1、广西 2013 届高三数学一轮复习单元知能演练：空间向量与立体几何本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分 150 分考试时间 120 分钟第卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中， P 为正方体内一动点(包括表面)，若 x y z，且0 x y z1.则点 P 所有可能的位置所构成的几何体的体积是( )A1 B C D12 13 16【答案】D2在空间四边形 ABCD 中，若 a， b， Ac，则 CD等于 ( ）A ()a
2、bcB ()C aD )bca【答案】D3已知向量 a， b， c是空间的一基底，向量 a b， a b， c是空间的另一基底，一向量 p 在基底 a， b， c下的坐标为(4,2,3)，则向量 p 在基底 a b， a b， c下的坐标是( )A(4,0,3) B(3,1,3)C(1,2,3) D(2,1,3)【答案】B4若 A、B、C、D 为空间四个不同的点，则下列各式为零向量的是 ( ） 2C 3A AB CD A B C D【答案】C5点 M 在 z 轴上，它与经过坐标原点且方向向量为 s(1，1,1)的直线 l 的距离为 ，则点6M 的坐标是( )A(0,0，2) B(0,0，3)C
3、(0,0， ) D(0,0，1)3【答案】B6四棱柱 1C中，AC 与 BD 的交点为点 M，设 111,ABaDbAc，则下列与 B相等的向量是 ( ）A 2abcB 2abcC 1D 1【答案】7如图 ABCD A1B1C1D1是正方体， B1E1 D1F1 ，则 BE1与 DF1所成角的余弦值是( )A1B14A B1517 12C D817 32【答案】A8对于空间任意一点 O 和不共线的三点 A， B， C，有 x y z(x， y， zR)，则x2， y3， z2 是 P， A， B， C 四点共面的( )A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分又不必要条件【答案】
4、B9以下命题中，不正确的命题个数为( )已知 A、 B、 C、 D 是空间任意四点，则 A B C D0若 a， b， c为空间一个基底，则 a b， b c， c a构成空间的另一个基底；对空间任意一点 O 和不共线三点 A、 B、 C，若 O x y z(其中 x， y， zR)，则P、 A、 B、 C 四点共面A0 B1C2 D3【答案】B10如图所示，已知在直三棱柱 ABO A1B1O1中， AOB ， AO2， BO6， D 为 A1B1的中点， 2且异面直线 OD 与 A1B 垂直，则三棱柱 ABO A1B1O1的高是( )A3 B4 C5 D6【答案】B11在 90的二面角的棱上
5、有 A、 B 两点， AC， BD 分别在这个二面角的两个面内，且都垂直于棱 AB，已知 AB5， AC3， BD4，则 CD( )A5 B5 2 3C6 D7【答案】A12已知长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB BC1， AA12， E 是侧棱 BB1的中点，则直线 AE 与平面 A1ED1所成角的大小为( )A60 B90 C45 D以上都不正确【答案】B第卷(非选择题 共 90 分)二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上)13 已知向量 a(cos ，sin ，1)，b( ，1,2)，则|2ab|的最大值为_3【答案】414两不
6、重合直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1(1,0，1)， v2(2，0,2)，则 l1与 l2的位置关系是_【答案】平行15已知 a(1 t，1 t， t)， b(2， t， t)，则| b a|的最小值为_【答案】35516如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， ACB90， AA12， AC BC1，则异面直线 A1B 与AC 所成角的余弦值是_【答案】66三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形， AB2， BAD60.(1)求证： BD平面 PAC；
