1、固体物理学部分习题解答此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！ - 1 -固体物理学部分习题解答1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方 。解 由倒格子定义 2311ab3122ab1233ab体心立方格子原胞基矢 3(),(),()ijkijkijk倒格子基矢 23110(22aaabijijv20()()4ijkijkv()jka同理 3122()abi32()bij可见由 为基矢构成的格子为面心立方格子13,面心立方格子原胞基矢 123()/ajkij倒格子基矢 2311ab12()bijka同理 2()ijk 3ij可见由 为基矢构
2、成的格子为体心立方格子13,b1.4 证明倒格子原胞的体积为 ，其中 为正格子原胞体积03(2)v0证 倒格子基矢 2311ab32123123ab倒格子体积 *0123()v固体物理学部分习题解答此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！ - 2 -3*02312()()()vaa 3*0(2)v1.5 证明：倒格子矢量 垂直于密勒指数为 的晶面系。123Ghb123()h证： 3312,aaCAB容易证明 1230hG与晶面系 正交。123b123()h1.6 如果基矢 构成简单正交系,ac证明晶面族 的面间距为()hkl 221()()kldabc说明面指数简单的晶面，其
3、面密度较大，容易解理证 简单正交系 abc123,ijk倒格子基矢 2311a 1223ab 123ab123,bijkc倒格子矢量 Ghklbhijlkabc晶面族 的面间距()kld221()()面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大晶面上格点的密度越大，这样的晶面越容易解理1.9 指出立方晶格(111)面与(100)面，(111) 面与(110)面的交线的晶向解 (111)面与(100) 面的交线的 ABAB 平移，A 与 O 重合。B 点位矢 BRajk（111）与（100）面的交线的晶向 Aja晶向指数 01(111)面与(110)面的交线的 AB 将 AB 平移，A 与原点 O 重合
4、，B 点位矢固体物理学部分习题解答此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！ - 3 -BRaij(111)面与(110)面的交线的晶向 ABaij晶向指数 102.1证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为 .2ln证 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号） ，用 r 表示相邻离子间的距离，于是有(1)12.34jijrrr前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，i故对一边求和后要乘 2，马德隆常数为 34(1).nx当 X=
5、1 时，有 1.22n2.3 若一晶体的相互作用能可以表示为 ()mnurr求 1）平衡间距 2）结合能 W（单个原子的） 3）体弹性模量 4）若取0r，计算 值。2,.3,4mnnmeV,解 1）晶体内能 ()nNUrr平衡条件 0rd10mn10()nmr2) 单个原子的结合能 ()2Wur00()mnrur1)(mn3) 体弹性模量 02()VUK晶体的体积 A 为常数，N 为原胞数目3r晶体内能 ()2mn.2固体物理学部分习题解答此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！ - 4 -12()23mnNrAr12nUVN体弹性模量 02()K02200019mnmnVN
6、rr由平衡条件 01200()23nUA0mnr0220019mnVUNr体弹性模量 02()K00()2nUr0220019mnVN02200nVr（ ） 0mnr2009mnN0202()9VU0KUV4） 0mnr10()nmr(1)2mnW12W9510.8e01r192.V2.6用林纳德琼斯(LennardJones)势计算 Ne 在 bcc（球心立方）和 fcc（面心立方）固体物理学部分习题解答此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！ - 5 -结构中的结合能之比值解 126 1261()4(),()(4)()2nlururNAr26661001rAd22061(
7、).5/9.)/(0.5743bcbcffu2.7对于 ，从气体的测量得到 LennardJones 势参数为2H计算 结合成面心立方固体分子氢时的结合能（以 KJ/mol6501,.9JA2H单位） ，每个氢分子可当做球形来处理结合能的实验值为 0.751kJmo1，试与计算值比较解 以 为基团，组成 fcc 结构的晶体，如略去动能，分子间按 LennardJones 势相互作2H用，则晶体的总相互作用能为： 126.ij ijjUNPR6124.539;.38,ij ijj i16 2350,.,6.0/.ergANmol1262816.96.961/53452.5/.3Umolerg K
