1、第 2章 2.2.2 第 1课时一、选择题(每小题 5分，共 20分)1一个顶点的坐标为(0,2)，焦距的一半为 3的椭圆的标准方程为( )A. 1 B. 1x24 y29 x29 y24C. 1 D. 1x24 y213 x213 y24解析： 由椭圆中 a b， a c3，且一个顶点坐标为(0,2)知 b2， b24，且椭圆焦点在 x轴上， a2 b2 c213.故所求椭圆的标准方程为 1.故选 D.x213 y24答案： D2椭圆 1 上的点 P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( )x225 y29A8,2 B5,4C9,1 D5,1解析： 因为 a5， c4，所以最大距离为 a
2、c9，最小距离为 a c1.答案： C3已知 F1、 F2为椭圆 1( ab0)的两个焦点，过 F2作椭圆的弦 AB，若 AF1B的x2a2 y2b2周长为 16，椭圆离心率 e ，则椭圆的方程是( )32A. 1 B. 1x24 y23 x216 y24C. 1 D. 1x216 y212 x216 y23解析： 由题意知 4a16，即 a4，又 e ， c2 ，32 3 b2 a2 c216124，椭圆的标准方程为 1.x216 y24答案： B4若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )A. B.12 32C. D.34 64解析： 依题意， BF1F2是
3、正三角形，在 Rt OBF2中，| OF2| c，| BF2| a， OF2B60， acos 60 c， ，ca 12即椭圆的离心率 e ，故选 A.12答案： A二、填空题(每小题 5分，共 10分)5已知椭圆 G的中心在坐标原点，长轴在 x轴上，离心率为 ，且 G上一点到两个焦32点的距离之和为 12，则椭圆 G的方程为_解析： 依题意设椭圆的方程为 1( ab0)，x2a2 y2b2椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为 12，2 a12，即 a6.椭圆的离心率为 ，32 ，a2 b2a 32 ，36 b26 32 b29，椭圆 G的方程为 1.x236 y29答案： 1x236 y296
4、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是_解析： 设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为 2a,2b,2c，由题意可得 2a2 c4 b， a c2 b，又 b ，a2 c2所以 a c2 ，a2 c2整理得 5e22 e30， e 或 e1(舍去)35答案： 35三、解答题(每小题 10分，共 20分)7已知椭圆 1( ab0)的离心率 e .过点 A(0， b)和 B(a,0)的直线与原点x2a2 y2b2 63的距离为 ，求椭圆的标准方程32解析： e ，ca a2 b2a 63 ，a2 b2a2 23 a23 b2，即 a b.3过 A(0， b)， B(a,0)的
5、直线为 1.xa yb把 a b代入，即 x y b0，3 3 3又由点到直线的距离公式得 ，| 3b|1 3 2 32解得 b1， a ，3所求方程为 y21.x238.如图所示， F1， F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点 M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的 ，求椭圆的离23心率解析： 方法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为 a， b， c，则焦点为F1( c,0)， F2(c,0) M点的坐标为 ，(c，23b)则 MF1F2为直角三角形在 Rt MF1F2中，| F1F2|2| MF2|2| MF1|2，即 4c2 b2| MF1|2.49而| MF1| M
6、F2| b2 a，4c2 49b2 23整理得 3c23 a22 ab.又 c2 a2 b2，所以 3b2 a.所以 .b2a2 49 e2 1 ，c2a2 a2 b2a2 b2a2 59 e .53方法二：设椭圆方程为 1( ab0)，x2a2 y2b2则 M ，代入椭圆方程，得 1，(c，23b) c2a2 4b29b2所以 ，c2a2 59所以 ，即 e .ca 53 53 尖子生题库9(10 分)设 P(x， y)是椭圆 1 上的点且 P的纵坐标 y0，点 A(5,0)、 B(5,0)，x225 y216试判断 kPAkPB是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由解析： 因为点 P的纵坐标 y0，所以 x5.设 P(x， y)所以 kPA ， kPB .yx 5 yx 5所以 kPAkPB .yx 5 yx 5 y2x2 25因为点 P在椭圆 1 上，x225 y216所以 y216 16 .(1x225) 25 x225把 y216 代入 kPAkPB ，得25 x225 y2x2 25kPAkPB .1625 x225x2 25 1625所以 kPAkPB为定值，这个定值是 .1625
