1、3.2.5 综合问题【学情分析】：教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面已经运用向量解决了一些立体几何问题，本节课是进一步通过坐标与向量来解决立体几何的一些综合问题。由此我们可以继续讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系，展示向量方法与坐标方法相结合的优越性。【教学目标】：（1）知识与技能：进一步体会空间向量在解决立体几何问题中的广泛作用，再次熟悉立体几何中的向量方法“三步曲”；继续讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系，展示向量方法与坐标方法相结合的优越性；对立体几何中的三种方法（综合法、向量法、坐标法）的联系进行分析与小结（2）过程与方法：在解决问题
2、中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。【教学重点】：坐标法与向量法结合.【教学难点】：适当地建立空间直角坐标系及添加辅助线【课前准备】：Powerpoint 课件【教学过程设计】：教学环节 教学活动 设计意图一、复习引入教师引导学生结合前面的例题从整体上归纳解题过程，留给学生一定时间，使其通过思考能明确认识“三步曲”各阶段的主要任务，并能简明地叙述出来，为对本节后续内容的整体把握作准备坐标法。立体几何中的向量方法可以归纳为三步：( l ）把几何问题转化为向量问题；( 2 ）进行向量运算； 3 ）
3、由向量运算解释几何问题。有助于加强学生对解题通法的整体认识二、问题与探究一、问题探究问题 1 ：阅读课本上的例 4 ，请你找出其中的已知条件和求解问题这些求解问题能用向量方法解决吗？学生独立阅读并分析题意，教师引导学生认识到本题具有一定的综合性，需要证明直线与平面平行、垂直和计算二面角，而这些问题都可以利用向量解决问题 2 ：从例 4 的已知条件和求解问题看，你认为应怎样把问题向量化？如果建立坐标系，应怎样建立？教师引导学生关注己知条件中有“三条线段两两垂直且彼此相等”这一条件，使学生由此联想到选择这些线段所在直线为坐标轴、以线段长（正方形边长）为单位长度建立空间直角坐标系，并意识到这是适合本
4、题的坐标化方法教师要求学生写出点 P , A ， , D , E 的坐标并进一步写出 等的坐标BPA,问题 3 ：考虑例 4 ( 1 ) ，要证平面，应如何入手？教师从“平面” 出发，启发学生考虑直线与平面平行的判定条件，引导学生通过讨论发现 PA 与有平行关系，从而自然地想到写出 的坐标，并由 k 证出 ，进而证出 平面。问题 4 ：考虑例 4 ( 2 ) ，要证平面，应如何人手？通过阅读题目，使学生明确题中所给出的条件和求解的问题，从需要完成的任务理出本题可以用向最解决的大体思路初步建立已知条件与求解内容两者间的联系，使学生意识到通过把向量坐标化解决问题，培养他们结合题中条件建立适当坐标系
5、的能力找出这条直线的过程可以锻炼直觉观察能力；证明两线平行可以巩固对直线的方向向量、共线向量等概念的理解找出这两条直线的过程可以锻炼分析已知条件以及看图能力；教师从“平面出发”，启发学生考虑直线与平而垂直的判定条件，让学生讨论：应证明 PB 与哪些线段垂直，用向量方法怎样证？在讨论的基础上，由学生自己写出主要证明过程，即（已知） ， ， 平面问题 5 ：考虑例 4( 3 ) ，求二面角的大小，应如何人手？教师从“计算二面角 C 一 PB 一 D 的大小” 出发，启发学生如何找出相应的平面角，让学生讨论：哪个角是二面角 C 一 PB 一 D 的平面角，用向量方法怎样计算它的大小？教师引导学生考虑
6、：点 F 的坐标对计算是否垂要？怎样利用题中条件确定点 F 的坐标？让学生通过讨论写出确定点 F 坐标的过程，再进一步考虑并表达通过 cos EFD 计算EF 的过程问题 6 ：考虑例 4 后的思考题 学生结合刚讨论过的例题，对思考题进行思考和讨沦，教师适当点拨引导注意不要就题论题，而要透过例题看到解题中的基本想法二、问题解答解：如课本图所示建立空间直角坐标系，点 D 为坐标原点，设 DC=1(1)证明：连结 AC,AC 交 BD 于点 G,连结 EG(1,0)(,1)(,2APE依 题 意 得 )021,(，的 坐 标 为故 点 是 此 正 方 形 的 中 心 ，所 以 点 是 正 方 形