7、(2)若 PA AB，求 PB 与 AC 所成角的余弦值；(3)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时，求 PA 的长【答案】(1)因为四边形 ABCD 是菱形，所以 AC BD.又因为 PA平面 ABCD.所以 PA BD.因为 PA AC A，所以 BD平面 PAC.(2)设 AC BD O.因为 BAD60， PA AB2，所以 BO1， AO CO 3如图，以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系 O xyz，则 P(0， ，2)，3A(0， ，0)， B(1,0,0)，3C(0， ，0)3所以(1， ，2)，3(0,2 ，0)，3设 PB 与 AC 所成角为 ，则 cos 62223
8、64(3)由(2)知(1， ，0)3设 P(0， ， t)，( t0)，则(1， ， t)3 3设平面 PBC 的法向量 m( x， y， z)，则m0， m0，所以Error!令 y ，则 x3， z 所以 m(3， ， )36t 3 6t同理，平面 PDC 的法向量 n(3， ， )36t因为平面 PBC平面 PDC.所以 mn0，即6 0.解得 t 36t2 6所以 PA 618如图，在平行四边形 ABCD 中， AB2 BC， ABC120， E 为线段 AB 的中点，将 ADE 沿直线 DE 翻折成 A DE，使平面 A DE平面 BCD， F 为线段 A C 的中点.(）求证： B
9、F平面 A DE;(）设 M 为线段 DE 的中点，求直线 FM 与平面 A DE 所成角的余弦值.【答案】()取 AD 的中点 G，连结 GF， CE，由条件易知FG CD， FG= 12CD. BE CD,BE= 12CD.所以 FG BE,FG=BE. 故四边形 BEGF 为平行四边形.所以 BF平面 A DE.()在平行四边形 ABCD 中，因为 AB2 BC， ABC=120，设 BC=4，作 MGAB 于 G，则 31;MA.如图所示建立空间直角坐标系 Mxyz，则 )3,27(),320,(),73(),01(),3( ; FACED ，所以 ),(),(),2( MA.设平面
10、A DE 的法向量为 ),(zyxn，由 0DAnE得 032zyx，所以)0,31(n.设直线 FM 与平面 A DE 所成角为 ，则 21cos,3,24|sin MF.所以直线 FM 与平面 A DE 所成角的余弦值为 12.19如图，四棱锥 PBCD的底面是正方形， PDABC底 面 ，点 E 在棱 PB 上.(）求证：平面 AECPDB平 面 ； (）当 2PD且 E 为 PB 的中点时，求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小.【答案】 （）四边形 ABCD 是正方形，ACBD. B底 面 ，PDAC.AC平面 PDB.平面 AECP平 面 .(）设 ACBD=O，连接 OE，由（
11、）知 AC平面 PDB 于 O，AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角.O，E 分别为 DB、PB 的中点，OEPD， 12OEPD.又 PDABC底 面 ，OE底面 ABCD，OEAO.在 RtAOE 中， 12OEPAB， 45A，即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45.【解法 2】如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系 Dxyz，设 ,ABaPDh则 ,0,0,0,AaBCaDPh，(） Ch， ,.ACDP，ACBD，AC平面 PDB.平面 AEPDB平 面 .(）当 2且 E 为 PB 的中点时，10,Paa，设 ACBDO，则 (,0)2，连结 OE，由（）知 AC平面
12、 PDB 于 O，AEO 为 AE 与平面 PDB 所成的角. 12,2EaaEa， 2cosEAO， 45，即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45.20如图，四棱锥 S ABCD 中， SD底面 ABCD， AB CD， AD CD， AB AD1， DC SD2， E为棱 SB 上的一点，平面 EDC平面 SBC.(1)证明： SE2 EB；(2)求二面角 A DE C 的大小【答案】方法一 (1)证明 如图所示，连结 BD，取 DC 的中点 G，连结 BG，由此知DG GC BG1，即 DBC 为直角三角形，故 BC BD.又 SD平面 ABCD，故 BC SD，所以 BC平面
