1、1导数在高中物理教学中的应用广东省珠海市前山中学 熊志权 519070“应用数学处理物理问题的能力”是物理高考考试大纲中对考生的五种能力要求之一，它要求考生能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论，必要时能够运用函数进行表达和分析。导数作为高中数学中增加的内容已在新教材中出现了两年，而导数在高中物理中有广泛的运用，如高中物理中运用“微元法”就是千方百计绕过“导数”求解有关物理问题的典型例子。高中物理教学中导数的引入，使学生对一些物理知识有更加深刻的理解，下面以一些常见的问题为例进行分析说明.导数基本运算法则导数的定义: 如果 ,则()yfx0()()()l
2、imxfdfxyyf复合函数求导法则: 如果 ,则ggf两函数积的求导法则: 如果 ,则()yf()()yxgfx一.利用导数求速度和加速度速度和加速度分别代表位移对时间和速度对时间的变化率,瞬时速度和瞬时加速度可以表示为:0lim()tsdvt0lim()tvdat例 1:一个物体作直线运动,其位移对时间的变化规律为 ,试求物体运动的加速度265st和初速度各为多少?解:由瞬时速度和加速度的定义有: ()125dsvt初速度是指 t=0 时刻的速度,将 t=0 代入上式有: 0()5/)vms2()1)dvatms此题通常的求法是根据匀变速直线运动的位移公式 ,然后比较系数求出加201svt
3、a速度和初速度.但是如果物体不是作匀变速直线运动,这种方法显得苍白无力.请看例题 2.例 2.已知质量为 m 的物体在劲度为 k 的弹簧作用下水平方向作简谐运动,振子相对平衡位置2的位移与时间的关系如下图所示,求振动的速度和加速度.解:根据图像可知振动方程为 (其中 A 为振2sinxAtT幅),则速度和加速度分别为: 2(sin)2cosdAtxTv tt T从上式可知,如果位移按正弦规律变化,则速度按余弦规律变化,即速度最大时,位移为零,速度为零时位移最大,并且还能很好地看出速度的方向. 222(cos)()sin()dAtvTaAtxt TT从上式可知,速度是与位移成正比且反向.既然运算
4、到了这里,我们还可以利用上面结论推导出弹簧振子周期公式:由牛顿第二定律有: 22()()FmaxmxTT由简谐运动的定义有： , k由上面两式对比系数可知： ,其中 k 为弹簧的劲度.这就是弹簧振子的周期公式,2尽管教材上没有给出此公式,但是还是强调了弹簧振子的周期与质量 m 和弹簧的劲度 k 有关,而与振幅 A 无关. 二.利用导数求感应电动势感应电动势是表示磁通的变化率,它可以用数学表示为:,其中前一部分表示由面积发生改变而引起磁0()limtdBSdBEtttt通的变化产生的感应电动势,后一部分是由于磁感应强度的变化而引起磁通的改变产生的感应电动势.下面我们分 3 种情况来讨论:1.当面
5、积 S 不发生改变时, ,(有的书上称为感生电动势)dSBdEttt2.当磁感应强度 B 不变时, ,即导体在匀强磁场中切(SxlBvtttt割磁感线运动的情况(有的书上称为动生电动势).xT/2 T-AAt33.由于引起磁通的变化还有另外一个因素:磁感应强度 B 与面积 S 之间的夹角 ,而前面两种是面积与磁场方向垂直的情况，即 ,没有考虑线圈在匀强磁场中的转动,假设此时 B90和 S 均不发生改变,而只有 发生均匀变化,则有:,(sin)() coscosdBSdet Stt这正是正弦式交变电流的电动势的瞬时表达式,其中 为电动势的最大值,考虑有 NBS匝线圈在磁场里转动,则其最大值为 m
