1、第三章1.有两束方向相反的平行热中子束射到 的薄片上，设其上某点自左面入射的中子束强235U度为 。自右面入射的中子束强度为 。计算：1210cms 1210cms（1）该点的中子通量密度；（2）该点的中子流密度；（3）设 ，求该点的吸收率。219.0a解：（1）由定义可知： 1213Ics（2）若以向右为正方向： 20JI可见其方向垂直于薄片表面向左。（3） 21213119.05.76aRcms2.设在 处中子密度的分布函数是：x 0(,)(o)xaEnxEe其中： 为常数， 是 与 轴的夹角。求：,（1 ） 中子总密度 ；()nx（2 ） 与能量相关的中子通量密度 ;(,)x（3 ） 中
2、子流密度 。,J解：由于此处中子密度只与 与 轴的夹角相关，不妨视 为视角，定义 在平面影上与 轴的夹角 为方向角，则有：YZ（1 ） 根据定义：004()(1cos)2xaEnnxded0 in0(cs)ixaEe可见，上式可积的前提应保证 ，则有：000()()incosin)axndd2cos)xeea（2 ）令 为中子质量，则nm/()n nEmvEm04(,)(,)2,2xaEnxExde （等价性证明：如果不做坐标变换，则依据投影关系可得： cosincs则涉及角通量的、关于空间角的积分：240(1)(1ios)indd 2200csind002(cos)(2sinco)40d对比
3、：40(1cos)1id220sinsincodd0(co)()40可知两种方法的等价性。 ）（3）根据定义式：44(,)(,)(,)(JxExdnxEvd200cos1sinaEnnem20 0(ic)xan利用不定积分： （其中 为正整数） ，则：1scosinxxdC300 2co(,)2(0)3xaEnxaEnemJnem6在某球形裸堆（R=0.5 米）内中子通量密度分布为. 17215()sin()rrcsR试求：（1） ;(0)（2） 的表达式，设 ；Jr20.81Dm（3）每秒从堆表面泄露的总中子数（假设外推距离很小，可略去不济） 。解：（1）由中子通量密度的物理意义可知， 必须
4、满足有限、连续的条件17005()li()lisin()rrrR17r175R83.4021cms（2 ） 中子通量密度分布： 7()in()rr21csJDgad（ 为径向单位矢量）er1717225050()0.81sin()cos()rJr eRrR 15240sin()cos(2)rre（3 ）泄漏中子量=径向中子净流量 球体表面积LJdA中子流密度矢量：152()40sin()cos(2)Jrrre 仅于 r 有关，在给定 r 处各向同性2()4LJR15200.5.7.8s7.设有一立方体反应堆，边长 中子通量密度分布为：9am13 21(,)0cos()cos()xyzxyz m
5、sb 已知 试求：20.841.75DL（1） 的表达式；()Jr（2）从两端及侧面每秒泄露的中子数；（3）每秒被吸收的中子数（设外推距离很小，可略去） 。解：有必要将坐标原点取在立方体的几何中心，以保证中子通量始终为正。为简化表达式起见，不妨设 。13210cms（1 ） 利用斐克定律：(),)(,)()JrxyzDgradxyzDijkxy 0sin(cosn)cos(sin()cos()zxyi j kbcbacab ()Jr2222222220si()s()i()s()si()s()xyzyxza c（2 ）先计算上端面的泄漏率： /2/0(/2) in()co()aZaSza yLJ
6、rkdDddab/ /202 0sin()si(4aaxyD 同理可得，六个面上的总的泄漏率为：213170 964.840L s 其中，两端面的泄漏率为： 635.;Ls侧面的泄漏率为： 17（如果有同学把问题理解为“六个面”上的总的泄露，也不算错）（3 ）由 ，可得：2/aLD2/aD由于外推距离可忽略，只考虑堆体积内的吸收反应率：/2/2 302cos()cos()aaaaVV xyzDaRdDLdxydbL 21332010.8490().4175.8.圆柱体裸堆内中子通量密度分布为 16 210.5(,)cos()zrrzJcmsHR其中， 为反应堆的高度和半径（假定外推距离可略去不
