1、求解机械波的基本情况一例一横波沿绳子传播时的波动表达式为 ),410cos(5.xty式中各量的单位为 SI 单位。（1） 求此波的振幅、波速、频率和波长；（2） 求绳上各单元振动时的最大速度和最大加速度；（3） 求 处的质元在 t=1S 时的相位，它是原点处的质元在哪一时刻的相位？mx2.0这一位相所代表的运动状态在 t=1.25S 时刻到达哪一点？在 t=1.5S 时刻到达哪一点？（4） 分别图示 t=1,1.1,1.25 和 1.5S 各时刻的波形。解：（1）已知波动表达式为 ),410cos(5.xty与波动标准表达式 )2cos(xVtAy比较，可得到振幅 频率 ，波长 ，波速,05
2、.mZHm5.0/5.0Su（2）绳上各质元振动时的最大速度 ./57.1.0.52)(maxax SAdtyV最大加速度 2222ax2ax /3.49.4)( mt（3） 处质元的振动比原点处质元的振动落后时间.0.85Sut故 x=0.2m,t=1S 时质元的振动位相相当于原点处质元在 时的振动St92.08.10位相。设这一位相所代表运动状态在 时到达 点，在 时到达 点，St25.11xt5.22x则 .80).(2.0)(11 mtux。45.1522 （4） 以及 1.5S 各时刻的波形如图一所示。St25.1,求解原点的振动表达式和机械波的波动表达式一平面简谐波以波速 沿 x
3、轴负向传播， 时刻的波形如图一所示。Smu/50.St2求：原点的振动表达式以及此简谐波的波动表达式。解：由图可知， 因而,.2,.A./24;45.02SradTSuT设原点的振动表达式为： ),cos(0tAy由图可知，t=2S 时，y=0,由此可得dt,0)2cos(.30所以，原点的振动表达式为 ).2cos(5.ty简谐波的波动表达式为 .2)50.(2cos5.0)( xtuxtA求解振动表达式和波动表达式一例一沿 x 正方向传播的平面余弦波，已知 时的波形如图一所示，其频率为St31。ZH5.0（1） 写出原点 O 质元的振动表达式；（2） 写出该波的波动表达式；（3） 写出 A
4、 点处质元的振动表达式；（4） 求 A 点离原点的距离。解：（1）由波形图可知振幅A=10cm=0.1m,波长 波速 角频率,4.0mc ,/2.054.Smu/5.02Srad当 时，O 点的振动相位 即St3,32,30t10所以原点 O 质元的振动表达式为 ).3cos(.0ty（2）波动表达式为.3)2.0(cos1.0xtuAy（3） 时 A 点的振动相位 即St ,2A65312,0O所以 A 点处质元的振动表达式为 ).65cos(1.ty（4） 002xAO.30mxAA利用振动表达式求解波动表达式一平面简谐波以速度 沿直线传播。已知在传播路径上某点 A,如图一，的Smu/20
5、简谐振动的表达式为 .4cos3.ty（1） 以点 A 为坐标原点，写出波动表达式；（2） 以距离点 A 为 5m 处的点 B 为坐标原点，写出波动表达式；（3） 写出传播方向上点 C 和点 D 的简谐振动的表达式（各点间距见图） ；（4） 分别求出点 B 与点 C 间、点 C 与点 D 间的相位差。解： 由 A 点的简谐振动的表达式，可以得知 ,2ZH.102mu（1） 以 A 点为原点的波动表达式为).54cos(03.)2(403.)(cos xtxtuxtAy （2）由于波由左向右传播，故点 B 的相位比点 A 超前，其简谐振动的表达式为 ).(.)5(cos.)(tttBB故以点 B
6、 为原点的波动表达式为 ).4(03.)2(4cos03. xtxty（3）由于点 C 的相位比点 A 超前，故点 C 的振动的表达式为).5134cos(0. )201(cos.t tu而点 D 的相位落后于点 A，故点 D 的振动表达式为).594cos(03. )209(4cos03.t tuy（4）由于 BC 间的距离 6.1802BCBCx4.102CDCDx根据波形求解振动的表达式和波动表达式一列沿 x 正向传播的简谐波，在 和 时刻的波形如图一所示。01tSt25.试求：（1） P 点的振动表达式；（2） 波动表达式；（3） 画出 O 点的振动曲线。解：（1）由图可知， .16.
