1、第一单元 电路的基本分析法总结1. 单元概要 本单元（前四章）的内容是学习电路的基础，学习时要深刻理解，熟练掌握。电路原理主要研究电路中发生的电磁现象，用电流、电压和功率等物理量来描述其中的过程。电路中各物理量的大小，既要看元件的连接方式，又要看每个元件的特性，所以电路中各电流、电压要受两大约束，即（1）电路元件性质的约束。也称电路元件的伏安关系（VCR） ，它仅与元件性质有关， 与元件在电路中连接方式无关。（2）电路连接方式的约束。也称拓补约束，它仅与元件在电路中连接方式有关，与元件性质无关。因此无论是线性电路还是非线性电路,它都适用。基尔霍夫电流定律（KCL） 、电压定律（KVL）是概括拓
2、补约束关系的基本定律。这两大约束关系将贯穿电路原理全书。本单元是在直流稳态的环境下，第 3 章重点讲述电路的一般分析方法，是以电路元件的约束特性（VCR）和电路的拓补约束特性（KCL、KVL）为依据，建立以支路电流、回路电流、网孔电流或节点电压为变量的电路方程组，解出所求的电压、电流和功率。方程分析法的特点是：（1）具有普遍适用性，即无论线性和非线性电路都适用；（2）具有系统性，表现在不改变电路结构，应用 KCL、KVL、元件的 VCR建立电路变量方程，方程的建立有一套固定的步骤和格式，便于编程和用计算机计算。第 3 章的分析方法能够对已知电路进行全面的分析，但当一端口内部的结构与参数不明确，
3、或者对于复杂电路只对某一部分感兴趣，更适合用戴维宁、诺顿定理、分解方法、叠加定理等求解，此即第四章。分解方法，可以使复杂电路分解为简单电路。所谓复杂可以是结构复杂、也可能是线性与非线性的组合、或者是交流与直流的共同作用等等，置换与等效是分解方法的核心。叠加定理，作为分析电路的方法一直贯穿电路的分析，在后续模拟电子技术课程中，模拟电路是交流信号与直流电源的叠加，是线性与非线性的综合，其中的直流通道、交流通道的分析基础就是叠加定理和分解方法应用。前四章作为一个单元，是在直流稳态的环境下进行分析计算，本单元之所以称为“电路的基本分析法”，是因为后续章节中，要碰到的直流暂态、交流稳态和交流暂态等不同的
4、分析环境，但“电路的分析方法”都不变。第一单元还应该包括 13 章和 14 章，13 章是运用节点法对含有运算放大器的电路进行分析；而第 14章是为了便于计算机编程和计算，将电路方程组写成矩阵形式，所以，14 章只是第 3 章的延续。之所以把这两章后置，主要是因为针对少学时，另外，后续课程模拟电子技术对 13 章的内容有讲解。2. 单元的重点难点及解决办法1）. 必须重视参考方向的问题参考方向是任意规定的，电路分析中，需先标出所有电流和电压的参考方向（当电流与电压的参考方向相同时，可以只标一个） ，对未知的电流和电压的参考方向是任意假设的，列方程时，只看参考方向，代入数据时，是正就代正，是负就
5、代负，解出未知量若为负值，则说明实际方向与假设的参考方向相反（参见 P.8 例 1-1） 。2）.对含有受控源的一端口求输入电阻属重点和难点解决的办法是记牢定义：输入电阻的定义为无源一端口的端电压与端电流的比值。对含源一端口，求输入电阻时，首先将独立电源置零(理想电压源短路、理想电流源开路)，变为相应的无源一端口，若无源一端口中没有受控源，可以直接利用串并联求输入电阻；若无源一端口中有受控源，用外加电压法，求输入电阻（参见 P.8 例 2-9） ；或外加电流法，求输入电阻（参见 P.8 例 2-10） 。3）.第 3 章各种分析方法，不但应用条件不同而且公式繁多，给学生造成很大负担，很难灵活运
