1、 1 第3 节 变量的相关性与 统计案例 【选题 明细 表】 知识点 、方 法 题号 变量的 相关 性 1,2,3 回归直 线方 程及 其应 用 4,5,7,8,10,12 独立性 检验 的方 法及 其应 用 6,7,11 基础对 点练(时间:30 分钟) 1. 下列 关系 属于 线性 负相 关的是( C ) (A) 父 母的 身高 与子 女身 高 的关系 (B) 某 农作 物产 量与 施肥 量 的关系 (C) 汽 车的 质量 与汽 车每 消 耗 1 L 汽油 所行 驶的 平均 路程 (D) 一 个家 庭的 收入 与支 出 解析: 上述 四项 中,只有C 项,汽 车的 质量 越大, 汽车 每消
2、 耗1 L 汽 油所 行驶 的平 均路程 越短 是 负相关 关系. 2.(2015 河 南开 封二 模) 在 一次独 立性 检验 中, 得出2 2 列 联表 如表: y1 y2 合计 x1 200 800 1 000 x2 180 m 180+m 合计 380 800+m 1 180+m 最后发 现, 两个 分类 变量X 和Y 没 有任 何关 系, 则 m 的 可能值 是( B ) (A)200 (B)720 (C)100 (D)180 3. 在一 组样 本数 据(x1,y1),(x2,y2), ,(xn,yn)(n 2,x1,x2,xn 互 不相 等) 的散 点图中,若所 有 样 本 点(x
3、i,yi)(i=1,2, ,n) 都 在 直 线 y=x-1 上, 则 这 组 样 本 数 据 的 样 本 相 关 系 数 为 ( D ) (A)-1 (B)0 (C) (D)1 4. 根据 如下 样本 数据 x 3 4 5 6 7 y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 得到的 回归 方程 为=x+.若=7.9, 则x 每增加 1 个 单位,y 就( B ) (A) 约 增加1.4 个单 位 (B) 约 减少1.4 个单 位 (C) 约 增加1.2 个单 位 (D) 约 减少1.2 个单 位 解析: 因为 回归 方程 为=x+ 恒过样 本中 心点(5,0.9), 所以=-1.4, 则
4、 x 每 增加 一 个单位,y 就约 减少1.4 个 单位,故选 B. 【教师 备用 】 已知x 与y 之间的 一组 数据 如表: x 0 1 2 3 2 y 1 3 5 7 则y 与 x 的 回归 直线:=x+ 必过点( D ) (A)(2,2) (B)(1.5,0) (C)(1,2) (D)(1.5,4) 解析: 回归 直线 过样 本点 的 中心(,), = =1.5, = =4. 5.(2015 湖北 省高 三一 轮 检测) 某研 究机 构对 儿童 记 忆能力x 和 识图 能力y 进 行统计 分析,得 到如下 数据: 记忆能 力 x 4 6 8 10 识图能 力 y 3 5 6 8 由
5、表 中 数 据, 求 得 线 性 回 归 方 程 为=x+, 若 某 儿 童 的 记 忆 能 力 为 12 时, 则 他 的 识 图 能 力 为 ( B ) (A)9.2 (B)9.5 (C)9.8 (D)10 解析: 由表中数据得=7,=5.5, 由(,) 在直线=x+ 上, 得=- , 即线性回归方程为=x- . 所以当 x=12 时,= 12- =9.5, 即 他 的识图 能力 为9.5. 6. 某高 校统 计初步 课 程的教 师随机 调查了 选修 该课的 学生的 一些情 况,具 体数据 如表所 示: 非统计 专业 统计专 业 男 13 10 女 7 20 为了判 断主 修统 计专 业是
6、 否与性 别有 关, 根据 表中 数 据,得K 2 的观 测值 为k= 4.8443.841, 所 以判 定主 修 统计 专业 与 性别 有关,那 么 这种 判断 出 错的 可 能性为 . 解析: 根据 临界 值表 可 知 这 种判断 出错 的可 能性 为 5%. 答案:5% 7.(2015 福建 龙岩市 高 三 5 月 质检) 为了 判断 高中 二 年级学 生是 否喜 欢足 球运 动与性 别的 关 系,现 随机 抽取50 名 学生, 得到2 2 列联 表: 喜欢 不喜欢 总计 男 15 10 25 女 5 20 25 3 总计 20 30 50 则有 以 上的 把握 认为“ 喜欢 足球 与性
