1、课题： 球的体积和表面积教学目标：1.熟记球的体积公式和表面积公式；2.会用球的体积公式 和表面积公式 解决有关问题34VR24SR教学重点：球的体积公式和表面积公式及其应用教学难点：球的体积公式和表面积公式及其应用教学过程：1、创设情景，引入新课：提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。设疑引课：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。二、探究新知：1探究球的体积公式回顾祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面的面积
2、都相等,那么这两个几何体的体积一定相等。构造新的几何体,结合祖暅原理推导球的体积公式(见 P32 页)2. 探究球的表面积公式：设球 的半径为 ，我们把球面任意分割为一些“小球面片” ，它们的面积分别用OR表示，则球的表面积:12,iS 12iS 以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于球的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥， “小锥体”的底面积 可近似地等于“小棱锥”的底面积，球的iS半径 近似地等于小棱锥的高 ，因此，第 个小棱锥的体积 ，当“小锥体”Rih13iiiVhS的底面非常小时， “小锥体”的底面几乎是“平的” ，于是球的体积:，12(3)iiVhSS 又 ，
3、且i12i 可得 ，R球的体积公式： 奎 屯王 新 敞新 疆34VRA CCA OA B CDD CBA OA B CDD CBAOA CCA O又 ， ，34VR1S34R 即为球的表面积公式2S三、例题示范,巩固新知：例 1 已知过球面上 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且,ABC，求球的表面积2AB解：设截面圆心为 ，连结 ，设球半径为 ，OR则 ，3在 中， ，RtA22 ， ，2231()4R43 269S例 2半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积解：作轴截面如图所示， ，6C263A设球半径为 ，R则 22O(6)39 ，
4、R ， 24S球 346VR球例 3表面积为 的球，其内接正四棱柱的高是 ，求这个14正四棱柱的表面积解：设球半径为 ，正四棱柱底面边长为 ，a则作轴截面如图， ， ，14A2C又 ， ，243R9 ， ，28Ca 614576S表C BAOO例 4. 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：(1) 球的体积等于圆柱体积的 ；23(2) 球的表面积等于圆柱的侧面积。四、练习反馈,理解加深：补充练习：1三个球的半径之比为 ，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍；1:232.若球的大圆面积扩大为原来的 倍，则球的体积比原来增加 倍；43.把半径分别为 3，4，5 的三个铁球，熔成一个
5、大球，则大球半径是 ；4.正方体全面积是 ，它的外接球的体积是 ，内切球的体积是 答案：1. 3 2. 7 3. 6 4. ，345 球 O1、 O2、分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球 O3的表面上，求三个球的表面积之比分析：球的表面积之比事实上就是半径之比的平方，故只需找到球半径之间的关系即可解：设正方体棱长为 a，则三个球的半径依次为 、 ，2aa2 三个球的表面积之比是 3:1:321S5、小结归纳 ：球的表面积公式的推导及应用；球的内接正方体、长方体及外切正方体的有关计算“分割求近似和 化为准确和”的方法，是一种重要的数学思想方法极限思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个应用；球的体积公式和表面积公式要熟练掌握6、作业布置：证明:(1) 设球的半径为 R,则圆柱的底面半径为 R,高为 2R.因为 34,VR侧 23.R侧所以, 2.侧(2) 因为 , ,24S侧 24侧所以, .侧
