1、材料物理导论 习题解答第一章 材料的力学1. 一圆杆的直径为 2.5 mm、长度为 25cm 并受到 4500N 的轴向拉力，若直径拉细至 2.4mm，且拉伸变形后圆杆的体积不变,求在此拉力下的真应力、真应变、名义应力和名义应变，并比较讨论这些计算结果。解：根据题意可得下表由计算结果可知：真应力大于名义应力，真应变小于名义应变。2. 一试样长 40cm,宽 10cm,厚 1cm，受到应力为 1000N 拉力，其杨氏模量为 3.5109 N/m2，能伸长多少厘米?解：3. 一材料在室温时的杨氏模量为 3.5108 N/m2,泊松比为 0.35，计算其剪切模量和体积模量。解：根据 可知：拉伸前后圆
2、杆相关参数表体积V/mm3直径 d/mm圆面积S/mm2拉伸前 1227.2 2.5 4.909拉伸后 1227.2 2.4 4.5241cm10cm40cmLoad Load)(014.5.3104900 cmEAlFll 0816.4.25lnln001AT真 应 变 )(979.6MPaF名 义 应 力 5.10l名 义 应 变 )(.46真 应 力 )1(3)(2BGE)(130)(3.15.0288MPa剪 切 模 量 99.)7.(3)1(体 积 模 量材料物理导论 习题解答4. 试证明应力-应变曲线下的面积正比于拉伸试样所做的功。证：5. 一陶瓷含体积百分比为 95%的 Al2O
3、3 (E = 380 GPa)和 5%的玻璃相(E = 84 GPa)，试计算其上限和下限弹性模量。若该陶瓷含有 5 %的气孔，再估算其上限和下限弹性模量。解：令 E1=380GPa,E2=84GPa,V1=0.95,V2=0.05。则有当该陶瓷含有 5%的气孔时，将 P=0.05 代入经验计算公式 E=E0(1-1.9P+0.9P2)可得，其上、下限弹性模量分别变为 331.3 GPa 和 293.1 GPa。6. 试分别画出应力松弛和应变蠕变与时间的关系示意图，并算出 t = 0,t = 和 t = 时的纵坐标表达式。解：Maxwell 模型可以较好地模拟应力松弛过程：Voigt 模型可以
4、较好地模拟应变蠕变过程：.,.,1212121 212121 SWVdlAFdlWFllSl ll 亦 即做 功或 者 ： 亦 即面 积 )(.3650.849.30GPaVEH上 限 弹 性 模 量 12)5()(21L下 限 弹 性 模 量).1()()(0)( )00 /eEt tt；则 有 ：其 蠕 变 曲 线 方 程 为 ： ./)0(;)(;0)( et-t/则 有 ： ：其 应 力 松 弛 曲 线 方 程 为0125&0&) b- & k “ 02&2&4&6&8&0& b- & k “K 材料物理导论 习题解答以上两种模型所描述的是最简单的情况，事实上由于材料力学性能的复杂性，
5、我们会用到用多个弹簧和多个黏壶通过串并联组合而成的复杂模型。如采用四元件模型来表示线性高聚物的蠕变过程等。7. 试述温度和外力作用频率对聚合物力学损耗角正切的影响并画出相应的温度谱和频率谱。解：（详见书本） 。8. 一试样受到拉应力为 1.0103 N/m2,10 秒种后试样长度为原始长度的 1.15 倍,移去外力后试样的长度为原始长度的 1.10 倍,若可用单一 Maxwell 模型来描述,求其松弛时间 值。解：根据 Maxwell 模型有：可恢复 不可恢复依题意得：所以松弛时间 =/E=1.010 5/2104=5(s).9. 一非晶高聚物的蠕变行为可用一个 Maxwell 模型和一个 V
6、oigt 模型串联描述，若 t=0 时施以拉伸应力为 1.0104 N/m2至 10 小时,应变为 0.05,移去应力后的回复应变可描述为,t 为小时，请估算该力学模型的四10/)3(te个参数值。解：据题即求如图 E1,E2, 2和 3四参数。如图所示有其中 1 立即回复， 2 逐渐回复， 3 不能回复。tE21 3,3 2,2E2, 2E1, 1tet30/032 )()(10.0125.5324sPatE材料物理导论 习题解答Voigt 的回复方程为： ，这里 t 为从回复时算起，而题目的 t 为从开始)/exp(0)(tt拉伸时算起，所以此题的回复方程为： )10exp()(t 排除立
7、即恢复后的应变，应变的回复方程就可写成 sPaEPaEe et tt 926210242 10)( 6.3,10.,.)E0.1 /)s,3.)xp(3.5 （ 相 比 ） （， （ 与得 出10.当取 Tg 为参考温度时 log 中的 C1=17.44,C2=51.6，求以 Tg+50为参sTc21考温度时 WLF 方程中的常数 C1和 C2。解：11.一圆柱形 Al2O3晶体受轴向拉力 F，若其临界抗剪强度 f为135 MPa,求沿图中所示之方向的滑移系统产生滑移时需要的最小拉力值，并求滑移面的法向应力。 0103.5. 03.1/)3(6.10.1/)3(0524301 eteE 12.
