1、2019/2/20,宁德师范高等专科学校,1,第十讲: 20世纪数学概观 II,哥德尔不完全性定理四色问题比勃巴赫猜想动力系统鲁金猜想庞加莱猜想数论,2019/2/20,宁德师范高等专科学校,2,1、哥德尔不完全性定理,完全性定理: 1929年证明了一阶谓词演算的完全性 不完全性定理: 1930年证明了如果一个包括初等数论的形式系统是无矛盾的，那就是不完全的; 如果初等算术系统是无矛盾的，则无矛盾性在算术系统内不可证明相容性定理: 1938年证明了选择公理、连续统假设的相容性数理逻辑: 公理集合论、证明论、递归论及模型论 亚里士多德(希, 前384前322)和莱布尼茨(德, 1646-1716
2、)以来最伟大的逻辑学家,2019/2/20,宁德师范高等专科学校,3,科恩(美, 1934- ),1963年证明了连续统假设的独立性定理 1966年获得菲尔兹奖,1、哥德尔不完全性定理,2019/2/20,宁德师范高等专科学校,4,2、四色问题,图论: 以图为研究对象的数学分支. 图是若干给定点及连接两点的线所构成的图形. 1736年哥尼斯堡七桥问题, 1781年36军官问题, 1859年哈密顿旅行路线图.,1852年古德里(英)提出“四色问题”.,2019/2/20,宁德师范高等专科学校,5,2、四色问题,19世纪英国一些著名数学家进行研究并引起人们的关注: 德摩根(1806-1871),
3、哈密顿(1805-1865), 凯莱(1821-1895)等.,肯泊,希伍德,1878年凯莱发表论地图的着色.1879年肯泊(英, 1849-1922)宣布证明了“四色问题”.1890年希伍德(英, 1861-1955)指出了肯泊的错误, 证明了“五色定理”.1976年哈肯和阿佩尔最终解决了四色问题.,2019/2/20,宁德师范高等专科学校,6,3、复变函数论,值分布论,各种类型的复变函数的取值范围的研究课题,2019/2/20,宁德师范高等专科学校,7,3、复变函数论值分布论,2019/2/20,宁德师范高等专科学校,8,比勃巴赫,3、复变函数论,1916年比勃巴赫(德, 18861982
4、)猜想: 单位圆内形如 的单叶解析函数应有 , 并证明了,1984年德布兰吉斯(美, 1932- )证明比勃巴赫猜想,1956年和1972年席弗尔(美, 1911- )等证明了 和,比勃巴赫猜想,2019/2/20,宁德师范高等专科学校,9,4、动力系统,1913年伯克霍夫(美, 1884-1944)解决 “庞加莱的最后问题”: 由两个同心圆构成的圆环保持面积不变, 且在两同心圆上方向相反的一对一连续映射, 一定在圆环内至少有两个不动点.,描述决定性系统的数学模型都可称为动力系统, 通常所说的动力系统多指由映射迭代生成的系统或常微分系统, 其核心问题是结构的稳定性,2019/2/20,宁德师范
5、高等专科学校,10,4、动力系统,20世纪30年代后的发展: 结构稳定性、拓扑学方法、代数几何方法,2019/2/20,宁德师范高等专科学校,11,4、动力系统,谢尔宾斯基地毯,1975年李天岩(1945-)-约克定理:周期3蕴涵浑沌.,浑沌,2019/2/20,宁德师范高等专科学校,12,芒德布罗 (法, 1924- ),4、动力系统,分形,2019/2/20,宁德师范高等专科学校,13,4、动力系统分形,2019/2/20,宁德师范高等专科学校,14,M集,4、动力系统分形,2019/2/20,宁德师范高等专科学校,15,5、鲁金猜想,19世纪狄里克雷(德, 1805-1859)、黎曼(德
6、, 1826-1866)、康托(德, 1845-1918)等数学家研究了傅里叶级数的收敛性等问题,2019/2/20,宁德师范高等专科学校,16,1966年卡尔松(瑞典, 1928- )肯定回答鲁金猜想(WA),5、鲁金猜想,2019/2/20,宁德师范高等专科学校,17,n=2 n=1,6、庞加莱猜想,2002年佩雷尔曼(俄, 1966- )证明了猜想,2019/2/20,宁德师范高等专科学校,18,古希腊：毕达哥拉斯(公元前560-前480)、欧几里得(公元前325-前265年)、丢番图(公元200-284年) 17世纪：费尔马(法, 16011665) 18世纪：欧拉(瑞, 1701-1
