1、原 子物 理 学 习 题 解 答刘 富义 编临沂 师 范学 院 物理 系理论 物 理教 研 室第一 章 原子 的 基本 状况1.1 若卢 瑟福 散射 用的 粒子 是放 射性 物质 镭 C 放射 的， 其动 能为 7.68 106 电子 伏特。 散射 物质 是原 子序 数 Z 79 的金 箔。 试问 散射 角 150 所对 应的 瞄准 距离 b多大 ？解： 根据 卢瑟 福散 射公 式：M v 2 K c o t 4 0 b 4 0 b2 Z e 2 Z e 22得到 ：Z e2ctg 7 9 (1 .6 0 1 01 9 ) 2 ctg 1 5 0 1 5b 2 2 3 .9 7 1 0 ( 4
2、 8 .8 5 1 0 1 2 ) (7 .6 8 1 06 1 0 1 9 ) 米4 K0 式中 K 1 Mv 2 是 粒子 的功 能。 21.2 已 知 散 射 角 为 的 粒子 与散 射核 的最 短距 离为2 Z e 21 1r m ( 4 ) ( 1 ) ，试 问上 题 粒 子 与散 射的 金原 子核M v 2 s i n 20之间 的最 短距 离 rm 多大 ？解：将 1.1 题中 各量 代入 rm 的表 达式 ，得 ：1 2 Z e2 1 (1 rm i n ( 4 Mv2) )s i n 0 2 1 9 24 7 9 (1 .6 0 1 0 ) 1 9 1 0 9 (1 )7 .
3、6 8 1 0 6 1 .6 0 1 0 1 9 sin 7 5 3 .0 2 1 0 1 4 米1.3 若用 动能为 1 兆电 子 伏 特的 质子 射向 金箔 。 问 质 子 与金 箔。 问 质子 与金 箔原 子核 可 能达 到的 最小 距离 多大 ？又 问如 果用 同样 能量 的氘 核（ 氘核 带一 个 e电荷 而质 量是 质子 的 两倍 ，是 氢的 一种 同位 素的 原子 核） 代替 质子 ，其 与金 箔原 子核 的最 小距 离多 大？解： 当入 射粒 子与 靶核 对心 碰 撞 时， 散射 角为 180 。 当 入射 粒子 的动 能全 部转 化为 两粒子 间的 势能 时， 两粒 子间 的
4、作 用距 离最 小。 根据 上面 的分 析可 得：221 Ze Z eM v 2 K ，故有 ： r m i np2 4 0 r m i n 4 0 K p7 9 (1 . 6 0 1 0 1 9 ) 2 1 . 1 4 1 0 1 3 米 9 1 0 9 1 0 6 1 . 6 0 1 0 1 9由上 式看 出： rmin 与入 射粒 子 的 质量 无关 ， 所 以 当用 相同 能量 质量 和相 同电 量得 到核 代替质 子时 ，其 与靶 核的 作用 的最 小距 离仍 为 1.14 1013 米。1.4 钋放 射的 一种 粒子 的速 度为 1.597 107 米 /秒， 正面 垂直 入射 于
5、厚 度为 107 米 、密度 为 1.932 104 公斤 / 米 3 的金 箔。 试求 所有 散射 在 90 的 粒子 占全 部入 射粒 子数的百 分比 。已 知金 的原 子量 为 197 。解： 散射 角在 A d 之 间 的 粒 子 数 dn与 入 射 到 箔 上 的 总 粒子数 n 的比 是：d n N td n其中 单位 体积 中的 金原 子数 ： N / mAu N0 / AAudn dn nNt d而散 射角 大于 900 的粒 子数 为： 2d n N t d 所以 有： n2c o s2 Ze 2 N 1 2 d) 2 ( ) 2 1 8 0 0 t (9 0 2 s i n