6、EN引起磁通发生变化的三种因素在考题里一般只会出现一种,这样使问题变得大大简化,我们可以根据不同的问题进行独立求解.但也不排除特殊,如 2003 年全国高考就出现了 B 和 S同时发生变化的考题:例 1.所示:两根平行金属导线固定在水平桌面上,每一根导轨每米长的电阻值为 ,导0.1/rm轨的端点 P、Q 用电阻可以忽略不计的导线相连,两导轨的距离 ,有随时间变化的匀强磁场垂直0.2lm于桌面,已知磁感应强度 B 与时间 t 的关系为 B=kt,比例系数为 k=0.02 ,一电阻不计的金属杆可以在1Ts导线上无摩擦地滑动,在滑动过程中保持与导轨垂直,在t=0 时刻,金属杆紧靠在 P、Q 端,在外
7、力作用下,杆以恒定的加速度从静开始向导轨和另一端滑动,求在 t=6.0 秒时金属杆所受到的安培力.解:要求出 6 秒时刻的安培力,即要求出 6 秒时的磁感应强度、电阻、速度、面积。而此题产生感应电动势有两个方面，一是导体在切割磁感线运动，另一个是由于磁场本身的变化引起的感应电动势。因此有： ()dBSdBElvSktttt设加速度为 a，则有:磁感应强度 速度 0.26.1()tT6vat面积 电阻 2180.36Stla 20.18Rat220.1.6.360.28BvklvBSklFIlRRa 即： 31.40()N（本题的统计难度为 0.077）三.利用导数求瞬间电流aPQ4电流的定义为
8、: ,在含电容器的电路中应用比较广泛.0limtQdt例 1.如图所示，将平行板电容器接在电源两端,现将两个极板匀速拉开的过程中，则:A.点有恒定的电流流过，方向向右B.点有恒定的电流流过，方向向左C.点有变化的电流流过，方向向右D.点没有电流流过解：根据已知条件可知： (其中 x 为两板之间的距4SCK离)可知,x 变大变小,电源使电容器下板带负电,根据定义式 可知，不变，将变QCU小，因此下板上的负电荷要不断流向电源，负电荷移动的方向是电流的反方向，可知有向右的电流流过点，那么流过电流是不是恒定的呢，可能很多同学都会认为，匀速拉开肯定产生的是恒定的电流。其实不然，下面是解答过程：我们把本题
9、的电容器的表达式简化为： ，其中 x 为两板之间的距离其中是一个与1Ck充入电介质和正对面积有关的常数。定义式为： ，平行板电容器拉开的速度可表示为：QU，其中为两板之间的距离 .dxvt现将上面几个公式代入电流的计算式有： 221()()() 11dkddQCUdxxi UkUkvtttttt显然。电流不是常数，而是随着距离的增大而急剧减小的，至于负号的出现，是说明了电容器板上的电荷是在变少的，而不是增多。故答案选 C.例 2.导轨宽度为 l,里面有磁感应强度为 B 的匀强磁场垂直穿过,质量为 m的导体棒,在重力作用下竖直向下运动,假设在下滑的过程中导体棒和导轨间保持良好接触,且不计一切摩擦
10、,电容器的电容为 C ,证明:导体棒在下降的过程中将作匀加速直线运动.解:要求加速度必求安培力，求安培力必求感应电流，则导体棒中的电流可表示为:7pvB5()()dQCUdBlvdi ClBlattttt物体加速度可表示为: ()QmglFBIlgladta m合则有: 2()lC所以: ,是一个不变的常数 .因此物体将作匀加速直线运动 .2gaBl四.利用导数对连接体进行速度的分解连接体之间往往存在位移关系,可以对位移求导求出速度之间关系,如:例 1.如图所示:现在防盗门窗有一种合页构件是由两个菱形构成.右边施加一个力可以使其左右收缩，两个菱型的边长之比为 2:1,其中 O、B、A、M、N、