7、0,/6.025.1,6.0 SuTSmuP 点的振动表达式为).2cos(0tTAyP由于在 t=0 时， 故 或者（ ） ，于是,(,Ppodty230).2cs(.0tyP（2）在 t=0 时， O 点的振动位置 ，故初相位 ，于是，O 点)(,00dty20的振动表达式为 ).231cos(2.)2cos(.00txTty（3）O 点的振动曲线如图二所示。求解波的能量密度和声强大小一平面简谐波在空气中传播，波速 频率为 500 。到达人耳时，振幅,/340SmuZH试求人耳接收到声波的平均能量密度和声强的大小，声压幅为多大？此声强,104cmA相当于多少分贝？已知空气的密度为 ./29
8、.13kg解：声波的平均能量密度为 ./1037.621362mJ声强为 ./107.24107236 mWuAI 声压幅 .8amPP或者 .312I声强级 .493107.2logl100 dBILI 求解因干涉而静止的点的位置一媒质中有两个波源位于 A、 B 两点，如图一，其振幅相同，频率均为 100 ，相位ZH差为 。若 A、B 两点相距 30m，波在媒质中的传播速度为 400m/S,试求：A、 B 连线上因干涉而静止的各点的位置。解：取 AB 的中点为坐标原点，如图一。设波源 B 的初相为 ，则波源 A 的初相为BO。于是波源 A、B 所发出的波引起的 P 点的质元振动的相位分别为B
9、OA0)2(xltB.OBxlt)(其相位差为 .4AB由干涉的减弱条件，有 .2,10,)2(kx得到或者 2)1(kx.2kx.,10依据已知条件， 所以得到在 A、B 间因干涉而静止的点的位置为41mu（m ）,4,28,6,6,80,4x共 15 个静止点。运用干涉条件求解几个关系如图一所示，地面上的一波源 S 与一探测器 D 之间的距离为 d。在 D 处测得从 S 直接发出的波与从 S 出发又经高度为 H 的水平层 B 反射后的波的合成信号强度最大。当水平层逐渐升高 h 距离时，在 D 处测到的信号消失。设波在水平层的反射角等于入射角，不考虑大气的吸收，求波长 与 ，h，H 的关系。
10、解：由于在 B、C 处反射的情况相同，所以两次测量不会由于反射引起不同效果，故可设波在 B、C 处反射时都有半波损失。这样，在 B 点反射的波与直射波在 D 处加强的条件为 .2kSS.,10k即。dDH2)(2在 C 点反射的波与直射波在 D 处相消的条件为 .2)1(2kSS.,10k即 ,2)()2(2DHhH所以， .4)(4)()(22ddh求解驻波中反射波的表达式和合成波的表达式设入射波的表达式为 在 x=0 处发生反射，反射点为),(2cos1 xTtAy一固定端，求：（1） 反射波的表达式；（2） 合成波的表达式；（3） 波腹和波节的位置。解：（1）由于反射点为固定端，所以这点
11、必是波节。入射波和反射波在此点引起的振动是反相的，所以反射波的表达式应为 .)(2cos2 xTtAy（2）入射波和反射波相遇，叠加成驻波，其表达式为).2cos()2cos(2 )(cos21 TtxAxTtAxy（3）波腹的位置： ,n.),10(,2)(nx波节位置： ,2x.),(,x求解驻波的波腹和波速一弦上驻波的表达式为 式中各量单位为 SI 单位。,750cos1602.txy（1） 组成此驻波的各行波的波腹和波速为多少？（2） 节点间的距离为多大？（3） 时，位于 处的质点的速度为多少？St310.mx.解：（1）与驻波的标准式比较 tTxAy2cos2得到各行波的波腹、波长和
12、周期为 ,750,16,0 m所以波速 ./47502STu（2）波节的位置满足关系式： )21(6nx所以波节间的距离为 .016mx（3）质点的振动速度为 ,750sin16co)750sin(2.txtdtyV将 x=0.05m, 代入，得到St3102./4.10mV求解驻波中入射波和反射波以及合成波的特点在一根线密度 和张力 的弦线上，有一列沿 x 轴正方向传播的mkg/103NT10简谐横波，其频率为 ，振幅 已知弦线上离坐标原点 处的ZH5.4Am5.01质元在 t=0 时刻的位移为 ，且沿 y 轴方向运动。当波传播到 处的固定端时，2x2被全部反射。（1） 试写出入射波和反射波