6、 3 AA u 4 0 M u2cos d sin I 180 2 d 2 180 2 1等式 右边 的积 分： 90 90 sin 3 sin 32 2故 2d n N0 1 ) 2 ( 2 Z e ) 2 t (Mu2n A 4 Au 0 6 4 8 . 5 1 0 8 . 5 1 0 00即速 度为 1.597 107 米 / 秒 的 粒子 在金 箔上 散射 ，散 射角 大于 90 以上 的粒 子数 大约 是4 08.5 10 。01.5 粒 子 散射 实验 的数 据在 散射 角很 小 （ 15） 时与 理论 值差 得较 远， 时什 么原因？答 ： 粒 子 散 射 的 理 论 值 是 在
7、 “一 次 散 射 “的 假 定 下 得 出 的 。 而 粒子 通过 金属 箔， 经 过好 多 原 子 核 的 附 近 ， 实 际 上 经 过 多 次 散 射 。 至 于 实 际 观 察 到 较 小 的 角， 那 是 多次 小角 散 射合成 的结 果。 既 然都 是小 角散 射， 哪 一个 也不 能忽 略， 一 次散 射的 理论 就不 适用 。 所 以 ， 粒子散 射的 实验 数据 在散 射角 很小 时与 理论 值差 得较 远。1.6 已知 粒子 质量 比电 子质 量大 7300 倍 。 试 利 用 中 性 粒 子 碰 撞 来 证 明 ： 粒子 散射 “受 电子 的影 响是 微不 足道 的 ”
8、。 证 明 ： 设 碰 撞 前 、 后 粒 子 与 电 子 的 速 度 分 别 为 ： v , v, 0, v 。 根 据 动量 守恒 定律 ， 得 ：e Mv Mv mve m 1由此 得： v (1)v ve ve M 7300又根 据能 量守 恒定 律， 得： 1 1 2 1 22Mv Mv mv e2 2 22 m 2 （ 2）2 v v veM将（ 1）式 代入 （ 2）式 ，得 ： v 2 7300 (v v ) 2v2 整理 ，得 ： v2 (7300 1) v 2 (7300 1) 2 7300 v v cos 0 7300 1 上式可写为： 7300（ v v ) 2 0 v
9、 v 0 即 粒子 散射 “受电 子的 影响 是微 不足 道的 ”。1.7 能量为 3.5 兆电 子伏 特的 细 粒子 束射 到单 位面 积上 质量 为 1.05 10 2 公斤 / 米 2的银 箔上 ， 粒子 与银 箔表 面成 60 角。 在离 L=0.12 米处 放一 窗口 面积 为 6.0 10 5 米 2的 计 数 器 。 测 得 散 射 进 此 窗 口 的 粒 子 是 全 部 入 射 粒 子 的 百 万分之 29。若 已知 银的 原子 量为 107.9。试 求银 的核 电荷数 Z。解： 设 靶 厚度 为 t 。 非 垂 直入 射时 引起 粒子 在靶 物质 中通 过的 距离 不再 是靶
10、 物质 的厚20度 t ，而 是 t t / sin 60 ，如图 1-1 所示 。因为 散射 到 与 d 之间 d 立体 角内 的粒 子数 dn 与总 入射 粒子数 n 的比 为：60d n t, N td (1)n而 d 为：t60图 1.12 d 1) 2 ( ze ) 2d ( （2）2sin 4 4 0 Mv 2把（ 2）式 代入 （ 1）式 ，得 ：2 ddn Nt ( 1 ) 2 ( ze ) 2 （3 ）2sin 4 40 Mvn 2式中 立体 角元 d ds/ L2 ,t t / sin 600 2t / 3, 200N 为原 子密 度。 Nt 为单 位面 上的 原子 数，
11、Nt / m (A / N ) 1 ，其 中 是单 位Ag Ag 0面积 式上 的质 量； m Ag 是银 原 子 的质 量； AAg 是银 原子 的原 子量 ； N0 是 阿 佛 加 德 罗 常 数 。将各 量代 入（ 3）式 ，得 ：2dn 2 N 0 1 ze d) 2 ( ) 2 (2 4 n A g 4 0 Mv3 sinA2由此 ，得 ： Z=471.8 设想 铅（ Z=82）原 子的 正电 荷不 是集 中在 很小 的核 上， 而是 均匀 分布 在半 径约 为1010 米的 球形 原子 内， 如果 有能 量为 106 电子 伏特 的 粒子 射向 这样 一个 “原子 ”，试 通过计算