7、，因 为 底 面GBCD证明直线间的垂直关系的过程可以巩固对两非零向量的 “数量积为 0 ”的几何意义的认识。计算二面角的大小，首先要找出其平面角，转而计算平面角的大小计算角的大小时，向量是非常有力的工具解决这个问题可以巩固对运用向量方法求角度的掌握思考题 1 可以使学生进一步体会向量方法中坐标化对简化计算所起的作用思考题 2 可以加强不同方法之间的联系),01(EPA且 EGPA/2， 即所 以 EDBPADB平 面且平 面而 ,平 面所 以 ， /CADBOE)1,(),01(2PB） 证 明 ： 依 题 意 得（ 02),210(DEDE故又 PB所 以 ,F且由 已 知 平 面所 以
8、的 平 面 角 。是 二 面 角故 ） 可 知由 （） 解 ： 已 知（ DPBCEDFEF,2,3 )1,(),(zyxzyxF则的 坐 标 为设 点 kP因 为 (,1),xyz所 以即 0DFB因 为 13),(),kk所 以所 以)6,3(FE所 以 213636),1(),1(cosFD因 为 .60,0 的 大 小 为即 二 面 角所 以 PBCEF三、小结立体几何中的不同方法教师引导学生进行归纳，了解各种方法的特点及联系，认识到应根据问题的条件选择合适的方法，而不是生搬硬套加深对不同方法（综合法、向量法、坐标法）的特点和联系的认识三、拓展与提高1，练习题 3 。（解略） 2，如图
9、，四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点，2BDCA（I）求证： 平面 BCD；学生进行提高训练应用.2，的 坐 标 为点 )21,0(的 坐 标 为又 点 E（II）求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值；（III）求点 E 到平面 ACD 的距离。解：（I）略（II）以 O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则 (1,0)(,0)BD13,3,),(1,0)(1,30).2CAEBACD.cos, ,4CB异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为 2（III）设平面 ACD 的法向量为 则(,)nxyz.(,).1,0)3,nADxyzC,30.yz令 得 是平面 A
10、CD 的一个法向量，又1,(,13)n(,0),2EC点 E 到平面 ACD 的距离.321.7ECnh四、小结 解决立体几何问题的三种方法：1， 综合方法；2， 向量方法；3， 坐标方法。反思归纳五、作业 习题 3. A 组 9、10、 12 题；选作 B 组 2 , 3 题练习与测试：（基础题）x CABODyzE1，过正方形 的顶点 ，引 平面 ，若 ，ABCDPABCDPAB则平面 和平面 所成的二面角的大小是（ ）PAB CD3045609答：B2，设 P 是 的 二 面 角 内 一 点 ， AB 为 垂 足 ， 则 AB 的 长6l,PA平 面 平 面 4,2,P为 （ ）A B
11、C D 32527答：C3，如下图，已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB、 AC， M、 N 分别是对边 OA、 BC 的中点，点 G 在线段MN 上，且分 MN 所成的定比为 2，现用基向量 、 、 表示向量 ，设 =x +y +z，则 x、 y、 z 的值分别为A.x= ,y= ,z=B.x= ,y= ,z=C.x= ,y= ,z=D.x= ,y= ,z=解析： = , = ,= ( + )= + ,= = + ,= = + + ,= + = + + .答案：DD1 C1B1CDBAA1E F4.在正方体 ABCDA1B1C1D1中，棱长为 a， M、 N 分别为 A1B 和 AC