13、的波动表达式；（2） 求入射波和反射波叠加的合成波在 区间内波腹和波节处各点的坐mx10标。解：（1）由题给数据，可得到 ./103SmTu波长为 .25在 处质元振动的初相为x.01.31设原点处的初相为 ，则0,2x65.32110 x所以，入射波的波动表达式为 mxtutAy 65)10(cos04.)(cos 因为在 处反射有半波损失，所以，反射波在 处的振动表达式为mx1022).610cos(4. 5(.2txy反射波的波动表达式为.61)0(1cos04 61)(10cos4. 2mxtuxty（2）因波节间的间距离为 ，而 处为波节，所以波节点的坐标为.2x102.1,0x波节
14、与波腹间的间距为 所以波节点的坐标为,5.04mx=0.5,1.59.5m.描写合成驻波两人各执长为 的绳的两端，以相同的角频率和振幅在绳上激起波动，右端的人的振l动比左端的人的振动相位超前 ，试以中点为坐标原点描写合成驻波。由于绳很长，不必0考虑反射，并设绳上的波速为 u.解：设左端的振动表达式为 ，则右端的振动表达式为tAycos1).cos(020tAy设右行波的波动表达式为 ,)(cs11uxty左行波的波动表达式为 o22A由题意，当 时， 即lx,cs10tyutA)2(cos故 .1L当 时，lx).cos(020tAy即 )(cos 02tult故 .02于是两波的波动表达式为
15、2)(cos1ulxtAy02合成波 ).2cos()2cos(0021 ultuxAy当 时， 处为波腹；当 时，x=0 处为波节。0x0求解驻波的有关参量一平面简谐波沿 x 轴正方向传播，在 t=0 时，原点 O 处质元的振动是经过平衡位置向负方向运动。在距离原点 O 为 处有一波密介质的反射面，波被垂直界面反射，410如图一。设入射波和反射波的振幅都为 A，频率都为 。试求：（1） 入射波和反射波的波动表达式；（2） 合成波的波动表达式；（3） 在原点到反射面间各个波节和波腹点的坐标；（4） 距反射面为 的 Q 点处质6元的合振动的表达式。解：（1）设入射波在原点 O 的振动表达式为 )
16、,2cos(00tAyi由于在 t=0 时，原点处质元的位移 ，可得到,0y)(dt.20因而 ).2cos(tAyi入射波的波动表达式为 .)(xti反射波在 O 点的振动是入射波传到反射面在传到 O 点的，所以反射波在 O 点的振动相位比入射波落后 ,12)(20左式中后一项 是考虑到波在波密媒质面上反射发生相位突变而加上反射波的波动表达式为 .2)(2cos23)(2cos xtAxtAyr（2）合成波（驻波）的波动表达式为 ).(tri（3）波腹点坐标满足的条件为 .2,10,nx即 .5,3波节点坐标满足的条件为 .2,10,)2(nx即 .41,.543x由上可知，原点 O 为波腹
17、，反射点为波节。（4）Q 点的坐标为 .126x因而， 点处质元的合振动的表达式为 .2sin3)2cos(6312tAtAyQ 求解潜艇的速度一固定的超声探测仪，在海水中发出一束频率 的超声波，被一向着探测ZH180仪驶来的潜艇反射回来。探测仪测得反射波和入射波的频率相差为 220 .求：Z该潜艇的速度。已知超声波在海水中的波速为 1500m/S.解：声源不动，潜艇向着声源运动，潜艇接收到的频率（潜艇相当于观察者），0uVr潜艇反射超声波，此时潜艇相当于声源，发射频率为 的超声波，声源在运动，而接收器不动，故探测仪接收到的频率为.)(0rrVu根据题意，得到 .2)(00rr代入数据，得到
18、./19SmVr求解波源的频率（1） 一波源振动频率为 2040 ，以速度 向波源接近，如图一，观测者在 A 点ZHSV所得的拍频为 ，设声速为 340m/S,求波源移动的速度 .3 SV（2） 如果（1）中的波源没有运动，而以一反射面代替墙壁，以速度向观测者 A 接近，ScmVr/0所得到的拍频为 ，ZH4求解波源的频率。解：（1）观测者从波源直接听到的声波频率为 .)(01SVu由墙壁反射的声波频率为 .)(02S观察者测得的拍频为以上两者之差，即 ,2012Su化简，可得 ,22VSS解方程，得到 ).1(200uS因为 所以,0 ./25.01.)(2100 SmuuVS （2）观测者