12、 论证 这样 的 粒子 不可 能被 具有 上述 设想 结构 的原 子 产 生散 射角 大于 900 的 散 射 。 这 个结论 与卢 瑟福 实验 结果 差的 很远 ， 这 说 明原 子的 汤姆 逊模 型是 不能 成立 的 （ 原 子中 电子 的影 响 可 以 忽 略 ） 。解 ： 设 粒 子 和 铅 原 子 对 心 碰 撞 ， 则 粒子 到达 原子 边 界 而不 进入 原子 内部 时的 能量 有 下式 决定 ：1 Mv2 2Ze 2 / 4 R 3.78 10 16 焦耳 2.36 103电子伏特02由此 可见 ， 具 有 106 电子 伏特 能量 的 粒子 能够 很容 易的 穿过 铅原 子球
13、 。 粒子 在到 达原 子表面 和原 子内 部时 ，所 受原 子中 正电 荷的 排斥 力不 同， 它们 分别 为：F 2Ze 2 / 4 R2 和 F 2Ze 2 r/ 4 R 3 。 可 见 ， 原 子 表面 处 粒子 所受 的斥 力最 大， 越0 0靠近 原子 的中 心 粒子 所受 的斥 力越 小， 而且 瞄准 距离 越小 ，使 粒子 发生 散射 最强 的垂直入 射方 向的 分力 越小 。 我 们 考虑 粒子 散射 最强 的情 形。 设 粒子 擦原 子表 面而 过。 此 时受力为 F 2Ze 2 / 4 R2 。可 以认 为 粒子 只在 原子 大小 的范 围内 受到 原子 中正 电荷 的作
14、0用， 即 作 用距 离为 原子 的直径 D。 并 且 在作 用范围 D 之内 ， 力 的 方向 始终 与入 射方 向垂 直 ，大小 不变 。这 是一 种受 力最 大的 情形 。根据 上述 分析 ，力 的作 用时 间为 t=D/v, 粒 子 的 动 能为 1 Mv 2 K ，因 此，2v 2K / M ，所 以， t D/ v D M / 2Kt根据 动量 定理 ： Fdt p p 0 Mv 00 t t而 0 Fdt 2Ze / 40 R 0 dt 2Ze t/ 40 R2 2 2 22 2所以 有： 2Ze t/ 40 R Mv 由此 可得 ： v 2Ze 2t/ 4 R2 M 0 粒子
15、所 受 的平 行于 入射 方向 的合 力近 似为 0，入 射方 向 上 速度 不变 。据 此， 有：tg v 2Ze 2t/ 4 R2 Mv 2Ze 2 D/ 4 R2 Mv20 0v 2.4 10 3这时 很小，因此 tg 2.4 10 3 弧度，大约是 8.2。这就 是说 ， 按 题中 假设 ， 能 量为 1 兆电 子伏 特的 粒子 被铅 原子 散射 ， 不 可能 产生 散 射 角 900 的散 射。 但是 在卢 瑟福 的原 子有 核模 型的 情况 下， 当 粒子 无限 靠近 原子 核时 ，会受 到原 子核 的无 限大 的排 斥力 ， 所 以 可以 产生 900 的散 射， 甚 至 会产
16、生 1800 的散射， 这与 实验 相符 合。 因此 ，原 子的 汤姆 逊模 型是 不成 立的 。第二章 原子的能级和辐射2.1 试计 算氢 原子 的第 一玻 尔轨 道上 电子 绕核 转动 的频 率、 线速 度和 加速 度。 解： 电子 在第 一玻 尔轨 道上 即年 n=1。根 据量 子化 条件 ，hp mvr n 2 v nh h可得 ：频 率 2 22a1 2ma1 2ma1 6.58 1015 赫兹速度 ： v 2a1 h/ ma1 2.188 106 米 /秒2 2 22 2/ r v / a1 9.046 10 米 / 秒加速 度： w v2.2 试由 氢原 子的 里德 伯常 数计