7、 别有 关”. 解析:K 2 的观 测值 k= 8.3337.879, 故有99.5% 以上 的把 握认 为喜欢 足球 与性 别有 关. 答案:99.5% 8. 一商 场对 每天 进店 人数 和商品 销售 件数 进 行 了统 计对比,得 到如 下表 格: 人数xi 10 15 20 25 30 35 40 件数yi 4 7 12 15 20 23 27 其中i=1,2,3,4,5,6,7. (1) 以 每天 进店 人数 为横 轴,每天 商品 销售 件数 为纵 轴,画出 散点 图; (2) 求 回归 直线 方程.( 结 果 保留到 小数 点后 两位) (参考 数据: xiyi=3 245,=25
8、,=15.43, =5 075, 7 =4 375,7 =2 700. (3) 预 测进 店人 数为80 人时,商 品销 售的 件数.( 结 果 保留整 数) 解:(1) 散点 图如 图 (2)因为 xiyi=3 245,=25,=15.43, =5 075, 7 =4 375,7 =2 700, 所以= 0.78,=- =-4.07, 所以回 归直 线方 程是=0.78x-4.07. (3) 进 店人 数为80 人时, 商 品销售 的件 数约 为0.78 80-4.07=58.33. 能力提 升练(时间:15 分钟) 4 9.(2015 河 北石 家庄 二模) 通过随 机询 问200 名性
9、别 不同的 大学 生是 否爱 好踢 毽子运 动, 计算 得到统 计 量K 2 的观 测 值 k 4.892, 参 照附 表, 得到 的 正确结 论是( C ) 附表: P(K 2 k0) 0.10 0.05 0.025 k0 2.706 3.841 5.024 (A) 有97.5% 以 上的 把握 认 为“爱 好该 项运 动与 性别 有关” (B) 有97.5% 以 上的 把握 认 为“爱 好该 项运 动与 性别 无关” (C) 在 犯错 误的 概率 不超 过 5% 的前 提下, 认为 “爱 好该项 运动 与性 别有 关” (D) 在 犯错 误的 概率 不超 过 5% 的前 提下, 认为 “爱
10、 好该项 运动 与性 别无 关” 解析:4.8923.841, 故 在 犯 错 误 的 概 率 不 超 过 5% 的 前 提 下, 认 为 “ 爱 好 该 项 运 动 与 性 别 有 关”. 【教师 备用 】 (2015 河 南 开封高 三 5 月冲 刺) 已知x 与 y 之 间的 一组 数据: x 0 1 2 3 y m 3 5.5 7 已求得 关 于y 与x 的 线性 回归方 程为=2.1x+0.85, 则m 的 值为( D ) (A)1 (B)0.85 (C)0.7 (D)0.5 解析: 样本 点的 中心 为(,),=1.5, 由回归 直线 方程=2.1 1.5+0.85=4, 所以 =
11、4, 解得m=0.5. 【教师 备用 】 (2015 福 建 漳州八 校 3 月联 考) 已知 具 有线性 相关 的两 个变 量 x,y 之间 的一 组 数据如 下: x 0 1 2 3 4 y 2.2 4.3 4.5 4.8 6.7 且回归 方程 是=0.95x+,则当 x=6 时,y 的 预测 值为( B ) (A)8.4 (B)8.3 (C)8.2 (D)8.1 解析: 样本点的中心为(2,4.5), 所以=4.5-20.95=2.6, 所以 x=6 时,y 的 预 测 值 为 0.95 6+2.6=8.3. 10.(2015 安 徽安 庆三模) 调查某移 动公 司的三 名推 销员,其
12、工作年 限与年 推销 金额数据 如表 所示. 推销员 编号 1 2 3 工作年 限 x( 年) 3 5 10 年推销 金 额 y( 万元) 2 3 4 由表中数据算出线性回归 方程=x+中的= .若该公司第四名推销员的工作年限为 6 年,则估 计他的 年推 销金 额为 万元. 解析:=6,=3, 5 代入=x+ 得= , 所以= 6+ =3(万元). 答案:3 11.(2015 新 疆乌 鲁木齐 二 模)某工 厂在去 年下半 年对 生产工艺 进行 了改造( 每半 年为一个 生 产周期),从 去年 一年 的产 品中用 随机 抽样 的方 法抽 取了容 量为 50 的 样本, 用 茎叶图 表示,如