19、从波源直接听到的声波频率为 .01反射面接收到的声波频率（反射面相当于观察者，向着声源运动） .0uVr由于反射面在运动，此时反射面相当于声源，故观测者所测得的反射面反射的声波频率为 ,)()(02 rrVu拍频 ,2012r得到 ZrHVu39820运用多普勒效应求解飞机的飞行高度飞机在上空以速度 作水平飞行，发出频率 的声波。静止SmV/20 ZH20在地面上的观察者测定飞机发出的声波的频率。当飞机越过观察者上空时，观察者在 4S内测出的频率从 降为 。已知声波在空气中的速度ZH41Z1602。Smu/30试求：飞机的飞行高度 h. 解：设飞机在 4S 内从 A 点水平飞行到 B 点，飞行
20、高度为 h，M 为观察者，如图一所示。声源在 AM 方向的分速度，声波在 BM 方向的分速cosVAM度 。B由多普勒效应的公式,cos001 uVuAM解，得到 .275)(cos10又 ,cos002 VuuBM解，得到 .4125)(cos20由几何关系，得到 ),(ctghVtAB可以得到， mVtt 322 10.cos1cos1求解观察者听到的声音的频率一声源的频率为 ，若声源与观察者分别以 和 在声音的传播方向上作同方向的0SVr运动，则观察者听到声音的频率为多少？若空气在流动，风速为 ，且风速方向与 和WSV的方向也相同，试问：rV此时观察者听到声音的频率为多少？解：（1）声源
21、相对媒质与声波同向运动时，声音的波长变短。设 T 为声源的发声周期，此时声波波长 .TVuS观察者相对媒质与声波同向运动，声波相对观察者的传播速度 ru因此，观察者在单位时间内接收到的波的个数，即听到的声音的频率为 .01SrV（2）当空气在流动，即媒质也沿波的传播方向运动，波相对媒质的传播速度为 ，媒u质相对地面的速度为 。因此，波相对地面的传播速度为 。考虑到声源也作同向WVWVu运动，此时声音的波长为 .)(TuS声源相对观察者的传播速度为 .)(rWV此时，观察者在单位时间内接收到波的个数，即听到声音的频率为 .02rWu求解观测频率的极值如图一，音叉 P 沿着半径 的圆以角速度 作匀
22、速圆周运动。音叉发mr8srad/4出频率 的声波，声波的速度为 观测者 M 与圆周共面，与圆心ZH50 ./30SuO 的距离 d=2r。试问：当 角为多大时，观测到声波的频率为最高或者最低，并求其数值。解：当音叉位于中心角为 的位置时，声源在观测者方向上的分速度为 。根据多普cosV勒效应的公式，观测到声波的频率 与角 的关系为.sincos00ruVu（1）利用正弦定理以及余弦定理，把 表示成i的函数，由 cos2,sini 2drMPd可得到， .cos45incos2isi2rdr代入（1） ，得到.cos45in20ru为极值时满足 ,d代入，得到 ,0sin2co4s5或者 .5
23、2可以解得或者 2（舍去） ，1cos.60当 时，016 ZHru456sin,1sin1当 时，02 .i,i 2022 Z可见，当 时，观测到声波的最低频率 和最高频率 。064561ZH542运用多普勒效应求解声音的频率声波在空气中的传播速度为 ，在铜板中的传播速度为 。设频率为 的声波从静1u2u0止的波源 S 发出，如图一。经空气传播到以速度 向前运动的平行铜板，在铜板的正1V前方有一静止的接收者 R，求：（1） S 接收到的由铜板反射回的声波频率 ；1（2） B 接收到的透射声波的频率 .2解：（1）波源静止，以速度 V 运动的铜板的左侧接收到的声波频率为 .01uVS 接收到的运动铜板反射回的声波频率为 Vu1以 代入，得到.012Vu（2）R 处接收到的运动铜板向前方发射的声波频率为 1以 代入，得到.12声波在铜板中传播，虽然速度改变了，但频率不变。