6、用解决的办法是抓住定律的实质，确定未知量和独立方程数是关键。节点电压法的实质是用节点电压写出每一支路的电流，然后列出 KCL；网孔电流法的实质是用网孔电流表示每个元件的电压，然后列出KVL；回路电流法的实质用回路电流表示每个元件的电压，然后列出 KVL。 实际上，从支路电流法、到回路（网孔）电流分析法，再到节点电压分析法，实质都离不开对KCL、KVL 定律的透彻理解和熟练应用。例如：在讲节点法时，抓住 KCL 定律的应用，用节点电压写出每一支路的电流，然后列出 KCL 方程，这样减轻了学生死记硬背公式的负担，加深了对基本定律的理解，免除了套用公式时由于条件不符产生的错误（参见 P.8 例 3-
7、10） 。4）.第 4 章戴维宁定理是分析电路非常重要的分析方法对于复杂电路只对某一部分感兴趣，适合用戴维宁或诺顿定理等方法求解， （参见 P.8 例 4-8） ；当一端口内部的结构与参数不明确，也适合用戴维宁或诺顿定理等方法求解， （参见 P.8 例 4-10） 。戴维宁定理用途广泛，例如，最大功率传输、第 5 章中时间常数的计算等等。第二单元 直流电路的暂态分析1. 回顾前四章是在直流稳态的环境下，根据电感元件的 VCR 公式，电感的电压等于零，此时，电感相当于短路；根据电容的 VCR 公式，电容的电流等于零，此时，电容相当于开路。因此在直流稳态的环境下，不会出现电感或电容的 VCR 公式
8、，也就避免了微积分方程的出现。2. 单元概要 本单元（第 5 章）是在直流暂态的环境下，只涉及一阶和二阶电路的时域分析，重点在一阶电路。有关动态电路更进一步的分析，将依靠拉普拉斯变换（运算法）的引入，见第 11 章。零输入响应，就是没有外施独立电源，仅仅依靠初始时刻的储能产生响应，即放电过程；零状态响应，就是初始储能为零，仅仅由外施独立源作用所引起的响应，即充电过程；线性电路的全响应，就是零输入响应和零状态响应之叠加，即非零状态下的非零输入。然而，本单元是在直流暂态的环境下，由于电路中电压和电流的变化，导致电感的电压和电容的电流不再等于零。此时，列出的方程是动态电路的微分方程，如果直接求解微分
9、方程，这就是经典法，此种方法比较繁琐。会列写一阶、二阶微分方程是本单元的基本要求。对于只含有一个 L 或 C 的一阶电路，列出的是一阶微分方程，求解此一阶微分方程的结果，共同遵循一个规律，即，三要素公式。因此，可以对于一阶电路，可以直接求出三个要素，然后代入三要素公式，这称为三要素法。从广义的角度，第一单元的直流稳态分析，即 时的响应，也可以认为时间常数 ，其初t始值等于稳态值。本篇只涉及一阶和二阶电路的时域分析，重点在一阶电路。有关动态电路更进一步的分析，将依靠拉普拉斯变换的引入，见第 11 章运算法。2. 重点难点及解决办法1）. 一阶电路所求未知量较多时，不用把每一个未知量都求出三个要素
10、，一般的，对含电容电路，先用三要素法求出 ，或对含电感电路先用三要素法求出 ，对所求的其它的未知量根据电路的()cut ()lit具体情况，与 或 列时域形式方程，求解结果直接是时域形式（参见 P.8，例 5-7 例 5-8） 。li2）.一阶电路交流暂态分析属难点问题，尽管可以用三要素法，但三个要素的求解也较繁琐（参见P.8，例 5-6 ） ，建议用 11 章的运算法更合适。3）. 二阶电路的分析属难点问题，三要素法只是对一阶电路暂态响应的总结，对二阶电路，只能列出二阶微分方程，用经典法求解微分方程，比较繁琐（参见 P.8，例 5-16） ，解决的办法：可以用 11 章的运算法更合适。4）.
