 x，y，z 的值5、如图所示，为了求出位于湖两岸的两点 A、B 之间的距离， 一个观测者在点 C 设桩，使三角形 ABC 恰好为直角三角形，通过测量，得到 AC 长 160米，BC 长 128 米，问从点 A 穿过湖到点 B 有多远？6、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形 G 的边长为 7cm，求正方形 A，B ，C，D 的面积G 7cmFEDCBA7、小红家住在 18 层的高
15、楼上，一天，她与妈妈去买竹竿 （如图所示）如果电梯的长、宽、高分别是 1.5 米、1.5 米、2.2 米，那么， 能放入电梯内的竹竿的最大长度约是多少米？你能估计出小红买的竹竿至少是多少米吗？.课后作业练习一、判断题（22=4 分）1ABC 的两边 AB=5，AC=12，则 BC=13 （ ）2ABC 中，a=6，b=8 ，则 c=10 （ ）来源:学优高考网 gkstk二、填空题（37=21 分）3在ABC 中，A：B：C=1：1：2，AB 2=50，则 BC=_ 来源:gkstk.Com4在 RtABC 中，C=90，a ：b=3 ：4，c=15cm ，则 a=_cm5在 RtABC 中，
16、a=3，b=4，则 c=_6一艘轮船以 16 海里/时的速度离开 A 港向东南方向航行， 另一艘轮船同时以 12 海里/时的速度离开 A 港向西南方向航行，经过 1.5 小时后它们相距_海里7在ABC 中，C=90，若 AC=6，CB=8 ，则 AB 上的高为_8在ABC 中，C=90，CDAB 于 D （1）若 AC=61，CD=11，则 AD=_（2）若 CB=113，CD=15 ，则 BD=_9等边ABC 的高为 3cm，以 AB 为边的正方形面积为_三、选择题（55=25 分）10若等腰ABC 的腰长 AB=2，顶角BAC=120 ，以 BC 为边的正方形面积为（ ） A3 B12 C
17、 2716.43D11已知等腰三角形斜边上中线为 5cm，则以直角边为边的正方形面积为（ ） A10cm 2 B15cm 2 C50cm 2 D25cm 212等腰三角形底边上的高为 8，腰长为 10，则三角形的面积为（ ） A56 B48 C 40 D3213一个长方形的长是宽的 2 倍，其对角线的长是 5cm，则长方形的长是（ ） A2.5cm B cm C2 cm D cm55514如图所示，长方形 ABCD 中，AB=3，BC=4 ，若将该矩形折叠，使点 C与点 A 重合，则折痕 EF 的长为（ ） A3.74 B3.75 C3.76 D3.77四、解答题 （85=40 分） 15用尺
18、规在数轴上找出坐标为 的点516如图（ac ）所示，求下列直角三角形中未知边的长17如图所示，长 2.5m 的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角 1.5m， 求梯子的顶端与地面的距离 h18如图所示，小方格的面积为 1，找出图中以格点为端点且长度为 5 的线段19如图所示，在四边形 ABCD 中，BAD=90，DBC=90，AD=4， AB=3，BC=12， 求正方形 DCEF 的面积五、探索题（10 分）20做 8 个全等的直角三角形（2 条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c） ，再做 3条边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成 2 个正方形（如图所示）.你能利用这 2 个图形验证勾股定
19、理吗？写出你的验证过程14.1.2 对应练习参考答案1.提示：借助梯形面积推导.答案：因为 S 梯形 = ，S 梯形 = ；所以2)(1)(21baba 22121cabcab；整理，得 .2)(1cab2c2.答案：B3.答案：13 或 194.答案：8.5.答案：解：（1）CFE、BAF ；（2）设 EC=xcm. 由题意得则 EF=DE=（16x）cm ，AF=AD=20cm.在 Rt ABF 中，BF = 2ABF=12（cm） ，FC =BCBF=2012=8（cm）.在 Rt EFC 中，EF 2=FC2+EC2 ， （16x） 2=82+x2 ，x=6，EC 的长为 6cm .6
20、.解析：由于竹条需要绕织一周，所以可以把圆柱侧面沿 展开，得到一个长和宽分别1BA为 的矩形，如图所示.连接 ，此时对角线 的长度就是竹条的最短长度.由勾ba, 11股定理得 ，所以 = .221baBABA2ba课后作业参考答案：1、B2、73、点拨：可看成火柴盒 ABCD 绕 A 点旋转 90后得到ABCD，有CAC=90，ACC为等腰直角三角形，运用不同的方法求出该三角形的面积即可4、略.5、由于构建了 RtABC，因此，利用勾股定理，可以求出 AB=96（米） 221608ACB6、此题揭示了三个正方形的面积关系与直角三角形三边的联系，即 SE+SF=SG同理SA+SB=SE，S C+SD=SF所以 SA+SB+SC+SD=SG=49cm27、能放入电梯内的竹竿的最大长度约为 3 米，小红买的竹竿至少为 31 米参考答案：一、1 2 二、35 49 55 或 630 748 8 （1）60 （2）112 912cm 2 三、10B 11C 12B 13C 14B 四、15提示：用勾股定理 16 略 17提示：利用勾股定理 h= 2.5118动手题 19. 在 RtABD 中，由勾股定理得 BD=5，同理 CD=13， S 正方形 DCEF=CD2=169五、20能.来源:gkstk.Com