12、上的点， A1M=AN= a，则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是A.相交 B.平行C.垂直 D.不能确定解析：因为正方体的棱长为 a,故面对角线 A1B=AC= a.而 A1M=AN= a，所以 M、 N 分别是 A1B 和 AC 上的三等分点.在 B1B、 BC 上各取点 E、 F，使得 B1E=BF= a.则 = + + .但 = = = ( )= ，= = = ( )= ， + = + = + =0， = ，即 MN EF， MN平面 BB1C1C.答案：B（中等题）5，如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,已知 AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F 分别
13、是线段 AB、BC 上的点，且 EB= FB=1， .求直线 EC1 与 FD1 所成的余弦值.解：以 分别为 轴建立坐标系，则 E（3，3，0） 、,DA,xyzC1（0，4，2） 、D1（0，0，2） 、F （2，4，0）.从而 （3，1，2） 、 C1F（2，4，2）所以直线 EC1 与 FD1 所成的余弦值为 1,cosFDE|11FDEC426，在直三棱柱 中，底面是等腰直角三角形， ，1CBA 90ACB侧棱 ， 分别是 ，与 的中点，点 在平面 上的射21AED, 1ED影是 的重心 ， （1）求 与平面 所成角的正弦值；（2）求点BGABD到平面 的距离1解：建立如图的空间直角
14、坐标系，设 ，1(,0)a则 ， ， ， ，1(0,)Ba(,02)A,B2C 分别是 ，与 的中点， ED1C ， 是 的重心，(,)(,)2GAD， ， ，53aG2,)63a(,0)Ba， 平面 ，(0,1)ADE,EGAD得 ，且 与平面 所成角 ， ，2aB1AD6|3， ，13E2sin3EGB（2） 是 的中点， 到平面 的距离等于 到平面 的距离的两倍，BA11AEABD 平面 ， 到平面 的距离等于 GD1 26|3G小结：根据线段 和平面 的关系，求点 到平面 的距离可转化为求 到平面 的1B1 EABD距离的两倍（难题）7，如图,在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C
15、1D1中， E、 F 分别是 D1D、 BD 的中点， G 在棱 CD 上，且CG= CD， H 为 C1G 的中点，应用空间向量的运算方法解决下列问题.(1)求证： EF B1C；(2)求 EF 与 C1G 所成的角的余弦；(3)求 FH 的长.z GEDC1B1A1CBA xy分析：本题主要利用空间向量的基础知识，证明异面直线垂直，求异面直线所成的角及线段的长度.解：如图建立空间直角坐标系 O xyz,D 为坐标原点 O，依据已知有 E(0，0， )， F( ， ，0)，C(0，1，0)， C1(0，1，1)， B1(1，1，1)， G(0， ，0) (1)证明： =( ， ，0)(0，0
16、， )=( ， ， )，=(0，1，0)(1，1，1)=(1，0，1)， 由 = (1)+ 0+( )(1)=0， 得 ， EF B1C. (2)解： =(0， ，0)(0，1，1)=(0， ，1)，| |= = ， 由(1)得| |= = ， 且 = 0+ ( )+( )(1)= ，cos , = = . (3)解： H 是 C1G 的中点, H( , , ),即(0, , ).又 F( ， ，0), FH=| |= = .8，已知正四棱柱 , 点 为 的中点，点 为 的中点，1ABCD1,2,ABE1CF1BD（1）证明: 为异面直线 的公垂线；EF1BDC与（2）求点 到平面 的距离1解：（1）以 分别为 轴建立坐标系， 1,A,xyz则 ， ， ， ，(,0)B1(2)D(0)E1(,)2F， ， ，,2EF,C1BD ，11, 为异面直线 的公垂线B与（2）设 是平面 的法向量， ，(,)nxyDE(1,0)B(,1)DE ， ， ，10D0nxyn点 到平面 的距离1B1|23BdF E1111D CBAD CBA