11、 冲激响应属难点问题，因为 或 不再为有限值，因此换路定理不再适用，在此需要用cilu区间积分，求出初始值，相对比较繁琐（参见 P.8，例 5-15） ，解决的办法：也可以用 11 章的运+0到算法。第三单元 交流电路的稳态分析1. 回顾 本单元（包括第 6 章到第 10 章） ，重点分析单相、三相、含有互感的交流电路及频率响应。一单元是在直流稳态的环境下，利用电路的基本分析方法，列出的时域方程全部都是代数方程。二单元是在直流暂态的环境下，针对一阶动态电路列出的时域方程是一阶微分方程，直接求解此方程称为经典法，也称时域分析法。此种方法需要求解一阶微分方程，比较麻烦，但是此种方法的求解结果有一个
12、规律，即三要素法。三要素法是解决一阶动态电路比较简便的方法。但是针对高阶阶动态电路列出高阶微分方程，本教材仅对二阶电路列出二阶微分方程，还假设了初始值为最简单的情况，进行了简单的分析，此种方法相对繁琐，因此，将在第 11 章用运算法解决。2. 单元概要 本单元是在交流稳态的环境下，电路中电流或电压都是变化的，仍然按照电路的基本分析方法列出电路的方程，此时的方程是含有正弦函数的微积分方程，如果直接求解此方程，即，按下图中的虚线步骤与，这称为经典法,此方法求解过程非常困难。为此，本单元需探究新方法。因为正弦交流电的求解就是要关注正弦量的三要素，其中响应的频率与激励的频率相等，因此，求解正弦量的幅值
13、和初相位是关键，根据数学和电路原理探寻正弦量的幅值和初相位的求解方法，即相量法，相量法的步骤按下图中实线箭头。采用相量法，即把求解线性常系数微分方程的特解问题变换成求解复数方程的问题。在周期性非正弦稳态电路分析中，将非弦周期电量分解为傅里叶级数，对于不同频率仍然采用相量法，即变换成各个频率的正弦量的叠加，从而把问题变换成分析多频的正弦稳态电路分析，对于不同频率仍然采用相量法。相量法，也称频域分析法，是将时域分析运用数学工具变换到频域分析，从而使分析简化。相量法，是将电路的时域模型转换为相量模型，即， R 还是 R，L 对应 ,C 对应 ,电源写j1jC成对应的相量形式。还是用“电路的基本分析方
14、法”列出相应的方程，得到未知量的相量形式，也可以相量反变换，得未知量的时域形式。建立含微积分的电路方程(时域分析过程 )正弦交流电路相量正变换相量电路模型 用“电路的基本分析方法”建立复数形式电路方程得频域响应相量得时域响应表达式相量反变换相量法 分析步骤示意图瞬时功率 p:以 2随时间作正弦变化，纯电阻，其瞬时功率 p 在一周期内平均值不为零；纯电容或纯电感时，其瞬时功率 p 在一周期内平均值为零。表明一周期内吸收和释放的能量相等。瞬时功率 p 表明正弦交流电路中功率、能量的基本物理现象。实用上，往往只对平均值感兴趣，功率一般是指平均功率，又称有功功率 P。一般情况，由于含有动态元件，用无功
15、功率 Q 反映单口网络与外界能量往返的规模。2. 单元的重点难点及解决办法1）. 必须注意不同分析域各物理量的写法不同就电流而言，有直流量 I、交流量 i、电流的有效值 I、电流的最大值 Im、电流的相量 或 ，以上Im尽管都是电流，但所代表的物理意义不同，必须高度重视，否则，会有“概念混乱、分析域不清”之嫌，甚至直接影响分析结果。2）.对含有互感的电路分析属重点和难点解决的办法是透彻理解“同名端”的概念，掌握“电流的流进端与互感电压的正极性端互为同名端”，会用 CCVS 表示互感电压（参见 P.8 例 7-4） 。在用 CCVS 表示互感电压的基础上，有时将互感 M 转换为自感，即消去受控源
