1、Click to edit Master title styleClick to edit Master subtitle style* 1丘成桐教授美 國 哈 佛 大 學 數 學 系 教 授 香 港 中 文 大 學 數 學 講 座 教 授香 港 中 文 大 學 數 學 科 學 研 究 所 所 長菲 爾 茲 獎 得 獎 人 今日很高興的在這裏和公開大學的同學談談我自己對數學服務社會的看法。公開大學這麼多年來訓練了許多有上進心的青年，使我欽佩，在五十年代，除了香港大學外，沒有一家政府承認的大學，中文大學前身的崇基、新亞、聯合和當時的浸會學院吸收了香港很多人材，當時無論老師和學生都很窮苦，但是以後
2、卻成為社會的中堅份子。我想公開大學的學生也會成為香港的人材，為二十一世紀的新中國服務。 這十多年來，香港、中國和整個亞洲社會都逐漸轉型，尤其是中國改革開放以後，香港社會所需要的人材更多姿多采。亞洲各國要與全世界的經濟、文化、科學接軌，而中國大陸和日本會領導亞洲的發展，所以香港的青年也應當訓練自己來適應這個趨勢。沒有辦法迎接這個新時代來臨的青年恐怕要吃虧。縱觀全世界大學訓練人材的最基本要求乃是語文和數學，所有美國大學都看 SAT的成績，而 SAT中最基本的乃是這兩門學問的考試。這為的是甚麼呢？語文訓練使我們能夠表達自己的意思，數學訓練讓我們具有推理的能力，沒有這兩種能力，我們實在很難說我們是具有
3、文化氣息的現代人。很多人對於數學不切實際的看法，以為數學家都躲在象牙塔裏，不食人間煙火，這是極為錯誤的看法。事實上，整個智識型的現代社會極度需要經濟、工程、管理等等方面的人材，而在現代化的前提下，這些人材都需要相當程度的數學訓練。一般來說，數學訓練分兩個層次，一個層次是在象牙塔裏的為了追求純真純美的研究，表面上這些研究與實用毫無關係，從前我們知道這些研究十多年或數十年後總會有大的用場，但是近二十多年來，我們發覺純數學和應用的距離愈來愈縮小距離了。數學的第二個層次就是在各行業上的應用，這是今天演講的主題。二十一世紀的重要科學w訊息科學w生命科學w能源科學w材料科學w環境科學w經濟金融科學它們之間
4、的橋樑、溝通就是數學近年的科技發展 都需要很多數學的支援 醫學素描，生物色素分佈 (豹紋、虎紋 )， DNA結構，量子物理，材料科學，半導體，財經科學，大型晶體結構，互聯網 Radon Transform, Diffusion Equation, Knot Theory, Gauge Theory, Mathematics Computation on Quantum Mechanics, Many Body Model, Inverse Problems數學研究對科學的貢獻美國政府 Labor Dept. 關於大學畢業生報告的一段話Other (non-mathematics) occupa
5、tions that require extensive knowledge of mathematics include actuary, statistician, computer programmer, system analyst, system engineer, operation research analyst. A strong background in mathematics also facilitates employment in engineering, economics, finance, and physics.其他需要 深入數學知識 的行業包括精算、統計
6、師、程式編寫、系統分析、系統工程、運籌分析等。而 數學基礎良好 往往有助於發展工程、經濟、財務及物理等事業。美國政府 Labor Dept. 關於大學畢業生報告的一段話數學為基礎的多元發展 從事其他學科研究 的 ， 包括 ：電子計算、經濟、統計、財務、風險管理、社科、哲學 還有從事非學術研究的各行業的 圖像壓縮 數據保安數學與社會物流 風險管理數據壓縮 (JPEG 2000)小波 (Wavelet) 壓縮如果 A 是平滑的，那麼 Di 就很小Si = A 的 平滑 部份Di = A 的 高頻 部份A一個信號和它的小波變換原始信號 變換後信號Di 0 圖像是平滑的 壓縮 = 刪除小的 Di小波
7、壓縮：考慮以下 16 個數字：A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1S1 = 3, 7, 11, 15, 15, 11, 7, 3D1 = 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1兩兩相加：A = S1 D1兩兩相減：對 S1重複剛才的程序：S2 = 10, 26, 26, 10 D2 = 4, 4, 4, 4對 S2重複剛才的程序：S3 = 36, 36D3 = 16, 16S1 = S2 D2S2 = S3 D3最後，我們有S4 = 72， D4 = 0 S3 = S4 D4以魚骨來表示：因此A = S4 D1 D2 D3
8、D4 JPEG (Fourier) 對 JPEG 2000 (小波 )未經壓縮處理的原有圖像的大小為 15 MBytes再壓縮幾何訊息的壓縮w 將三維圖形影射到球上w 在球上找一組互相垂直的多項式 ( 球面調和多項式 )w 將三維訊息由這組多項式展開w 壓縮訊息只要保持其中足夠多的多項式圖像影射到圓球體上壓縮 256 倍後的圖像原來的圖像數據保安數學與社會RSA 公鑰密碼w 傳統密碼需要大量密鑰以至密鑰的分配及管理極為困難w 現代保密的常用做法是由 Rivest, Shamir, Adleman 於 1978年提出w 安全性是基於大整數分解 ( 已知是一個計算來說極為困難的 問題 )w 加 密
9、鑰可以公開因此稱為公鑰密碼 解密算法依賴數論中的 Fermat 定理 破解 RSA 密碼的主要方法大數分解是數論中一個重要課題 現今最快的全面性大數分解算法依次為：二次域篩法，數域篩法，橢圓曲線法均建基於深刻的數學上RSA 公鑰密碼的數學n = 63,978,486,879,527,143,858,831,415,041一個例子我們取 公鑰 e = 1193及國防部要傳遞以下重要訊息：WE_ARE_UNDER_ATTACK_LAUNCH_THE_MISSILE_NOW29個數位轉化為一個 84位的 數字：230500011805002114040518000120200103110012012
10、114030800200805001309191909120500141523將它分為 3個 28位的數字：M1 = 2305000118050021140405180001M2 = 2020010311001201211403080020M3 = 0805001309191909120500141523加密後變成：C1 = 1060546943595003247867569919C2 = 2485275951856773770355929250C3 = 13101173280250715817550140912 前述的 n 是兩個大素數 p 和 q 的乘積 要破解密碼必須找到 p 和 q，
11、大數分解就派上用場n = 63,978,486,879,527,143,858,831,415,041= p q = 440,334,654,777,631145,295,143,558,111取 r = (p-1) (q-1) = 63,978,486,879,526,558,229,033,679,300用公鑰 e 算出一個 密 鑰 d 滿足e d 1 (mod r) , 1 d rd = 30,568,095,156,186,201,333,234,581,057解密算法 ：Cd (Me)d M (mod n)原文這個大數經過十七年才給人用 二次域篩法分解出來349052951084765094914784961990389813341776463849338784399082057732769132993266709549961988190834461413177642967992942539798288533RSA 於 1977 年提出用n = RSA-129 =114381625757888867669235779976146612010218296721242362562561842935706935245733897830597123563958705058989075147599290026879543541
