1、名师导学典例分析例 1 下列哪些式子表示 y 是 x 的二次函数?(1)x+y21=0；y=(x+1)(x1)(x1) 2； ；23xyx2+3y2=0思路分析：先将函数进行恒等变形,转化为用含 x 的代数式表示 y 的形式,再根据二次函数的定义进行判断.解：y 2=x+1,自变量 x 的次数不是 2,y 的次数不是 1,所以不是二次函数：将变形为 y=2x2,自变量 x 的次数不是 2,所以 不是二次函数；的右边不是整式,所以不是二次函数；将变形为 ,符合二次函数的定义,所以是二次函数321y例 2 将一根长 20 厘米的铁丝折成一个矩形,设矩形的一边长为 x 厘米,矩形的面积为 y 平方厘
2、米.(1)写出 y(平方厘米)与 x(厘米)之间的关系式,并指出它是一个什么函数?(2)当边长 x=1,2 时, 矩形的面积分别是多少?思路分析：(1)矩形的周长为 20 厘米, 则长+宽=10 厘米, 一边长为 x 厘米,则另一边长为(10 x)厘米,长 宽=面积；(2)直接把 x 的值代入(1)中的关系式, 便能求出 y 的值.解：(1)y=x(10x)=10xx 2=x 2+10x(0x10),它是一个二次函数；(2)当 x=1 时,y=x 2+10x=1+10=9( 厘米 2)；当 x=2 时,y= x2+10x=4+102=16(厘米 2).突破易错挑战零失误规律总结善于总结触类旁通1 方法点拨：判别一个函数是否是二次函数可以从三个方面来考虑：(1)看它是否是整式,如果不是整式,则必不是二次函数；(2) 当它是整式时,再看它是否是一个二次式的整式； (3)考虑其二次项系数是否为 0.只有综合考虑上述三点,才可作出正确判断 ,当然这里的二次式应是某一个字母的二次式,而不是多个字母的二次式, 如：y=x 2+3xz+z2,不是 y 关于 x、z 的二次函数.2 方法点拨：借助几何图形特征和几何计算的相关知识是解答本题的关键,通过本例还可以看出, 二次函数在实际问题中是广泛存在的, 因而把握二次函数的意义,可以帮助解决许多实际问题.