8、3.610. )( 0431 sPaEF N60533mm6.10.56.108./.4750 6.105)( )6.51(4.730.22501CT fBffTBf TfCfBg gfggfg gffg g为 参 考 时 有以又 有 以 上 的 热 膨 胀 系 数是 自 由 体 积 在 时 的 自 由 体 积 百 分 数是是 常 数 ，材料物理导论 习题解答解：12.拉伸某试样得到如下表的数据,试作 曲线图,并估算杨氏模量、屈服应力和屈服时的伸长率以及抗张强度。020406080101202040608010120140160180Pa.2%81530 b扬氏模量 ,由图中未达屈服点时线段的
9、斜率可求出:E=500 Pa。E屈服应力：由于无明显的屈服点，则取应变为 0.2时说对应的 为名义屈服应力点，作2.0p图可得：屈服应力 153010-4 Pa，伸长率为 4810-3。抗张强度：为强化阶段曲线最高点： 169010 -4 Pab13.氦原子的动能是 E= kT(式中波尔兹曼常数 k=1.38x10-23 J/K)，求 T = 1 K 时氦原子的23物质波的波长。3105 10 20 30 40 50 60Pa4250 500 950 1250 1470 1565 1690370 80 90 100 120 15041660 1500 1400 1380 1380(断)(12)
10、(012.6cos/015.73)(.6cos53010cs 8232min2 MPaNFf ：此 拉 力 下 的 法 向 应 力 为 为 ：系 统 的 剪 切 强 度 可 表 示由 题 意 得 图 示 方 向 滑 移材料物理导论 习题解答解：14.利用 Sommerfeld 的量子化条件，求一维谐振子的能量。解：15.波函数的几率流密度 ，取球面坐标时，算符mi2J，求定态波函数 的几率流密度。sin1rrkji ikre1解：16.一粒子在一维势阱中运动，势阱为 求束缚态(0 E U 0)的能级所满足的方程。axUo,0)(解：粒子满足波函数： )(6.12)(026.1038.102.6
11、43./213 9234 nmmkThPvkE 根 据 ),321(/ 1/22122nE dxPnhExdPSomerfld mExxmP 相 当 于 椭 圆 的 面 积 ）（ 这 时量 子 化 条 件 有 ：根 据 相 当 于 一 个 椭 圆一 维 谐 振 子 的 能 量rrikrikrririkr mimi eeJ 232*2* )(1,1, 且材料物理导论 习题解答 axxUEdxmaxxdx )()2)()230203221001即：材料物理导论 习题解答 )4()cos( 3)s( 2in )1(i)()sin()()sin(0)()(0)()(20)()()20)()()3221321223211132203212012 230203210012 aaaaxxxxxxBekCkeAaaxBekCAeBkAdxxdmEUaxxdx axxmEUdx则 可 得 到 以 下 方 程 ： ）（）（ ）（）（ ）（）（ ）（）（根 据 波 函 数 的 连 续 性 ：） 为 有 限 函 数 ， 则 ：（由 于、令 )6(1)(142 53 arctgnkkatg）（ ）（ ）（ ）（材料物理导论 习题解答 )7(212)(125)60220 ）（ 、代 入 EUarctgnEmamUarctgna即粒子能级需满足方程（7）量子力学哈尔滨工业大学出版社