8、Jmol 将 R代 入 得 到 平 衡 时 的 晶 体 总 能 量 为。因此，计算得到的 晶体的结合能为 2.55KJmol，远大于实验观察值2H0.75lKJmo1对于 的晶体，量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正，2这正是造成理论和实验值之间巨大差别的原因3.1已知一维单原子链，其中第 个格波，在第 个格点引起的位移为，jn， 为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平sin(_)njjjjjatqj均能量为 ，具体计算每个原子的平方平均位移。kT解 任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即固体物理学部分习题解答此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考
9、。请勿抄袭！ - 6 -（1）sin()nnjjjjjatq2*2*nnjnjnjnj?由于 数目非常大为数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第 2 项与第一项nj相比是一小量，可以忽略不计。所以 22nnj由于 是时间 的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为njt（2）022 211si()Tjjjjjjatnqdta已知较高温度下的每个格波的能量为 kT， 的动能时间平均值为nj0 022 201 1si()4LT Tnjjnj jjjjjdwaxtLtnaqdtwLa 其中 L 是原子链的长度， 使质量密度， 为周期。0所以 （3）214njjTwaKT因此 将此式
10、代入（2）式有 22njjPL所以每个原子的平均位移为 22221nnjj jjKTPL3.2 讨论 N 个原胞的一维双原子链( 相邻原子间距为 a)，其 2N 个格波解，当 M=m 时与一维单原子链结果一一对应 解 质量为 M 的原子位于 2n-1， 2n+1， 2n+3 。 质量为 m 的原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 。 牛顿运动方程 22121()nnnmM固体物理学部分习题解答此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！ - 7 - 体系有 N 个原胞，有 2N 个独立的方程方程 的解22121()nnnmM (2)211itnaqnAeBA , B 有 非零解
11、22cos0csmaqM12 2()41sin() 两种不同的格波的色散关系12 2()si()maqM12 2()41in()对应一个 q 有两支格波：一支声学波和一支光学波 总的格波数目为 2N M=m 4cos2aqmin长波极限情况下 0qsi()2qa(2)qm与一维单原子晶格格波的色散关系一致3.3考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间力常数交错的等于 c 和 10 c令两种原子质量相同，且最近邻间距为 求在 和 处的 大略地画出色散关2a0ka()k系本题模拟双原子分子晶体，如 。H解 a/2 C 10c1su1svsusv1su1sv2()(cs)cosBaq固体物理学部分
12、习题解答此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！ - 8 -，210sssduMCVuVut2 10,ssst 将 代入上式有, .iKait isKaits sueVe 2101,ikaiMCCuVe是 U，v 的线性齐次方程组，存在非零解的条件为=0，解出221,(0)()1iKaiKaCeC242()00.Mcona 当 K=0 时， 当 K= 时/2/,0,C2,/CM与 的关系如下图所示这是一个双原子(例如 )晶体2K2H3.6 计算一维单原子链的频率分布函数 ()解 设单原子链长度 LNa波矢取值 每个波矢的宽度2qh2Na状态密度 dq 间隔内的状态数 dq 对
13、应 取值相同， 间隔内的状态数目,d()2Nadq一维单原子链色散关系 224sin()aqm令 04m0i()固体物理学部分习题解答此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！ - 9 -两边微分得到 0cos()2aqdd0cos()12aq202dd20dqa代入 ()N201一维单原子链的频率分布函数 20()N3.7设三维晶格的光学振动在 q=0 附近的长波极限有 20()qA求证：频率分布函数为 ;1/2023/(),4VfA. 0解 11222 200 0(),qf Aq时 ，依据 ，并带入上边结果有3(),()q qVdsAf 1/2 1/20 033 22 3/
14、014()2qVds Vf A所以22 ,BxyKmama点 能 量 /BA3.8有 N 个相同原子组成的面积为 S 的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比于 。2T证明：在 到 间的独立振动模式对应于平面中半径 到 间圆环的面积kdnd，且 则2n253Lsnkdkv即3 32 20/ /2 2 203111m D DB B xB BkT kTdsTskTsd dEEveveve ,()vsTC3时 ，3.9写出量子谐振子系统的自由能，证明在经典极限下，自由能为固体物理学部分习题解答此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！ - 10 -0qBnqBFUk