7、783) 、拉格朗日(法, 1736-1813) 19世纪代数数论：高斯(德, 1777-1855) 、库默尔(德, 1810-1893)、戴德金(德, 1831-1916) 19世纪解析数论：狄里克雷(德, 1805-1859)、黎曼(德, 1826-1866)、阿达玛(法, 1865-1963) 20世纪问题: 素数判定、华林问题(1770)、哥德巴赫猜想(1742)、费尔马大定理(1670)、黎曼假设(1859),7、数论,回顾,2019/2/20,宁德师范高等专科学校,19,7、数论素数判定,1772年欧拉(瑞, 1701-1783)证明第8个梅森素数M31, 有10位数字.1996年
8、美国数学家及程序设计师乔治沃特曼编制了梅森素数计算程序(GIMPS项目), 将其放置在因特网上供数学爱好者使用。目前有150多个国家的9万多名志愿者、超过25万台计算机参与这项计划.,该计划利用大量普通计算机的闲置时间, 获得相当于超级计算机的运算能力，近年来新产生的梅森素数都是通过GIMPS项目找到的.美国电子新领域基金会设立了10万美元的奖金, 鼓励第一个找到超过千万位素数的人; 25万美元奖第一个找到超过十亿位素数的人.,2019/2/20,宁德师范高等专科学校,20,7、数论素数判定,在“手算笔录年代”仅找到12个梅森素数, 近10年来通过GIMPS项目找到了8个(35至42个)梅森素
9、数.,2003年11月发现第40个梅森素数M 20996011, 有6320430位数.2004年6月发现第41个梅森素数M24036583, 有700万位数.德国眼科专家、数学爱好者马丁诺瓦克利用24台个人计算机, 不间断运行梅森素数计算程序50天, 2005年2月18日得到至今最大的、第42个梅森素数M25964951, 有7816230位数.据报道, 中国数学家及语言学家周海中经过多年的研究,于1992年首次给出了梅森素数分布的精确表达式, 为人们寻找梅森素数提供了方便. 这一成果被国际数学界命名为“周氏猜测”.,2019/2/20,宁德师范高等专科学校,21,7、数论,1909年希尔伯
10、特(德, 1862-1943)证明g(k)是有限数 1909年威费利希证明g(3)=9,1986年巴拉苏不拉马连证明g(4)=19,华林问题,2019/2/20,宁德师范高等专科学校,22,7、数论,哥德巴赫(德, 1690-1764)猜想: (1) 每个大于4的偶数是两个奇素数之和; (2) 每个大于7的奇数是三个奇素数之和. 从(1)可以推出(2)成立.,哥德巴赫猜想,2019/2/20,宁德师范高等专科学校,23,7、数论哥德巴赫猜想,关于两素数之和,1919年布龙(挪, 1885-1978)证明了9+91940年布赫塔布(苏)证明了4+4,2019/2/20,宁德师范高等专科学校,24
11、,7、数论哥德巴赫猜想,2019/2/20,宁德师范高等专科学校,25,7、数论,1980年前对个别情形进行证明,1770年欧拉(瑞, 1707-1783)证明了n=3的情形,费尔马大定理,库默尔,2019/2/20,宁德师范高等专科学校,26,7、数论费尔马大定理,1983年法尔廷斯(德, 1954- , F)证明了莫代尔(英, 1888-1972)猜想(1922): 方程xn+yn=1至多有有限个有理数解,1986年费雷(德)证明了“谷山猜想导出费尔马大定理”,1995年维尔斯(英, 1953-, FW )证明了谷山猜想,维尔斯,谷山(日, 1927-1958)猜想(1955): 有理数域上的椭圆曲线都是模曲线,法尔廷斯,