16、 CCVS，也是一种计算方法，但不是必须，也就是基础最重要（参见 P.8 图 7-26(c)） 。3）. 负载不对称的三相交流电的分析属重点和难点解决的办法是透彻理解中线的作用，掌握“节点电压法”求出中性点的位移量，然后就会得到每相负载承受的电压，进行相应的分析（参见 P.8 例 8-4 与例 8-5） 。4）. 三线制的电路用两个功率表测量三相功率的计算属难点掌握两个功率表测量三相功率依据是 ，注意两个功率分别跨接的电压与各自电0 ABCii流的夹角。5）. 周期性非正弦激励的电路属难点对于周期性非正弦激励的电路响应问题，应用傅里叶级数得求得多个不同频率正弦激励，由于频率不同，相量模型不同。
17、各不同频率的相应相量也不能直接相加。不同频率的相量各自反变换得出时间 t 的函数后，才能叠加得出总的响应。第四单元 运算法单元概要 拉氏变换是把原函数 与 的乘积从 到 对 进行积分，则此积分结果不再是 的函)(tfste0tt t数，而是复变量 的函数，所以拉氏变换是一个把时域函数 变换到 域内的复变函数，变量 称为s )(fss复频率。应用拉氏变换法进行线性电路的分析称为电路的复频域分析方法，又称为运算法。用运算法进行分析时，先要把电路变成运算电路，把其中的电路参量变成其相应的象函数，列出电路方程，求出未知量，然后再对之进行反变换，从而求出时域原函数。运算法的分析步骤与相量法一致，见下图建
18、立含微积分的电路方程(时域分析过程 )高阶复杂动态电路拉氏正变换运算电路模型 用“电路的基本分析方法”列出复频域的代数方程得复频域响应得时域响应表达式拉氏反变换运算法 分析步骤示意图本单元的核心是如何用数学工具“拉普拉斯变换”解决电路的动态分析问题。因此，学习本章首先应掌握“拉普拉斯变换”的定义、性质和反变换问题，在此基础上掌握如何用“拉普拉斯变换”解决动态电路分析的问题，即运算法的有关问题。运算法中的复频域 ，其中的实部与三要素中的时间常数有如下关系， ，jS 1第 11 章综合例题 1 中，得到的运算形式，使分母为零，即 S= 1000。而 S 的一般形式为，由于是直流电=0，即， ，所以
19、 ,由上例验jjS 10S30证了 的正确性。第 5 章用时域分析法分析一阶电路比较方便，但对于二阶以上或交流的动态电路，列写和求解方程很繁琐 (例题 5-12)。本章复频域分析法（运算法）对分析复杂的电路将更为有效。用复频域分析法分析线性电路时，一般按这样的步骤进行：求初始值，画运算电路，列方程求解，反变换求原函数。三要素法与运算法比较第 11 章综合例题 1，由于正好是一阶电路的直流动态，所以可以用三要素法，此题用三要素法比运算法简便一些。相量与运算法比较第 11 章综合例题 2， 交流稳态分析（相量法）求出的结果是 时刻，此时，其暂态过程已经结t束，也可以用运算法求解，此时， 中， ，
20、即 时间常数 属于稳态分jS0,析。11 章的综合例题，把一阶的暂态分析-三要素法、交流的稳态分析-相量法与运算法的分析通过实题分析找出了它们的关联和不同， 各种方法，适应范围不同，各有优缺点，请读者注意。三要素法仅适应直流一阶的暂态分析，当遇到直流二阶的暂态分析时， 要求解二阶微分方程较麻烦，此时用运算法较好，相量法是交流的稳态分析，当遇到交流的暂态分析时，也是用运算法比较简便。电路原理中，分析域的比较与关联一单元是关于“电路的基本分析方法” ，尽管是在直流的稳态环境下，引出的分析方法，但这些分析方法，不管是时域、频域、复频域都适应，因此一单元是基础。从广义的角度也可以认为一单元直流的稳态分
21、析，也是运算法的特例，此时复频域 S 的实部和虚部都是零。二单元的时域分析法是运算法当 S 的虚部为零的特例， （参见 P.8 第 11 章综合例题 1） 。1S三单元的相量法-也称频域分析法；四单元的运算法-又称复频域分析法，两种方法只是分析域不同，相量法的分析域是 ，运算法的分析域是复频域 。S 的实部与动态电路中的时间jj常数 有如下关系， ， S 的虚部 与正弦交流电的角频率 是一个值， （参见 P.8 第 11 章综合例1题 3） 。由此可见，相量法中 S 的实部为零，即时间常数 为，这和相量法是稳态分析完全相符。也可以理解为，相量法（频域分析）是运算法当 S 的实部为零的特例；直流