13、 BDS， BC DE.作 BK EC， K 为垂足因为平面EDC平面 SBC，故 BK平面 EDC， BK DE，即 DE 与平面 SBC 内的两条相交直线 BK、 BC 都垂直，所以 DE平面 SBC，所以 DE EC， DE SB.又 DB ， SB ， DE ，AD2 AB2 2 SD2 DB2 6SDDBSB 23EB ， SE SB EB ，DB2 DE263 263所以 SE2 EB.(2) 由 SA ， AB1， SE2 EB， AB SA，知 AE 1.又 AD1.SD2 AD2 5 (13SA)2 (23AB)2故 ADE 为等腰三角形取 ED 中点 F，连结 AF，则 A
14、F DE， AF AD2 DF263连结 FG，则 FG EC， FG DE.所以 AFG 是二面角 A DE C 的平面角连结 AG， AG ， FG 2 DG2 DF263cos AFG AF2 FG2 AG22AFFG 12所以二面角 A DE C 的大小为 120.方法二 (1)证明 以 D 为坐标原点，线段 DA， DC， DS 所在的直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的直角坐标系 D xyz，设 A(1,0,0)，则 B(1,1,0)， C(0,2,0)， S(0,0,2)S(0,2，2)， B(1,1,0)设平面 SBC 的法向量为 n( a， b， c)，由 n
15、 S， n B，得 nS0， nB0.故 2b2 c0， a b0.令 a1，则 b1， c1， n(1,1,1)又设 S ( 0)，则 E ，(1 ， 1 ， 21 )D ， D(0,2,0)(1 ， 1 ， 21 )设平面 CDE 的法向量 m( x， y， z)，由 m， m C，得 m0， m C0.故 0,2 y0. x1 y1 2z1 令 x2，则 m(2,0， )由平面 DEC平面 SBC，得 m n 所以 mn0,2 0， 2.故 SE2 EB.(2)解 由(1)知 DE ，取 DE 中点 F，则(23， 23， 23)F ， A ，故 ADE0，由此得 FA DE.(13，
16、13， 13) (23， 13， 13)又 C ，故 C 0，由此得 EC DE，向量 F 与 E 的夹角等于二面角(23， 43， 23)A DE C 的平面角于是 cos F， E A ，12所以二面角 A DE C 的大小为 120.21如图所示，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，平面 PBC底面 ABCD，且 PB PC 5(1)求证： AB CP；(2)求点 B 到平面 PAD 的距离；(3)设面 PAD 与面 PBC 的交线为 l，求二面角 A l B 的大小【答案】(1)证明 以 BC 的中点 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 B
17、(1,0,0)， A(1，2,0)， C(1,0,0)， P(0,0,2)， D(1，2,0)(0,2,0)，(1,0,2)，则有0，.即 AB CP.(2)解 设平面 PAD 的法向量为 n( x， y， z)，则由得Error! 令 x0，则 y1， z1，得 n(0,1，1)，又(1,0,2)，点 B 到平面 PAD 的距离 d |0 0 2|2 2(3)解 由(2)知平面 PAD 的法向量 n(0,1，1)，而平面 PBC平面 ABCD，平面 PBC 的法向量 m(0,1,0)二面角 A l B 的余弦值为 |mn|m|n| 22由图形知二面角 A l B 为锐二面角，二面角 A l
18、B 的大小为 45.22如图 142，三棱柱 ABC A1B1C1中， BCA90， AC BC2， A1在底面 ABC 上的射影恰为 AC 的中点 D，又知 BA1 AC1.(1)求证： AC1平面 A1BC；(2)求二面角 A A1B C 的余弦值图 142【答案】 (1)如图，设 A1D t(t0)，取 AB 的中点 E，则 DE BC，因为 BC AC，所以 DE AC，又 A1D平面 ABC，以 DE， DC， DA1分别为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系，则 A(0，1,0)， C(0,1,0)， B(2,1,0)， A1(0,0， t)， C1(0,2， t)，(0,3， t)，(2，1， t)，(2,0,0)，由 10，知 AC1 CB，又 BA1 AC1， BA1 CB B，所以 AC1平面 A1BC.(2)由3 t20，得 t 3设平面 A1AB 的法向量为 n( x， y， z)，(0,1， )，(2,2,0)，3所以Error! 设 z1，则 n( ， ，1)3 3再设平面 A1BC 的法向量为 m( u， v， w)，(0，1， )，(2,0,0)，3所以Error! 设 w1，则 m(0， ，1)3故 cos m， n 因为二面角 A A1B C 为锐角，所以可知二面角 A A1B Cmn|m|n| 77