17、算基 态氢 原子 的电 离电 势和 第一 激发 电势 。2解： 电离 能为 Ei E E1 ，把 氢原 子的 能级 公式 E n Rhc/ n 代入 ，得 ：1 1Ei RHhc ( 21 ) Rhc=13.60 电子 伏 特 。电离 电势 ： V Ei 13.60 伏特i e R hc ( 1 1 ) 3 Rhc 3 13.60 10.20 电子 伏特第一 激发 能： Ei H 12 22 4 4 E1 10.20 伏特第一 激发 电势 ： V1 e2.3 用能 量为 12.5 电子 伏特 的 电 子去 激发 基态 氢原 子， 问 受 激发 的氢 原子 向低 能基 跃 迁时， 会出 现那 些
18、波 长的 光谱 线？解： 把氢 原子 有基 态激 发到你 n=2,3,4等能 级上 去 所 需 要 的能 量是 ：( 1 1 )E hcR 其中 hcR 13.6 电子 伏特H H12 n2E 13.6 (1 1 ) 10.2 电子 伏特1 2 2E 13.6 (1 1 ) 12.1 电子 伏特2 32E 13.6 (1 1 ) 12.8 电 子 伏特3 4 2其中 E1和 E 2 小于 12.5 电子 伏特 ， E 3 大于 12.5 电子 伏特 。 可 见 ， 具有 12.5 电子 伏特 能量 的电 子 不 足 以 把 基 态 氢 原 子 激 发 到 n 4 的 能 级 上 去 ， 所 以
19、 只 能 出 现 n 3 的 能 级 间 的 跃 迁 。跃迁 时可 能发 出的 光谱 线的 波长 为：1 1 1 RH ( ) 5RH / 362 2 3211 6565 A1 1 1 3 RH ( ) RH12 2 2 42 2 1215 A1 1 1 8 RH ( ) RH12 32 93 3 1025 A2.4 试估 算一 次电 离的 氦离 子 H 、 二 次电 离的 锂离 子 L 的第 一玻 尔轨 道半 径、 电 离电e i势、 第一 激发 电势 和赖 曼系 第一 条谱 线波 长分 别与 氢原 子的 上述 物理 量之 比值 。解： 在 估算 时， 不 考虑 原子 核 的 运动 所产 生
20、的 影响 ， 即 把 原 子 核视 为不 动， 这 样 简单 些 。氢原 子和 类氢 离子 的轨 道半 径：a)4 h 2 n 2 n20r a1 , n 1,2,3 2 24 mZe Z 0.529177 10 10 米，是氢原子的玻尔第一轨道半径；240 h其中 a 1 42 me 2Z是核电荷数，对于 H, Z 1；对于 H, Z 2；对 于 Li ， Z 3； r因此，玻尔第一轨道半径之比是 rHe ZH 1 , Li ZH 1r Z 2 r Z 3H H He Li氢和 类氢 离子 的能 量公 式：b)2 4 2 22 me Z E Z , n 1,2,3 E 1(4 ) 2 n 2
21、 h 2 n202 42 me其中 E 13.6电子伏特，是氢原子的 基态能量。1 (4 ) 2 h 20电离 能之 比：0 2EHe Z He 4 ,Z 20 E H H2 Z Li0 ELi 9Z 20 E H H第一 激发 能之 比：c)22 2 2E1 E12 1E He E He 22 12 4E2 E 1 12 12H H E E1 2 2 1 1232 32E1 E12 1E Li E Li 2 2 12 9E2 E 1 12 12H H E E1 2 2 1 12氢原 子和 类氢 离子 的广 义巴 耳末 公式 ：d)1 1 ) ， nn11, 2 , 3 v Z R ( 2(n
22、 1),(n 2) 2 2 2 1 1n 1 n 222 me 4其中 R 是里 德伯 常数 。(4 ) 2 h 30氢原 子赖 曼系 第一 条谱 线的 波数 为：( 1 1 ) 1Hv1 R 2 2 H1 2 相应 地， 对类 氢离 子有 ： 22 R ( 1 1 ) 1v He1 He12 2211 32 R ( 1 1 ) v Li1 12 22 Li1因此 ，He Li 1 1 , 1 1 H H1 4 1 92.5 试问 二次 电离 的锂 离子 L 从其 第一 激发 态向 基态 跃迁 时发 出的 光子 ，是 否有 可能i使处 于基 态的 一次 电离 的氦 粒子 H 的电 子电 离掉
