1、第5章 傅里(立）叶(Fourier )变换,让巴普蒂斯约瑟夫傅立叶 （ 1768 1830 ）（Jean Baptiste Joseph Fourier）法国著名数学家、物理学家，1817年当选为科学院院士，1822年任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席，主要贡献：1. 在研究热的传播时创立了一套数学理论 2. 最早使用定积分符号，改进了代数方程符号法则的证法和实根个数的判别法等，3. 傅立叶变换的基本思想首先由傅里叶提出；,傅里叶(Fourier )生平简介,傅立叶生于法国中部欧塞尔（Auxerre）一个裁缝家庭，9岁时沦为孤儿，被当地一主教收养。 1780:
2、 读于地方军校，1795年任巴黎综合工科大学助教， 1798: 随拿破仑军队远征埃及，任军中文书和埃及研究院秘书， 受到拿破仑器重， 1801: 伊泽尔省格伦诺布尔地方长官， 1807: 热传导的论文热的传播，呈交巴黎科学院，但经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德审阅后被拒绝，1811: 提交经修 改的论文，该文获科学院大奖，却未发表, 推导出著名的热传导方程 ，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数 1817: 当选为巴黎科学院院士, 1822: 专著热的解析理论, 1822: 科学院终身秘书,傅里叶(Fourier ),傅里叶变换在物理
3、学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。,1. 傅里叶级数， 2. 傅里叶积分与变换 3. Delta函数,（一） 周期函数的傅里叶展开,这种分解不仅具有严格的数学基础，而且还具有真实的物理背景,三角函数族：,周期2l 0,5.1 傅里叶级数,偶函数,奇函数,？,最小正周期： 2l l ,., 2l/k,最小正周期： 2l,三角函数族：,正交性,三角函数族：正交性,1：利用三角恒等式 cos (x+y)=cosx coy sin x sin y,cos (x-y)=cosx coy + sin x sin y, 2. 转化为复数证明 3. 微分方程的
4、解,7,其中,三角函数族：完备性，傅里叶级数平均收敛于f(x)。,8,三角函数族：完备性，傅里叶级数平均收敛于f(x)。,9,10,狄里希利(狄里克雷Dirichlet)定理： 若函数 f(z) 满足条件 ： (1) 处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点； (2) 在每个周期内只有有限个极值点，则三角级数收敛，且,级数和,第一类间断点: 函数在间断点处左右极限存在，但不相等。,11,（二）奇函数和偶函数的傅里叶展开,是奇函数,是偶函数,奇函数 f(z) 有,偶函数 f(z) 有,12,（三） 有限区间中的函数的傅里叶展开,f(x) 定义于 (0, l),可以认为它是某个周期为 2l
5、的函数在半个周期中的部分。即令此周期函数为 g(x), 在半周期 (0, l) 中 g(x)=f(x) 这种做法叫延拓。,例,偶延拓,奇延拓,13,（四） 复数形式的傅里叶展开,其中,14,例1：,例2：,X=pi,15,傅里叶展开与洛朗展开的关系,若f(z)在环域,内解析，其洛朗展开,若()在区间0,2连续，且为2的周期函数，其傅里叶级数为,16,令：,则,若 有限，则,5.2 傅里叶积分与傅里叶变换,（一） 实函数的傅里叶变换,17,余弦部分,正弦部分,故,其中,18,傅里叶积分定理：若函数 f(x) 在区间(-，+)上满足条件(1) 在任意有限区间满足狄里希利条件；(2) 在区间 (-，
6、+ )上绝对可积（即 收敛），则f(x) 可表为 傅里叶积分，且傅里叶积分值=,19,为振幅谱 为相位谱,奇、偶函数,偶函数,奇函数,cos(x-y)=cos x cos y+ sin x sin y,20,例,定义矩形函数为,(1),矩形函数 （rectangle function),x 时间： 光学中描述照相机快门， x 空间： 无限大不透明屏上的单缝的透过率,21,例,(1),矩形函数 （rectangle function),22,例,定义矩形函数为,将矩形脉冲 展开作傅里叶积分。,偶函数,(1),23,24,25,26,（二） 复数形式的傅里叶积分,|w|=-w,27,像函数,原函数
7、,注意：变换和反变换的不同形式,28,例 2,例1,29,(1) 导数定理,（三） 傅里叶变换的基本性质,31,(2) 积分定理,(3) 相似性定理,(4) 延迟定理,(5) 位移定理,(6) 卷积定理,若,和,则,卷积,（三） 傅里叶变换的基本性质,多重 傅里叶变换,（2）高斯函数傅里叶变换,令,则,问题来源？,问,解析延拓，取,34,-R,R,直接计算,35,$ 5.3 函数,36,数学上可以将无限小的范围看作有限大小范围的极限,一维,考虑线质量密度l,总质量,的极限下总质量不变,密度,广义函数函数定义（2条）:,37,性质,(1) 偶函数,从图形可以看出,(2) 阶跃函数或亥维赛单位函数
8、,(3) 挑选函数：,对连续函数 ：,38,(3) 挑选函数：,对连续函数 ：,39,(4) 复合函数,若 的实根 全部是单根，则,40,证明：按定义,在第n个根附近积分,例,41,函数是一种广义函数,42,函数：狄拉克,保罗狄拉克Paul Adrien Maurice Dirac，（1902年8月8日1984年10月20日），英国理论物理学家，量子力学的奠基者之一，并对量子电动力学早期的发展作出重要贡献。曾经主持剑桥大学的卢卡斯数学教授席位。他1926给出的狄拉克方程可以描述费米子的物理行为，并且预测了反物质的存在。1933年，因为“发现了在原子理论里很有用的新形式”（即量子力学的基本方程-薛定谔方程和狄拉克方程），狄拉克和埃尔温薛定谔共同获得了诺贝尔物理学奖。,43,函数是一种广义函数-1：,44,函数是一种广义函数2,实轴上留数,45,函数是一种广义函数3,46,函数的傅里叶变换,47,从极限过程理解 -1：,48,从极限过程理解-2：,例：将函数,表示成傅里叶积分，并证明,多维函数,49,阶跃函数的傅里叶变换,不满足傅立叶积分定理，不能直接给出其傅立叶变换，必须采用极限处理,事实上自变量为0时的函数值在应用上并不重要，可任意取有限值。,50,阶跃函数的傅里叶变换,51,多重傅里叶积分：,函数的物理应用：格林公式（点电荷的场分布）,证明,函数应从积分意义理解,53,