7、计） 。试求：,HR（1 ） 径向和轴向的平均中子通量密度和最大中子通量密度之比；（2 ） 每秒从堆侧表面和两个端面泄露的中子数；（3 ） 设 ,反应堆功率为 ，求反应堆内7,3m510,410fMWb的装载量。235U解： 9.试计算 时的铍和石墨的扩散系数。0.253EeV解：查附录 3 可得，对于 的中子：0.253EeV1/sm01Be8.65 0.9259C3.85 0.9444对于 ： 001.4163(1)3()trssDm同理可得，对于 ： .9710.设某石墨介质内，热中子的微观吸收和散射截面分别为 a=4.510-2靶和 s=4.8 靶。试计算石墨的热中子扩散长度 L 和吸
8、收自由程 a，比较两者数值大小，并说明其差异的原因。：12.计算 时水的热中子扩散长度和扩散系数。3235,80/TKkgm解： 查 79 页表 3-2 可得， 时： ，由定义可知：29K0.16Dm()/1/()(293)()(293)(9)tr s asDTTNKKT所以: (293)()/0.15中子温度利用 56 页（2-81）式计算： 2()10.46.46aMaMnMs sAkTAkT 其中，介质吸收截面在中子能量等于 1780.46JeV再利用“ ”律：/v()(.253)0.92aMak b1469/3)5nTK（若认为其与在 时的值相差不大，直接用 热中子数据.eV0.3e计
9、算： 53(03.4/1)2n这是一种近似结果）利用 57 页的（2-88）式 28(.25)90.18a m1aN(293)()(293)()(293)s sNNKKK 108/10.6.7)241ss mD01.423.247.63()asL13.如图 3-15 所示，在无限介质内有两个源强为 ，试求 和 点的中子通量密1Ss1P度和中子流密度。16.设有一强度为 的平行中子束入射到厚度为 的无限平板层上。求：21()Ims a（1）中子不遭受碰撞而穿过平板的概率;（2 ）平板内中子通量密度的分布;（3）中子最终扩散穿过平板的概率。解：（1） 0()/exp()tIa（2 ） 此情况相当于
10、一侧有强度为 的源，建立以该侧所在横坐标为 原点的x一维坐标系，则扩散方程为： 22(),dxxL边界条件：（1）. 0lim()JI（2）. xa方程的普遍解为： /()xLxAeC由边界条件（1）可得： /0001li()lili ()xLxLxxxd DJDeACII由边界条件（2）可得： /()1()lim 04646aLaLx xatr trdAeCeJ 2/ 2/3aLaLtrDA所以： 2/ 2/1aL aLDIICee/2/ 2/1()1aLaLDILIAee/ /2/ 2/() )1xLxLaaDIxeeD()/ ()/xLxLaaIL （3 ） 此问相当于求 处单位面积的泄
11、漏率与源强之比：X/ /1(2)()()()()xax xaaLaLDJJdIII ee / /4(2)(2)aLaLDee17.设有如图 3-16 所示的单位平板“燃料栅元” ，燃料厚度为 ,栅元厚度为 ，假定热2a2b中子在慢化剂内据黁分布源（源强为 ）出现。在栅元边界上的中子流为零（即假定S栅元之间没有中子的净转移） 。试求：（1）屏蔽因子 ，其定义为燃料表面上的中子通量密度与燃料内的平均中子通量密度Q之比；（2）中子被燃料吸收的份额。解：（1）以栅元几何中线对应的横坐标为原点，建立一维坐标系。在这样的对称的几何条件喜爱，对于所要解决的问题，我们只需要对 的区域进行讨论。0x燃料内的单能
12、中子扩散方程：22(),dxaL边界条件：（1） . 0lim()xJ（2） . S通解形式为： ()cosh(/)sinh(/)AxCx利用斐克定律： cosh()dAxJxDLL代入边界条件（1）： si()cos()0DC代入边界条件（2）： cosh()in()h()s(/)aaSACASALLaL所以：0011sinh(/)cosh()tan()cosh(/)coaaFdxVxSSLda cs(/)()t()tan/FSLQ（3 ） 把该问题理解为“燃料内中子吸收率/燃料和慢化剂内总的中子吸收率” ，设燃料和慢化剂的宏观吸收截面分别为 和 ，则有：FaM0 tan(/)tnh(/)(
13、)aF FFa a MMF adVdV LLbSb 回顾扩散长度的定义，可知： ，所以上式化2/FaD为： tan(/)t(/)nFMMa aLbLb（这里是将慢化剂中的通量视为处处相同，大小为 ，其在 处的流密度自S然为 0，但在 a 处情况特殊：如果认为其流密度也为 0，就会导致没有向燃料内的净流动、进而燃料内通量为 0 这一结论！所以对于这一极度简化的模型，应理解其求解的目的，不要严格追究每个细节。 ）21.在一无限均匀非增值介质内，每秒每单位体积均匀地产生 个中子，试求：S（1）介质内的中子通量密度分布；（2）如果 处插入一片无限大的薄吸收片（厚度为 ,宏观吸收截面为 ） ，证明0xt