23、？e解： L 由第 一激 发态 向基 态跃 迁时 发出 的光 子的 能量 为：iH 的 电 离能 量为 ：e1 1 4hcRHe ( ) 4hcRHev He 21 hvLi 27RLi 27 1 m/ MHe hvHe 16RHe 16 1 m/ MLi由于 MHe MLi , 所以 1 m/ MHe 1 m/ MLi ， hv He ，所 以能 将 He 的电 子电 离掉 。从而 有 hv Li 2.6 氢与 其同 位素 氘（ 质量 数为 2）混 在同 一放 电管 中， 摄下 两种 原子 的光 谱线 。试 问其巴 耳末 系的 第一 条（ H ）光 谱线 之间 的波 长差 有多 大？ 已知
24、氢的 里德 伯常 数R 1.0967758 107 米 1 ，氘 的里 德伯 常数 R 1.0970742 107 米 1 。H D1 ( 1 1 ) ， 36 / 5R解： RH H H2 2 32H1 ( 1 1 ) ， 36 / 5R RD D D2 2 32D36 1 1 H D ( )5 RH RD 1.79 A2.7 已知 一对 正负 电子 绕其 共同 的质 心转 动会 暂时 形成 类似 于氢 原子 结构 的“正电 子素” 。试 计算 “正电 子素 ”由第 一激 发态 向基 态跃 迁发 射光 谱 的 波长 为多 少 A？1解： R ( 1 1 ) R 1 3 3 Ree 12 2
25、2 m 4 81 m8 1 米 2430 A 3R 3 109737312.8 试证 明氢 原子 中的 电子从 n+1 轨道 跃迁到 n 轨道 ， 发 射 光子 的频 率 n 。 当 n1 时光子 频率 即为 电子 绕第 n 玻尔 轨道 转动 的频 率。证明 ：在 氢原 子中 电子从 n+1 轨道 跃迁到 n 轨道 所发 光子 的波 数为 ： R 1 1 1v n n 2 (n 1) 2n2n 1频率 为： v c Rc 1 1 Rcn n 2 (n 1) 2 n2 (n 1) 2当 n1 时， 有 (2n 1) / n 2 (n 1) 2 2n/ n 4 2 / n 3 ，所 以在 n1 时
26、， 氢原 子中3电子从 n+1 轨道 跃迁到 n 轨道 所发 光子 的频 率为 ： v n 2Rc/ n 。设电 子在第 n 轨 道 上的 转动 频率 为 f n ，则v mvr P 2Rcf n 2r 2mr2 2mr2 n 3因此 ，在 n1 时， 有 vn f n由上 可见 ， 当 n1 时， 请 原 子中 电子 跃迁 所发 出的 光子 的频 率即 等于 电子 绕第 n 玻尔 轨道转动 的频 率。 这说 明，在 n 很大 时， 玻尔 理论 过渡 到经 典理 论， 这就 是对 应原 理。2.9 Li 原子 序数 Z=3，其 光谱 的主 线系 可用 下式 表示 ：R Rv 。已 知锂 原子
27、电离 成 Li 离 子 需要 203.44 电子 伏特 的(1 0.5951) 2 (n 0.0401) 2功。 问如 把 Li 离子 电离 成 Li 离子 ，需 要多 少电 子伏 特 的 功？解： 与 氢 光谱 类似 ， 碱 金 属光 谱亦 是单 电子 原子 光谱 。 锂 光 谱的 主线 系是 锂原 子的 价 电子由 高的 p 能级 向基 态跃 迁而 产生 的。 一 次 电离 能对 应于 主线 系的 系限 能量 ， 所 以 Li 离 子电离 成 Li 离子 时， 有R hcRhc Rhc E 5.35电子伏特1 (1 0.5951) 2 (1 0.5951) 2Li 是类 氢离 子， 可用