11、P、Q 处为绞接点，在外力作用下,端点 A 以速度 向右运动时，B 点的和速度为多少?Av解:设 PO 长度为 2d,则 AN 长度为 d,PO 与水平方向的夹角为 ,则,在此题中 是变量,4cos2s6cosAxddB6sinAvdtdt4iBxtt两式相除有: 32Abv例 2.如图所示在光滑水平面上,有一边长为 a=0.1m,质量 M=4.5kg 的正方形木块,支持着一根长为 l=0.3m 的光滑轻杆,轻杆的 A 端固定着质量为 m=20.kg 的小球,另一端可绕 O 点无摩擦地自由转动,O 点离地的高度不计,在系统静止时杆与水平面的夹角 53 度,释放系统后,当系统运动时,且杆与水平面
12、的夹角为 30 度时,木块的速度是多少?分析:很明显本题得用动能定理或机械能守恒求解,重力势能的变化容易求得,关键求系统物体动能,可想到求 A 和 B 两个物体速度之间的关系.解:水平方向 B 物体运动的速度 ,BdxvtFOMPNABQBA6A 物体的转动的线速度为: 0.3Advlt水平方向位移和夹角的关系为 co.1txa两边对时间求导: (其中负号表示变化方向相反,x 是增加的,而角度是变小210.sindxtdt的)联立上面几式有: , 故:22.3si3sin001ABBvv34ABv（以下解答过程略，注：本题还可利用 求解）绝 相 牵例 3.如图:汽车通过滑轮提一个重物,已知车作
13、匀速直线运动,其速度大小为 VO,求重物的运动状态如何?分析:这一个题可以引申出很多题,但其中一条必经之路就是必求二者速度关系,我们通常利用速度的分解方法:速度 V0可以分解成一个沿着绳子方向的速度和一个绕滑轮转动方向的速度,即与绳子方向垂直的速度,其中绳子伸长方向的速度就是物体的速度.解: 因为两个速度可表示为: , ,0dxvtlt物其中两者有关系有: , 两个表达式对时间求导有:sinhlta(注由于是对时间求导 ,故还必须有0 2()cosisidxdvttt)t, 两式相除有:2()1tansihdl dvt物 0cosv物根据上式：由于 渐渐变小，故重物速度越来越大，但不是匀加速五
14、.利用导数解决其它中等物理问题1. 麦克斯韦电磁场理论问题:根据麦克斯韦电磁场理论有:变化的电场产生磁场,变化的磁场产生电场,但是变化的磁场(电场)产生的电场(磁场)是稳定的还是变化的?如果是变化的究竟如何变化,这一直困扰着高中物理教学.导数的引入,能帮助我们很好地认识这一点.为了研究问题的简单,我们不妨把电场用电流或电动势来表示,因为电场中存在电压,带电粒子在电场的作用下作定向运动而产生电流,这一假设无可厚非.由法拉第电磁感应可知:V0图 4Bm7,如果 B 不变,则没在电场,如果 B 均匀变化(即 B 与 t 成正比的情况),则产dSEt感生稳定的电场,如果磁场 B 成正弦规律变化,则产生
15、余弦变化的电场,反过来亦如此.因此电磁波要用谐波(正弦或余弦变化的波形)发射就是如此,(LC 振荡电路就是电磁波的发射器,它产生了正弦或余弦变化的电磁场),它能够反反复复地相互变化,传播到远方,而不用担心中间某一过程会出现这个问题:如果产生了稳定的电场或磁场怎么办?2.关于 LC 振荡电路问题:有一 LC 振荡电路，在发生电磁振荡时，电容两极间电压变化如图所示，在图示 t1到 t2时间内，电路中电流： A.逐渐减小；B.先增大后减小； C.逐渐增大；D.先减小后增大；解:由电流 ,可知,电流表示电压对时间的变化率,在 u-t 图中为曲线某()dQcudittt点切线的斜率, 在 t1到 t2 过程中,斜率越来越大,可知电流越来越大,然后又变得越来越小,故选 B.其中,斜率为负值表示电流反方向流.并且从图像上可知在 t1 和 t2时刻曲线的切线的斜率为零,即电压最大时电流为零,这个结论很难被学生接受,在这里显得一目了然. O t1 t2Ut