15、T证明:量子谐振子的自由能为 12qBqkTBnqBFUkTe经典极限意味着（温度较高） Tg?应用 21.xe所以2.qBqqkTBkT因此 0112qqqnBnBFUUkTk其中 0q3.10 设晶体中每个振子的零点振动能为 ，使用德拜模型求晶体的零点振动能。12证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故 T=0K 时振动能 就是各0E振动模零点能之和。 和 代入00012mEgdE将 23sVgv积分有 ，由于40239168mmsVNv098mBDBDkNk得一股晶体德拜温度为 ，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热0K能相比拟3.11一维复式格子 241
16、51.67,.50/MmgNmm4(.510/),dyncm即求（1） ，光学波 ，声学波 。0axinaxA（2） ，相应声子能量是多少电子伏。（3） ，在 300k 时的平均声子数。（4） ，与 相对应的电磁波波长在什么波段。0max解 （1） ，413ax 221.50/.0,67AdyncmsM固体物理学部分习题解答此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！ - 11 -42413max 24221.5051.670/6.70.oMdyncms 413ax 2./.951670Adyncms（2）132ma16x 132in.8704.95o seV（3） max ma
17、xax ax/ /10.87, 0.1A OB BAkT kTnee mini/1.26OBkT（4） 28.c4.1根据 状态简并微扰结果，求出与 及 相应的波函数 及 。说明它们kaE都代表驻波，并比较两个电子云分布（即 ）说明能隙的来源(假设 = )。2nV*解 令 ， ，简并微扰波函数为k00()(kkAxB0*()0nEAVB取 nk E带入上式，其中 0()nEV(x)0, ,从上式得到 B= -A,于是nV=00()nixixakkAAxeL 2sinAxaL取 ， E0()nEV,nB得 到=00ixixakkxeL2cosnxaL由教材可知， 及 均为驻波 在驻波状态下，电子
18、的平均速度 为零产 ()k生驻波因为电子波矢 时，电子波的波长 ，恰好满足布拉格发射条件，nka2kn固体物理学部分习题解答此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！ - 12 -这时电子波发生全反射，并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入能量。4.2写出一维近自由电子近似，第 n 个能带(n=1，2，3)中，简约波数 的 0 级波函2ka数。解：2221()* 411()imxiximximxikxkaaakeeeeLLL 第一能带： *20,()2ixakma第二能带：2 3*21,1,()x ixa akbmxeLii则 即 （ e=）第三能带：25
19、* 22,()ixiixaakcmxeaL 即4.3 电子在周期场中的势能221(),bxnbn当0 ， ()Vx xab当 (-1)+其中 a4b， 是常数(1) 试画出此势能曲线，求其平均值.(2) 用近自由电子近似模型求出晶体的第一个及第二个带隙宽度解：(I)题设势能曲线如下图所示固体物理学部分习题解答此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！ - 13 -(2)势能的平均值：由图可见， 是个以 为周期的周期函数，所以()Vxa11()()()abLbVxdVxd题设 ，故积分上限应为 ，但由于在 区间内 ，故只需4ab3,3b()0Vx在 区间内积分这时， ，于是 ,0
20、n。222 321 1()() 6bb bbmmVxdxdxmaaa（3） ，势能在-2b,2b 区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数 20 0 01()cos,()cos()cos2 2bbmmxVxVxdxVxdb1 120,1()bg gmEEb第 一 个 禁 带 宽 度 以 代 入 上 式利用积分公式 得22 3cossincossinuuduu第二个禁带宽度 代入上式2316mbg 2,2gV以 代 入 上 式 ,再次利用积分公式有220()cosbg xEdb 2mb2gE4.4 用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格 s 态原子能级相对应的能带 函数()sEk解 面心立方晶格
21、 s 态原子能级相对应的能带函数 0()()ss ikRss sRNeartEkJJs 原子态波函数具有球对称性 * 01()()si iJRUVd 01()ssikRsRNeartkJ 任选取一个格点为原点 最近邻格点有 12 个固体物理学部分习题解答此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！ - 14 -12 个最邻近格点的位置 ,02,02,aa,2,2,aa,02,02,aa02saRijk 01()ssikRssRNeartEkJ()(0)2()2cosin(cosin)2xyzsxyaikjkijkikai yyxe ak 类似的表示共有 12 项 归并化简后得到面
