1、第三章 能带论,本章主要内容：,第一节 布洛赫定理、布洛赫波及能带,第二节 近自由电子近似,第三节 紧束缚近似,第四节 能带结构的其它计算方法,第五节 能带结构的图示和空晶格模型,第六节 能态密度,第七节 布洛赫电子运动的准经典模型,第八节 布洛赫电子在恒定电场中的准经典运动,第九节 布洛赫电子在恒定磁场中的准经典运动,第十节 金属的费米面和能带论的局限性,3.0. 序言,在第一章的自由电子气体模型的学习中,我们已知该模型对于理解金属尤其是一价金属的物理本质方面取得了巨大的成功.但是对于物质为什么会分为导体、绝缘体、半导体以及半金属等则根本无法解释,对于许多物理量所显示的各向异性的解释也显得无
2、能为力,根本原因是金属自由电子气体模型的过于简单.亦即,模型中的三条假设(近似)应该放弃。,(自由电子近似；独立电子近似；驰豫时间近似),比如,像过渡族金属如铁这样的有两层价电子结构:3d电子和4s电子.由于3d电子位于内层,因而,3d电子全部变成自由电子的假设就有问题.因而必须改进之,亦即把忽略的因素考虑进来要考虑电子和离子实之间的相互作用。,固体能带论就是基于晶体结构的平移对称性，考虑离子实势场对电子的影响而建立起来的一套理论。能带理论是一个固体量子理论，它是在用量子力学研究金属电导理论的过程中开始发展起来的，它为阐明许多晶体的物理特性提供了基础，成为固体电子理论的重要部分。,为了考虑离子
3、实系统对电子的作用，就要知道离子实在固体中的排列情况，因而，在对自由电子气体模型修正之前，我们首先学习了第二章晶体的结构，知道了晶体最大的特点就是具有周期性结构，满足平移对称性。,最早做这一项工作的人是布洛赫(Felix Bloch),1928年,也就是索末菲建立自由电子费米气体模型的同一年,年仅23岁的他对索末菲模型提出质疑：“我从来都不明白,即使是一种近似,像自由运动的事会是真的.毕竟一根充满密集离子的金属丝完全不同于真空管”。为了解开这个谜团,布洛赫注意到晶体中点阵排列的周期性,认为电子是在严格的周期性势场中运动的,由此提出了第一个计算能带的理论。,所以，固体能带论一般都要从布洛赫定理讲
4、起。它给出了严格的周期性势场中单电子薛定谔方程的本征解是周期性调幅的平面波，它既不被散射也不衰减，因而电子运动似乎无视理想的点阵。除非晶体存在杂质、缺陷或晶格振动等破坏周期势的因素，否则没有电阻产生。,为了了解固体中电子的状态,严格说来必须首先给出周期性结构中系统的哈密顿,然后,求解薛定谔方程即可.,假定晶体体积V=L3，含有N个带正电荷Ze的离子实，Z为单原子的价电子数目，因而，晶体中有NZ个价电子，简称为电子。N个离子实的位矢用Rn表示；NZ个价电子的位矢用ri 表示。则系统的哈密顿应包括组成固体的所有粒子的动能和这些粒子之间的相互作用势能，形式上可以写为:,式中：,表示电子和离子实之间的
5、相互作用势能.,表示NZ个价电子的动能和势能.,表示N个离子实的动能和势能.,下脚标中的i、j为电子序号、m、n为离子实序号.,求和号上的一撇表示求和时i j 或mn；1/2源于考虑了两次相互作用.,有了系统的哈密顿,则描写体系的薛定谔方程为:,其中， 代表 ， 代表,量子力学求解问题的一般方法即是如此,首先根据模型写出哈密顿,然后,求解薛定谔方程即可.,但是,上述问题是一个NZ+N的多体问题(需要用多体理论(many body theory),根本无法直接求解薛定谔方程, 为此人们对系统进行了绝热近似、单电子近似和周期场近似，把多种粒子体系简化为单电子在周期性势场中运动的问题。下面给出能带论
6、中上述三个基本近似的内容及其物理思想。,1.绝热近似,绝热近似是指在处理固体中电子的运动时，认为离子实固定在其瞬时位置上，只关注电子体系的运动。此时，离子实的动能项和离子实之间的库仑势可不考虑，从而多种粒子体系简化为多电子体系。绝热近似下多电子体系的哈密顿变为：,绝热近似成立的物理基础是基于晶体中电子和离子实的质量相差很大,离子实的质量比电子大上千倍,电子的速度远远大于离子实的速度.离子实只在它们的平衡位置附近振动.在讨论快速运动的电子时,认为电子能绝热于离子实运动,而离子实只能缓慢地跟上电子分布的变化,所以可认为离子实固定在其瞬时位置上.,当然，如果我们是处理晶格振动问题，则绝热近似可以忽略
7、电子的动能项和电子之间的库仑势。也就是说不考虑电子在空间的具体分布。,所以绝热近似实际上把整个问题简化为相对较简单的电子体系运动和离子实体系运动，也就是把电子的运动和离子实（原子核）的运动分开了.,这种绝热近似的设想最早是由玻恩(M.Born)和奥本海默(J.E.Oppenheimer)提出的，所以又称为玻恩奥本海默(Born-Oppenheimer)近似。,2.单电子近似(平均场近似),哈密顿中的 项,使电子的运动彼此关联，难于处理。为此，用一个平均场来代替 项。(认为每个电子的库仑势相等),为简单起见，取单原子的价电子数目Z=1。,则电子体系的哈密顿进一步简化为：,此式表明,晶体中总的 是
8、N个单电子的哈密顿之和,即N体问题简化为单体问题。,单电子势能:,所以,在绝热近似和平均场近似下,晶体中总的哈密顿变成N个单电子的哈密顿之和,从而把多电子问题简化为单电子问题,故又称为单电子近似。原则上，平均场可以由哈特里-福克(Hartree-Fock)方程组的自洽迭代解得到。所以又称为哈特里-福克近似，或自洽场近似。,3.周期场近似(periodic potential approximation),电子感受到的势场,包括离子实对电子的势场和电子之间的平均势场两部分,不管形式上如何,假定它具有和晶格同样的平移对称性，也就是说它是一个严格的周期性势场，这个假定称为周期场近似。,该近似使得单电
9、子薛定谔方程的本征函数取布洛赫波函数(Bloch wave function)的形式，并使得单电子能谱呈能带结构(energy band structure).所以，处理晶体中电子问题的量子力学理论又称为能带论。,其中V(r)为单电子势,总之，在绝热近似和平均场近似下固体电子系统已经满足单电子的薛定谔方程了。然后在周期场近似之下，不管周期性势场的具体函数形式如何，我们都可以通过对薛定谔方程的讨论得到关于电子本征态波函数和能量的普遍性的重要结论,本章重点：,1.能带论的基本模型、布洛赫定理、布洛赫波函数；,2. 近自由电子近似和紧束缚近似；,3.准经典模型的内容以及适用范围；,4.有效质量概念以及意义和计算；,5.导体、半导体和绝缘体的能带论解释；,6.费米面、能态密度、测量费米面的实验方法,