28、氢原 子 的 能量 公式 ，因 此 Li Li 时， 电离 能 E 为： 32 Z Rhc Z2RR hc 122.4电子伏特 。E3 12设 Li Li 的电 离能 为 E 。 而 Li Li 需要 的总 能量是 E=203.44 电子 伏特 ， 所 以 有2E 2 E E1 E3 75.7电子伏特2.10 具有 磁矩 的原 子， 在横 向均 匀磁 场和 横向 非均 匀磁 场 中 运动 时有 什么 不同 ？答： 设 原 子的 磁矩 为 ， 磁 场沿 Z 方向 ， 则 原 子磁 矩在 磁场 方向 的分 量记 为 Z ， 于 是 B B具有 磁矩 的原 子在 磁场 中所 受的 力为 F Z ，
29、其 中 是磁 场沿 Z 方向 的梯 度 。 Z ZB对均 匀磁 场， 0 ， 原 子 在 磁场 中不 受力 ， 原 子磁 矩绕 磁场 方向 做拉 摩进 动， 且对 磁 场ZB的 取向 服从 空间 量子 化规 则。 对于 非均 磁场 ， 0 原子 在磁 场中 除做 上述 运动 外， 还Z受到 力的 作用 ，原 子射 束的 路径 要发 生偏 转。2.11 史特 恩- 盖拉 赫实 验中 ，处 于基 态的 窄银 原子 束通 过不 均匀 横向 磁场 ，磁 场的 梯度B为 103 特斯 拉/ 米， 磁极 纵向 范围 L =0.04 米( 见图 2-2)，从 磁极 到屏 距离 L =0.10 米 ，1 2Z
30、原子 的速 度 v 5 102 米/ 秒。 在屏 上两 束分 开的 距离 d 0.002 米。 试确 定原 子磁 矩在 磁场方 向上 投影 的大 小（ 设磁 场边 缘的 影响 可忽 略不 计） 。 解： 银原 子在 非均 匀磁 场中 受到 垂直 于入 射方 向的 磁场 力作 用。 其轨 道为 抛物 线； 在 L2 区 域 粒子 不受 力作 惯性 运动 。 经 磁 场区 域 L1 后向 外射 出时 粒子 的速 度为 v ， 出 射 方向 与入 射 方 向 间 的 夹 角 为 。 与 速 度间 的关 系为 ： tg v v粒子 经过 磁场 L1 出射 时偏 离入 射方 向的 距离 S 为：= 1
31、B L12S ( )2m Z v Z （ 1）将上 式中 用已 知量 表示 出来 变可 以求 出 Z Bfv at , a ,t L1 / vm m Z Z B L1 v m Z v Z B L1L2S L2tg v2m ZS d S d Z B L1L2v22 2 m Z把 S 代入 （ 1）式 中， 得：2d Z B L1L2 Z B L1v2 2m Z v22 m Z B L d整理 ，得 ： Z 1 (L 2L ) 1 22m Z v2 2由此 得： 0.93 10 23 焦耳 / 特Z2.12 观察 高真 空玻 璃管 中由 激发 原子 束所 发光 谱线 的强 度沿 原子 射线 束的
32、减弱 情况 ，可以 测定 各激 发态 的平 均寿 命。 若已 知原 子束 中原 子速 度 v 103 米/秒 ，在 沿粒 子束 方向 上相距 1.5 毫米 其共 振光 谱线 强度 减少到 1/3.32。 试 计算 这种 原子 在共 振激 发态 的平 均寿 命 。解： 设 沿 粒子 束上 某点 A 和距 这点 的距离 S=1.5 毫米 的 B 点， 共振 谱线 强度 分别 为I0 和 I 1 ，并 设粒 子束在 A 点的 时刻 为零 时刻 ，且 此时 处于 激发 态的 粒子 数为 N20 ，原 子束经过 t 时间 间隔从 A 到达 B 点，在 B 点处 于激 发态 的粒 子数 为 N2 。光谱
33、线的 强度 与处 于激 发态 的 原 子数 和单 位时 间内 的跃 迁 几 率成 正比 。 设 发 射共 振谱 线I 1 A21 N2 N2的跃 迁几 率为 A21 ，则 有 I 0 A21 N20 N20I适当 选取 单位 ，使 1 N2 1/ 3.32 ，I 0 N20并注 意到 N N e A21t , 而 t S / v，2 20N则有 ： 2 e A21t 1/ 3.32N20由此 求得 ：1 vA21 (ln 3.32 ln1) ln 3.32t s1.5 10 31 st vln 3.32 103 ln 3.32A21 1.25 10 6 秒第三章 量子力学初步3.1 波长 为
