1、2.2.2 反 证 法【 学 情 分 析 】 ：前 面 我 们 学 习 了 两 种 直 接 证 明 问 题 的 方 法 综 合 法 和 分 析 法 。 在 以 前 的 学 习 中 ，学 生 已 经 接 触 过 用 反 证 法 证 明 数 学 命 题 ， 本 节 课 进 一 步 熟 悉 运 用 反 证 法 证 明 某 些 直 接 证 明 较 难解 决 的 数 学 问 题 。【 教 学 目 标 】 ：（ 1） 知 识 与 技 能 ： 结 合 已 学 过 的 数 学 实 例 ， 了 解 间 接 证 明 的 方 法 反 证 法 ； 了 解 反 证法 的 思 考 过 程 、 特 点（ 2） 过 程 与
2、方 法 ： 能 够 运 用 反 证 法 证 明 数 学 问 题（ 3） 情 感 态 度 与 价 值 观 ： 通 过 本 节 课 的 学 习 ， 感 受 逻 辑 证 明 在 数 学 以 及 日 常 生 活 中 的 作 用 ，养 成 言 之 有 理 ， 论 证 有 据 的 习 惯【 教 学 重 点 】 ：了 解 反 证 法 的 思 考 过 程 、 特 点 ； 运 用 反 证 法 证 明 数 学 问 题 。【 教 学 难 点 】 ：运 用 反 证 法 证 明 数 学 问 题 。【 教 学 过 程 设 计 】 ： 教 学 环节 教 学 活 动设 计 意 图一、提出问题问题 1、任找 370 个人，他们
3、中生日有没有相同的呢？问题 2、将 9 个球分别染成红色或白色，无论怎样染，至少有 5 个球是同色的，你能证明这个结论吗？思考：通过以上几个练习，大家已经初步体会到反证法的作用，你能不能总结一下应用反证法的概念及其步骤？从实际生活的例子出发，使学生对反证法的基本方法和步骤有一个更深刻的认识。二 、反 证法 定义1：反证法的概念：假设原命题不成立，经过正确的推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法2：反证法的基本步骤： 1）:假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；2）:从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；3）:从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的
4、结论正确.3：应用反证法的情形：1）：直接证明困难；2）：需分成很多类进行讨论； 3）：结论为“至少” 、 “至多” 、“有无穷多个”类命题； 4）：结论为 “唯一”类命题；三 、应 用例 1、已知直线 ,ab和平面 ，如果 ,ab，且 |ab，求证 |。解析：让学生理解反证法的严密性和合理性；证明：因为 |, 所以经过直线 a , b 确定一个平面 。因为 ，而 ，所以 与 是两个不同的平面因为 b，且 ，所以 . 直 观 了 解 反 证 法 的 证 明 过 程 。 否定 结 论 ， 推 出 矛 盾 。 提 醒 学 生 ：使 用 反 证 法 进 行 证 明 的 关 键 是 在正 确 的 推
5、理 下 得 出 矛 盾 。 这 个 矛盾 可 以 是 与 已 知 条 件 矛 盾 ， 或 与假 设 矛 盾 ， 或 与 定 义 、 公 理 、 定理 、 事 实 矛 盾 等 。进 上 步 熟 悉 反 证 法 的 证 题 思 路 及步 骤 。引 导 学 生 结 合 思 考 题 和 例 题 归纳 出 反 证 法 所 适 用 的 题 型 特 点 和下面用反证法证明直线 a 与平面 没有公共点假设直线 a 与平面 有公共点 P，则 b，即点P是直线 a 与 b 的公共点，这与 |矛盾所以 |.点评：用反证法的基本步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三
6、步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等利例 2、求证： 不是有理数解析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法假设 不是无理数，那么它就是有理数我们知道，任一有理数都可以写成形如 mn（ ,互质， *,mZnN”的形式下面我们看看能否由此推出矛盾证明：假设 2不是无理数，那么它就是有理数于是，存在互质的正整数 ,n，使得 2n，从而有n, 因此， 2m，所以 m 为偶数于是可设 mk ( k 是正整数） ，从而有 24k，即n所以 n 也为偶数这与 m , n 互质矛盾！由上述矛盾可知假设错误，从而
7、 2是无理数点评：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。一 般 步 骤 。 培 养 学 生 的 归 纳 能 力 。四 、归 纳1. 通 过 思 考 题 和 例 题 ， 我 们 发 现 反 证 法 适 用 于 什 么样 的 题 目 ？（ 1） 要 证 的 结 论 与 条 件 之 间 的 联 系 不 明 显 ， 直接 由 条 件 推 出 结 论 的 线 索 不 够 清 晰 ；（ 2） 如 果 从 正 面 证 明 ， 需 要 分 成 多 种 情 形 进 行分 类 讨 论 ， 而 从