13、图所示. 已知每 个生产 周期 内与其中 位数 误差在 5 范围内( 含5) 的产 品为优 质品,与 中位 数误差在 15 范围 内(含 15) 的 产品 为合格 品(不 包括优质 品), 与中位 数误 差超过 15 的 产品为 次品.企 业生 产一 件 优质品 可获 利润10 元,生 产一件 合格 品可 获利 润5 元,生 产一 件次 品要亏 损5 元. (1) 试 完成 这个 样本 的 50 件产品 的利 润的 频率 分布 表: 利润( 元) 频数 频率 10 5 -5 (2) 是 否有95% 的把 握认 为 “优质 品与 生产 工艺 改造 有关”. 附: P(K 2 k0) 0.050
14、0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 K 2 = . 解:(1) 上半 年的 数据 为 43,44,48,51,52,56,57,59,61,64,65,65,65,68,72,73,75, 76,76,83,84,87,88,91,93 其“中 位数 ”为65, 优 质 品有 6 个, 合格 品有10 个, 次品有 9 个. 下半年 的数 据 为43,49,50,54,54,58,59,60,61,62,63,63,65,66,67,70, 71,72,72,73,77,79,81,88,92 其“ 中位 数” 为 65, 优 质品 有 9 个, 合格 品有 1
15、1 个,次品有 5 个.则 这个 样本 的50 件产 品的利 润的 频率 分布 表为 利润( 元) 频数 频率 10 15 0.3 5 21 0.42 -5 14 0.28 6 (2) 由 题意 得 上半年 下半年 合计 优质品 6 9 15 非优质 品 19 16 35 合计 25 25 50 K 2 的观测 值k= 0.857, 由于0.8570, 说 明身 高 x 每增加 一个 单位 时, 体重 y 就增 加 0.75 个单 位,这 表 明体重 与身 高 具有正的 线性 相关关 系.因此,对于 身高 172 cm 的女 大学生, 由回归 方程可 以预 报其体重 为 =172-70.5=5
16、8.5(kg). (3)因为 R 2 =1- =0.875=87.5%. 所以女 大学 生的 体重 差异 有 87.5% 是 由身 高引 起的, 这说明 回归 方程 预报 的效 果是良 好的. 精彩 5 分钟 【教师 备用 】 (2015 山 西 名校联 盟考 前检 测) 根据 如 下样本 数据, x 3 4 5 6 7 y 4.0 +-4 -0.5 0.5 -2.0 得到的 回归 方程 为=x+. 若样本 点的 中心 为(5,0.9), 则x 每减 少1 个单 位,y 就( A ) (A)增加 1.4 个 单位 (B)减少 1.4 个 单位 (C)增加 1.2 个 单位 (D)减少 1.2
17、个 单位 解题关 键: 由回 归直 线经 过 样本点 的中 心, 列关 于, 的 方程. 解析: 依题 意, =0.9, 故+=6. 5, 又样本 点的 中心 为(5,0.9), 故0.9=5+, 联立 , 解得=-1.4,=7.9, 则=-1.4x+7.9. 可知 当x 每减少 1 个 单位 时,y 就增 加1.4 个 单位. 一般来 说, 一个 人脚 掌越 长,他的 身高 就越 高,现对10 名成年 人的 脚掌 长x 与身 高y 进行 测量, 得到数 据( 单位 均为cm) 如表: 脚长 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 身高 141 146 154 160 169 176 181 188 197 203 作出散 点图 后, 发现 散点 在 一条直 线附 近, 经计 算得 到 一些数 据: (xi-)(yi-)= 577.5, (xi-) 2 =82.5; 某刑 侦 人员在 某案 发现 场发 现一 对裸脚 印, 量得 每个 脚印 长 为26.5 cm, 则估计 案发 嫌疑 人的 身高 为 cm. 解题关 键: 由公 式计 算,再 由回归 直线 经过 样本 点的 中心计 算. 解析: 回归 直线 的斜 率= = =7, =24.5,=171.5,=- =0, 即回归 方程 为=7x, 当x=26.5,=185.5(cm). 8 答案:185.5