34、1 A的 X 光光 子的 动量 和能 量各 为多 少？解： 根据 德布 罗意 关系 式， 得：34动量 为： p h 6.63 10 6.63 10 24 千克 米 秒 110 10能量 为： E hv hc/ 6.63 10 34 3 108 /10 10 1.986 10 15 焦耳 。3.2 经过 10000 伏特 电势 差加 速的 电子 束的 德布 罗意 波长 ? 用上 述电 压加 速的 质 子束 的德 布罗 意波 长是 多少 ？解： 德布 罗意 波长 与加 速电 压 之 间有 如下 关系 ：对于 电子 ： m 9.1110 31 公斤， e 1.60 10 19 库仑 h/ 2meV
35、把上 述二 量及 h 的值 代入 波长 的表 示式 ，可 得：12.25 12.25 A A 0.1225 AV 10000对于 质子 ， m 1.67 10 27 公斤 ， e 1.60 10 19 库仑 ，代 入波 长的 表示 式， 得：346.626 10 2.862 103 A 2 1.67 1027 1.60 1019 1000012.25 3.3 电 子 被 加 速 后 的 速 度 很 大 ， 必 须 考 虑 相 对 论 修 正 。 因 而 原 来 A的电 子德V布罗 意波 长与 加速 电压 的关 系式 应改 为： 12.25 (1 0.489 10 6V) AV其中 V 是以 伏
36、特 为单 位的 电子 加速 电压 。试 证明 之。证明 ：德 布罗 意波 长： h/ p对高 速粒 子在 考虑 相对 论效 应时 ，其 动能 K 与其 动量 p 之间 有如 下关 系：K2 2Km c2 p2c20而被 电压 V 加速 的电 子的 动能 为： K eV2 p2 (eV) 2m eV0c2p 2m eV (eV) 2 / c20因此 有：h 1 h/ p 2m0eV eV1 2m c20一般 情况 下， 等式 右边 根式 中 eV / 2m c2 一项 的值 都是 很小 的。 所以 ，可 以将 上式 的0根式 作泰 勒展 开。 只取 前两 项， 得：h eV h (1 0.489
37、 106V) (1 ) 24m0c2m0eV 2m0eVm eV 12.25 A，其中 V 以伏 特为 单位 ，代 回原 式得 ：由于 上式 中 h / 2 0 V 12.25 (1 0.489 10 6V) AV由此 可见 ， 随 着 加速 电压 逐渐 升高 ， 电 子 的速 度增 大， 由 于相 对论 效应 引起 的德 布罗 意波 长 变短 。3.4 试证 明氢 原子 稳定 轨道 上 正 好能 容纳 下整 数个 电子 的 德 布罗 意波 波长 。 上 述 结果 不 但适 用于 圆轨 道， 同样 适用 于椭 圆轨 道， 试证 明之 。证明 ：轨 道量 子化 条件 是： pdq nh2对氢 原
38、子 圆轨 道来 说， pr 0, p mr所以 有： pd 2 mvr nh mvrS 2r n h n , n 1,2,3 mv所以 ,氢原 子稳 定轨 道上 正好 能容 纳下 整数 个电 子的 德布 罗意 波长 。椭 圆轨 道的 量子 化条 件 是：p d n hpr dr nr h其中 2pr m r , p mr ( prdr pd) nh, 其 中 n n nr ( p dr p d) (mrdr mr2 d)而 r mrdrdt mr2 d dt ( )dt dt mv2 dt mvdsds ds h hr ds n因此 ，椭 圆轨 道也 正好 包含 整数 个德 布罗 意波 波长