22、的动态分析（时域分析）是运算法当 S 的虚部为零的特例。综合例题 1 如图（a）所示电路中，若 时开关 S 闭合，求 时的 、 、 和 。0t 0tLiCui解法 1 S 闭合，此题属直流动态，L 与 C 构成的回路各自独立，属一阶电路，可以用三要素法， 根据换路定则可以求出A27.015)0()(LLii V7.2)0(1)()0( LCius136RC s.3RL则有 Ae27.0e)(310ttLLiVe7.2)0(310ttCCuA.310ti 0e27.0e. 3311ttLCii解法 2 用运算法，根据换路前，求出27.015)0(Li V.)(1)0(LCiu画出运算电路如下图（
23、b） ，10F-S (t=0)100100+-50V0.1H LiCii+综合例题 1 图 （a）120uI ( S )II I-+-1 0 0 1 / S C+U c ( 0 - ) / SU c ( S )I c ( S )S LIL( S )- +L il( 0 - )+ -UL( S )1 0 0 综合例题 1 图 （ b )对网孔列 KVL0)(1)()0( SIISCuCc代入已知量 )()(17.25IICC解得 1027.10.)(5SSIC拉普拉斯反变换得 AetitC1027.)(107.2.01)()( 5 SSUSIUC拉普拉斯反变换得对网孔列 KVL 0)(1)0()
24、SIiLSILl代入已知量 )(27.)(1.0IILL解得 10S3102.7eVtCu拉普拉斯反变换得 Ae27.010tLi0e27.331ttC三要素法与运算法比较（1）两种方法得到的结果相同，上例中，由于正好是一阶电路的直流动态，所以可以用三要素法，此题用三要素法简便一些。（2）运算法中的复频域 ，其中的实部与三要素中的时间常数有如下关系，jS，上例中，得到的运算形式，使分母为零，即 S= 1000。而 S 的一般形式为，由于是直流电=0，即， ，所以 ,由上例验jjS1 10310证是正确的。同样， 交流稳态，也可以用运算法求解，此时， 中， ， 即 时间常数jS,。综合例题 2
25、如图（a）电路，初始储能为零，t=0 时，开关合闸，已知 ， （1）求稳S5cosVut态时的电流 。 （ 2）求 t 0 时的电流 。ii（1）求稳态时的电流 ,可用相量法iCLRUImj1Sm oo05.2j-则 （1）2.5cosAiti-+1 H 2综合例题 2 图 （ a )1 Fus- +S L 2I ( S )综合例题 2 图 （ b )1 / S C152s（2）求 t 0 时的电流 ，属二阶交流动态电路，用运算法iS5cosVut2251SssU画出运算电路如下图（b） ， , AiL0)(V0)(CuSLRSI1代入已知量，解得 2225()()ssI21121jsKsK其
26、中 1 2j j5.5()s sI2 2j j1.()s sKIK11 = 22115.5ssI 222212 11 1dd0()() .5s s sKIst t 则有 -1-1 2 .5.5.i(t)LI(s)j 2.cos2.e.t (2)ttst分析：式(2)中，t= ，当电路进入稳态，得 ，与式（1）结果相同。.5Ai式（2）的结果是针对 t 0 时，回路的电流 ，当 t=0 时， (t) 2.cos .5e2.ttt即 il (0-)=il (0+) =0，与实际结论相符。因此，式（2）的结果与式（1）结果只是时域范围不同。()0it式（2）的分析时域是 t 0，属交流的动态分析，而式（1）结果的时域范围是 ，属交流的稳态分析。t