14、a这时中子通量密度分布为 ()1(2/)xLaaeSxtD（提示：用源条件 ）0lim0)/xJt解：（1） 建立以无限介质内任一点为原点的坐标系（对此问题表达式比较简单） ，建立扩散方程：即：2aDS2aS边界条件：1. 0,2. ()Jr设存在连续函数 满足：（1）2（2）21aSDL可见，函数 满足方程 ，其通解形式：()rLexp(/)exp(/)rrLAC由条件（1）可知： ,0C由方程（2）可得： ()/a aSAS再有条件 2 可知： ，所以：（实际上，可直接由物理模型的特点看出通量处处相等这一结论，进而其梯度为 0）（2 ）此时须以吸收片中线上任一点为原点建立一维直角坐标系，想
15、考虑正半轴，建立扩散方程：即：2aDS2,0aSxD边界条件：i. ii. 0,0lim()()/2,axJtiii. li()xJ对于此“薄”吸收片，可以忽略其厚度内通量的畸变。参考上一问中间过程，可得通解形式： ()ep(/)ep(/)/aALCxS/LdDJx由于条件 ii 可得：0lim()()()22a ax a aDCt tSJ ACL D 由条件 iii 可得： 0所以： ()221aa atLSSAADDtL /() ()1xLxLaaa teSxetL 对于整个坐标轴，只须将式中坐标加上绝对值号，证毕。22.假设源强为 的无限平面源放置在无限平板介质内，源强两侧平板距离分别2
16、1()Scms为 和 （图 3-17） ，试求介质内的中子通量密度分布（提示：这是非对称问题，ab处的边界条件应为：）0x（1）中子通量密度连续；（2） 000li()()xxJS解：以源平面任一一点味原点建立一维直角坐标系，建立扩散方程：2112,L()()0xx边界条件： i. ; ii. ;12limli()xx000lim()()xxJSiii. ; iv. ;()a1b通解形式： 1122sinh/cosh(/),sinh(/)cosh(/)ALCLALCL由条件 i： （1 ）2由条件 ii: 1112200lim()limcs()si()cs()sin()x xdDxxxxD S
17、 （2 ）212SLSLA由条件 iii，iv:(3)1111sinh(/)cosh(/)cosh(/)sinh(/)aCaCaLAaL(4)22220bbbb联系（1）可得： tn/t/结合（2）可得： 2 2/tah(/)ta(/)1tanh()ta(/)SL SDALDbL1tn/t/b21tanh(/)t(/)ah()aSLCb所以： tn/si/t(/)tnh(/)cos(/)() ,0anSLbxxLxDb tanh(/)si(/)tanh(/)t(/)cosh(/)() ,0SLxLbLxxDb 23.在厚度为 的无限平板介质内有一均匀体积源，源强为 ，试证明其中子通2 31()
18、Sms量密度分布为（其中 为外推距离）dcosh(/)()1aSxLxd证明：以平板中线上任一点位原点建立一维直角坐标系，先考虑正半轴，建立扩散方程： 2aD即： ,0Sx边界条件：i. ii. iii. 0lim(),J()0ad参考题 21，可得通解形式： sinh/cosh(/aAxLCxLS()co()dDJxDL由条件 ii 可得： 0li()0x再由条件 iii 可得：()cosh()cosh()aadSSadCCdLL所以： s(/)()cosh()1cs( caaxxxdaL由于反曲余弦为偶函数，该解的形式对于整个坐标轴都是适用的。证毕。24. 设半径为 的均匀球体内，每秒每单位体积均匀产生 个中子，试求球体内的中子通RS量密度分布。解：以球心为原点建立球坐标系吗，建立扩散方程：即：2aDS2aD边界条件：i. ii. iii. 0,()0Rd2lim4()0xrJ通解： 由条件 iii: 200lim4()li411rLrLxxrJAeCeAC再由条件 ii：()exp()exp()0aARdCRdSRdLL()()aS所以： ()exp(/)e(/)1()cosh(/) 1aaRdSrLrSRdrLrRdr （此时： ）0lim()rJ