39、。3.5 带电 粒子 在威 耳孙 云室 （ 一 种径 迹探 测器 ） 中 的 轨迹 是一 串小 雾滴 ， 雾 滴 德线 度 约 为 1 微米 。当 观察 能量为 1000 电子 伏特 的电 子径 迹时 其动 量与 精典 力学 动量 的相 对偏 差不 小于 多少 ？解： 由题 知 ,电子 动能 K=1000 电子 伏特 ， x 10 6 米 ， 动量 相对 偏差 为 p/ p。h h根据 测不 准原 理， 有 px ，由 此得 ： p 2 2x经典 力学 的动 量为 ：p 2mK p h 3.09 10 5p 2x 2mK电子 横向 动量 的不 准确 量与 经典 力学 动量 之比 如此 之小 ，
40、 足 见 电子 的径 迹与 直线 不会 有明 显区别 。3.6 证明 自由 运动 的粒 子（ 势 能 V 0 ）的 能量 可以 有连 续的 值。 证明 ：自 由粒 子的 波函 数为 ： i ( p r Et ) Ae h（1）2自由 粒子 的哈 密顿 量是 ： H h 2 （ 2）2m自由 粒子 的能 量的 本征 方程 为： H E （3） i ( p rEt) 2把（ 1）式 和（ 2）式 代入 （3）式 ，得 ： h 2 Ae h E2m即： i (2 2 2 2 h 2 A( d d d pxx pyy p zzEt)e h E dx2 dy2 dz22m2p E2m2p E 2m自由
41、粒子 的动量 p 可以 取任 意连 续值 ，所 以它 的能量 E 也可 以有 任意 的连 续值 。3.7 粒子 位于 一维 对称 势场 中， 势场 形式 入图 3-1，即0 x L,V 0 x 0 , x L,V V 0（ 1）试 推 导粒 子在 E V0 情况 下其 总能量 E 满足 的关 系 式 。（ 2）试 利 用上 述关 系式 ，以 图解 法证 明， 粒子 的能 量只 能是 一些 不连 续的 值。 解： 为方 便起 见 ,将势 场划 分为 三个 区域 。2d ( x) 2（ 1） 定态 振幅 方程 为 (E V ) 0( x) ( x)dx2 h 2式中 是粒 子的 质量 。2d 2
42、区： 2 0其中 2 (V E )0dx2 h2波函 数处 处为 有限 的解 是： (x ) Aex , A是一任意常数 。12d 区： 2 0其中 2 E2dx 2 h2处处 有限 的解 是： 2 (x ) Bsin(x ), B,是任意常数。2d 2 区： 2 0其中 2 (V E )0dx2 h2处处 有限 的解 是： (x ) De x , D是任意常数。31 d1 1 d2 1 d3 , ctg (x ), ,有上 面可 以得 到：1 dx 2 dx 3 dx有连 续性 条件 ，得 ： ctg ctg ( L )解得 ： tg ( L) 21 2因此 得： L n 2tg1 ( /)
43、这 就 是总 能量 所满 足的 关系 式。（ 2） 有上 式可 得： n L tg( ) 2 2Ltg n 偶数，包括零 2Lctg n 奇数2L (L )ctg L2亦即L (L )tg L2令 L u ,L v，则 上面 两方 程变 为：uv utg （ 1）2uv utg （ 2）2另外 ，注 意到 u和 v还必 须满 足关 系： u2 v2 2V L2 / h2 （ 3）0所 以 方程 （ 1） 和 （2 ）要 分别 与方 程（ 3）联 立求 解。3.8 有 一 粒 子 ， 其 质 量 为 m ,在 一 个 三 维 势 箱 中 运 动 。 势 箱 的 长 、 宽 、 高 分 别 为a、 b、 c在势 箱外 ，势 能 V ；在 势箱 内， V 0 。式 计算 出粒 子可 能具 有的 能量 。 解： 势能 分布 情况 ，由 题意 知：Vx 0,0 x a; V y 0,0 y b; Vz 0,0 z c;Vx , x 0和 x aV y , y 0和 y b