22、心立方 s 态原子能级相对应的能带01()4coscocos)222sy yxxzzEkJkaka对于体心立方格子 任选取一个格点为原点 有 8 个最邻近格点 最近邻格点的位置,22,22,aaaa,22,22,aaaa2saRijk 01()ssikRssRNeartEkJ固体物理学部分习题解答此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！ - 15 -()()()22cosincosincosin)2xyz xyzs aaikjkijkikikRyzzeeka 类似的表示共有 8 项归并化简后得到体心立方 s 态原子能级相对应的能带01()c(/2)s(/)cs(/)ssxyz
23、EkJkaka4.7有一一维单原子链，间距为 a，总长度为 Na。（1）用紧束缚近似求出原子 s 态能级对应的能带 E(k)函数。（2）求出其能态密度函数的表达式。（3）如果每个原子 s 态只有一个电子，求等于 T=0K 的费米能级 及 处的能态密度。0FE解： 010101(1),()2cos2cosikais sEkJeJkaJka0sikRsp (2) , 112()2sinsiLdNaNNEEJkJka(3), 0 00()22Fk FFk0 01 11cos,()sinF sFNEJaEJJa4.8 (1)证明一个自由简单晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一边中点大 2
24、 倍(2)对于一个简单立力晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区面心上大多少？(3)(2) 的结果对于二价金属的电导率可能会产生什么影响 7解 （1）二维简单正方晶格的晶格常数为 a，倒格子晶格基矢 2,AiBja第一布里渊区如图所示a0 a固体物理学部分习题解答此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！ - 16 -22 , .,BxyziKijaaKm A区 边 中 点 的 波 矢 为 角 顶 点 的 波 矢 为自 由 电 子 能 量 222,Axam点 能 量2;Ama点 能 量 222222 3,BxyzKmaama点 能 量所以 /3A(3)如果二价金属具有
25、简单立方品格结构，布里渊区如图 72 所示根据自由电子理论，自由电子的能量为 ，FerM 面应为球面由(2)可知，22xyzKm内切于 4 点的内切球的体积 ，于是在 K 空间中，内切球内能容纳的电子数34a为 其中3321.07VNa 3VNa二价金属每个原子可以提供 2 个自由电子，内切球内只能装下每原子 1.047 个电子，余下的 0.953 个电子可填入其它状态中如果布里渊区边界上存在大的能量间隙，则余下的电子只能填满第一区内余下的所有状态(包括 B 点) 这样，晶体将只有绝缘体性质然而由(b)可知，B 点的能员比 A 点高很多，从能量上看，这种电子排列是不利的事实上，对于二价金属，布
26、里渊区边界上的能隙很小，对于三维晶体，可出现一区、二区能带重迭这样，处于第一区角顶附近的高能态的电子可以“流向”第二区中的能量较低的状态，并形成横跨一、二区的球形 Ferm 面因此，一区中有空态存在，而二区中有电子存在，从而具有导电功能实际上，多数的二价金届具有六角固体物理学部分习题解答此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！ - 17 -密堆和面心立方结构，能带出现重达，所以可以导电4.9 半金属交叠的能带 2111222002(),.8)(),.6kEkmm其中 为能带 1 的带顶， 为能带 2 的带底1(0)Ek120().1EkeV由于能带的交叠，能带 1 中的部分电
27、子转移到能带 2 中，而在能带 1 中形成空穴，讨论 T=0K 的费密能级解 半金属的能带 1 和能带 2 1222200()()kEkm能带 1 的能态密度3()2kVdSNEE1km112(0)/kEEkm13()2kVdSNEE213114()()/VNk111212()0()EE 同理能带 2 的能态密度2 2103()()VmNk如果不发生能带重合，电子刚好填满一个能带由于能带交叠，能带 1 中的电子填充到能带 2 中，满足01(0) 2()0FFkEEdNd固体物理学部分习题解答此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！ - 18 -1(0) 3121)(0)FEm
28、VEkd02()03220()()FkEmVEkd01(0) 2()3/23/23/ 3/11(FF kE E0220)F012()FmkE12.8,0.6mm120().1keV020().75keV4.12设有二维正方晶格，晶体势为 2,4coss.xyUxya用近自由电子近似的微扰论，近似求出布里渊区顶角 处的能隙,解：以 表示位置矢量的单位矢量，以 表示倒易矢量的单位矢量，则有，,ij 12,b12 12, ,rxyGbgga为 整 数 。晶体势能 ,4coss.xyU222211ixixiyiyiGGreeUe。这样基本方程 1 020.G其 中 ， 而 其 他 势 能 傅 氏 系