8、 反 面 进 行 证 明 ， 只 要 研 究 一 种 或 很少 的 几 种 情 形 。2. 归 纳 一 下 反 证 法 的 证 题 一 般 步 骤 ：（ 1） 否 定 命 题 的 结 论 ；（ 2） 进 行 合 逻 辑 的 推 理 ；（ 3） 导 出 任 何 一 种 矛 盾 ；（ 4） 肯 定 原 命 题 的 结 论 。五 、练 习巩 固1. P91.练 习 1.22. 补 充 ：用 反 证 法 证 明（ 1） 如 果 .012,xx那 么（ 2） 求 证 ： 过 直 线 外 一 点 ， 有 且 只 有 一 条 直 线和 这 条 直 线 平 行 。通 过 讲 评 可 以 及 时 发 现 学 生
9、 解 题中 存 在 的 问 题 ， 予 以 更 正 。六 、知 识小 结反 证 法 的 证 题 步 骤 ：（ 1） 否 定 命 题 的 结 论 ；（ 2） 进 行 合 逻 辑 的 推 理 ；（ 3） 导 出 任 何 一 种 矛 盾 ；（ 4） 肯 定 原 命 题 的 结 论 。反 证 法 的 适 宜 题 型 ：（ 1） 对 于 起 始 命 题 、 基 本 命 题 、 特 殊 命 题 ， 由于 可 以 用 到 的 定 理 、 公 式 甚 少 或 不 易 找 出 直 接 证 明的 关 系 ， 用 反 证 法 有 时 会 骤 得 较 好 的 效 果 ；（ 2） 命 题 的 结 论 中 含 “不 ”、
10、 无 ”等 （ 称 为否 定 形 式 命 题 ） ， 往 往 可 以 考 虑 反 证 法 ；（ 3） 命 题 用 反 面 结 论 较 易 推 出 矛 盾 ， 适 宜 使 用反 证 法 ；（ 4） 命 题 结 论 中 含 “至 多 ”、 “至 少 ”、 “超 过 ”、 “不 超 过 ”等 词 ， 往 往 可 以 考 虑 反 证 法 ；（ 5） 惟 一 性 的 命 题 ， 直 接 证 不 如 反 证 法 更 易 于入 手 。通 过 小 结 总 结 所 学 ， 突 出 重 点 ，强 调 难 点七 、课 后作 业P102 习 题 2.2 A 组 1八 、设 计反 思反 证 法 学 生 并 不 陌 生
11、， 在 初 中 就 已 有 所 接 触 。 通 过本 节 课 的 学 习 进 一 步 明 确 其 步 骤 ， 寻 找 矛 盾 点 ， 哪些 题 型 是 适 用 于 反 证 法 证 的 。 感 觉 学 生 应 该 容 易 接受 。【 练习与测试】 ：1用反证法证明命题：若整系数一元二次方程 则 a、b、c 中至少有一20()axbca有 有 理 根 ,个是偶数时，下列假设中正确的是（ ）A. 假设 a、b、c 都是偶数 B. 假设 a、b、c 都不是偶数C. 假设 a、b、c 至多有两个是偶数 D. 假设 a、b、c 至多有两个是偶数答案：B解：反证法的假设，恰好与结论相反， “至少有一个”的否
12、定是“一个也没有” 。选 B。2用反证法证明命题“若整数 n 的立方是偶数，则 n 也是偶数”如下：假设 n 是奇数，则 n=2k+1(kZ)，_，这与已知 是偶数矛盾，所以 n 是偶数。33(1)nk 3答案： 246)1k解：和的立方公式展开 3322(2)816(46)1kkk答案为 。32(46)1k3已知平面 和不在这个平面内的直线 a 都垂直于平面 ，求证：直线 a平面 。证明：假设 a 不平行 ，则 a 与 必有公共点，设为点 A，过点 A 在平面 内作直线 cb，由 知，c ，而 a ，则 ac。这与a、c 相交于点 A 相矛盾，因此，假设错误，即 a 。4. 已知函数 。 （
13、1）证明：函数2()()xfa上为增函数；（2）用反证法证明方程 f(x)=0 没有负根。()fx在 -1,+)证明：（1）令 13(xgx当 x-1 时 在 上 g(x)为增函数。 a1 时，2)()0g(1,)在 上为增函数， 上为增函数。xa(,()f在 -,+（2）设存在 ，满足 ，则 0x (-10)fx02x0xa=-,且 a所以 ，与假设矛盾，故方程 f(x)=0 没有负根。002x-,即5设 。证明：a,b,c 都是不大于 的非负数。22,abcRabcbc且 满 足 43证明：假设结论不正确，可设 403或（1）若 c0，由 2221()ccabc故即 22()abab又 得
14、c0，由上式可得(a+b)0，从而 a+b+c0 与题设 a+b+c=2 矛盾。（2）若 。又由43c2 2()2()4ccc 。这是不可能的，因此 也是不可能的。2()0ab3综合两种情况知必有 。同理可证43c0,ab6. 求证：抛物线 上不存在关于直线 y+x=0 对称的两点。12xy证明：假设抛物线上存在关于直线 y+x=0 对称的两点 A(a,b)和 B(-b,-a)， （ ，且 a,bR） ，则ba，两式相减得 ,1)(22ba )(21bab由于 ，则 ，代入 得aa,)(,0即所 以 12a，故方程无实根，0422 因cba aa这与 b 为实数相矛盾，故抛物线 上不存在关于直线 y+x=0 对称的两点。12xy