29、数()kGCKU变 为111111110GGGCKUCK求布里渊区角顶 ，即 处的能隙，可利用双项平面波近,a(,)2k似来处理。()()(iKr iKGrCee当 时依次有11,22G而其他的 ，1,21KG固体物理学部分习题解答此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！ - 19 -，所以在双项平面波近似下上式中只有1KG1, ;22CCG121012GUC，因为12120GGuu2211221Gma22()0,UUm由 行 列 式 有 解 得 =.u+所 以 在 （ ,-） 处 的 能 隙 为a2)简单立方晶格的晶格常数为a，倒格子基矢为 22,AiBjCkaa第一布里渊
30、区如图72所示5.1 设一维晶体的电子能带可以写成271()(cos2)8Ekkm其中 a 为晶格常数，计算1） 能带的宽度2） 电子在波矢 k 的状态时的速度3） 能带底部和能带顶部电子的有效质量解 1) 能带的宽度的计算271()(cos2)8Ekam能带底部 0k0能带顶部 a2()a能带宽度 ()0E2m2）电子在波矢 k 的状态时的速度固体物理学部分习题解答此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！ - 20 -271()(cos2)8Ekkam电子的速度 )dEv1()(sini24kka3) 能带底部和能带顶部电子的有效质量271()(cos2)8Ekkam电子的
31、有效质量2*/mcos(1/2)sa能带底部 有效质量0k*能带顶部 有效质量a35.5 设电子等能面为椭球2231()kkEm外加磁场 B 相对于椭球主轴方向余弦为 ,1） 写出电子的准经典运动方程2） 证明电子绕磁场回转频率为 。其中*qBm*1232m解 恒定磁场中电子运动的基本方程 ()dkvt电子的速度 1()()kvE电子能量 2231km123()kEkk2312()km电子的速度 312()kvk磁感应强度 123)B固体物理学部分习题解答此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！ - 21 -电子运动方程 ()dkqvBt应用关系 123123123()()k
32、kdqBktm 电子运动方程312213321()()kkdtqBmkkdt 312213321()0()0dqBtmkdqt令 000123,itititeee2321321()0()kkqBdtmkkqdt 00123023100312Bikkmqikk有非零解，系数行列式为零00123,03200310312Bikkmqikk23120qBimiqi22231213()()() 0qBBimm无意义0旋转频率 2223113q2213mB *qBm固体物理学部分习题解答此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！ - 22 -其中 1232*m6.2 在低温下金属钾的摩尔热
33、容量的实验结果可写成 32.08.57/eCTmJolK如果一个摩尔的金属钾有 个电子，求钾的费米温度23610NF解 一摩尔的电子对热容的贡献 00()BVFkCE与实验结果比较 32.8.57/eTmJolK0()BFkN32.081/Jl费米温度203964.81BFTK6.3 若将银看成具有球形费米面的单价金属，计算以下各量1) 费密能量和费密温度2） 费米球半径3） 费米速度4） 费米球面的横截面积5） 在室温以及低温时电子的平均自由程解 1）费密能量 202/3()FEnm210/3()Fkn6293314.5.58/789.0AnNmkgJs0198.25.FEeV费密温度 46
34、.0BTKk2) 费密球半径02()FEm002FFE0198.J010.km固体物理学部分习题解答此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！ - 23 -3) 费密速度 0Fkvm61.380vms4) 费密球面的横截面积 是 与 z 轴间夹角22(sin)inFFSkFk021/3()Fkn35) 在室温以及低温时电子的平均自由程电导率 20()FqEm驰豫时间 02()FEn平均自由程 0()Flv2Fvlq2kn0 K 到室温之间的费密半径变化很小 010.Fm平均自由程 将 代入02Fklnq1923401062950.68/38FTKCJscm8295.41.4TK
35、lmn63026.4 设 N 个电子组成简并电子气，体积为 V，证明 T=0K 时1） 每个电子的平均能量 05FUE2） 自由电子气的压强满足 23pN解 自由电子的能态密度 /122()4()mVhT=0 K，费米分布函数0()FEf电子总数 0()NEfd固体物理学部分习题解答此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！ - 24 -电子平均能量 03/210()4FENdUmVh 035FUE将电子气看作是理想气体，压强 pn23NpV3p7.1InSb 电子有效质量 ，介电常数 ，晶格常数 。试计0.15em186.49aA算；(1)施主的电离能；(2) 基态的轨道半径；(3) 施主均匀分布，相邻杂质原子的轨道之间发生交叠时，掺有的施主杂质浓度应高于多少？解：（1）由于施主电离能 是氢原子电离能 的DEiE20*m倍 ，420*.143.6().591()7)iDmEeVeV（2） ，2 2800 .2()6.30().1()*4aaAme （3） ，如果施主的电子与类氢基态轨道发生重叠，则均匀分布于 中施主杂质浓度InSb就一定满足DN33 20831(2),()4.9()26.10)DNa
