1、四色问题一、 四色问题的概念“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用 1，2，3，4 这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。 ”（这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。 ）二、 四色问题的发现四 色 问 题 又 称 四 色 猜 想 ， 是 世 界 近 代 三 大 数 学 难 题 之 一 。（ 世 界 近 代 另 外 两 大 大 数 学 难 题 ：费 马 最 后 定 理 ： 当
2、整 数 n 2 时 ， 关 于 x, y, z 的 不 定 方 程 nnzyx， 无 正 整 数 解 。哥 德 巴 赫 猜 想 ： 任 一 大 于 2 的 整 数 都 可 写 成 三 个 质 数 之 和 。 ）四 色 猜 想 的 提 出 来 自 英 国 。 1852 年 ， 毕 业 于 伦 敦 大 学 的 弗 南 西 斯 格思 里 来 到 一 家 科 研 单 位 搞 地 图 着 色 工 作 时 ， 发 现 了 一 种 有 趣 的 现 象 ： “看来 ， 每 幅 地 图 都 可 以 用 四 种 颜 色 着 色 ， 使 得 有 共 同 边 界 的 国 家 都 被 着 上 不 同的 颜 色 。 ”这
3、 个 现 象 能 不 能 从 数 学 上 加 以 严 格 证 明 呢 ？ 他 和 在 大 学 读 书 的 弟弟 格 里 斯 决 心 试 一 试 。 兄 弟 二 人 为 证 明 这 一 问 题 而 使 用 的 稿 纸 已 经 堆 了 一 大叠 ， 可 是 研 究 工 作 没 有 进 展 。 弟弟格里斯只好就此请教他的老师、著名数学家德摩尔根（A，Demorgan，18061871）。摩尔根也没能证明此题，于是写信向他的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。哈密尔顿随即也试图对该问题进行论证。但是直到十多年之后的 1865 年，哈密尔顿去世的时候，他也没有能证明此题。从 此 ， 这 个 问 题 在 一
4、 些 人 中 间 传 来 传 去 ， 当 时 ， 三 等 分 角 和 化 圆为 方 问 题 已 在 社 会 上 “臭 名 昭 著 ”， 而 “四 色 瘟 疫 ”又 悄 悄 地 传 播 开 来 了 。 三、 四 色 问 题 的 提 出1872 年 ， 英 国 当 时 最 著 名 的 数 学 家 凯 利 正 式 向 伦 敦 数 学 学 会 提 出 了 这个 问 题 ， 于 是 四 色 猜 想 成 了 世 界 数 学 界 关 注 的 问 题 。 世 界 上 许 多 一 流 的 数 学家 都 纷 纷 参 加 了 四 色 猜 想 的 大 会 战 。 （ 凯 利 一 生 仅 出 版 一 本 专 著 ， 便
5、 是1876 年 的 椭 圆 函 数 初 论 ， 但 发 表 了 近 1000 篇 论 文 ， 其 中 一 些 影 响 极 为深 远 。 凯 利 在 劝 说 剑 桥 大 学 接 受 女 学 生 中 起 了 很 大 作 用 。 他 在 生 前 得 到 了 他所 处 时 代 一 位 科 学 家 可 能 得 到 的 几 乎 所 有 重 要 荣 誉 。 ）四、 四色问题的证明-一波三折在 1878 年至 1880 年的两年之间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家从此以为四色猜想终获解决。但是，时隔十一年之后，即 1890 年，在牛津大学就读的年仅 29
6、岁的数学家赫伍德以自己的精确计算，指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被否定了。人们发现肯普和泰勒实际上是证明了一个较弱的命题五色定理。就是说对地图着色，用五种颜色就够了。后来，许多涉足此题的数学家全都一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似简单的猜想，其实是一个堪与费马猜想相媲美的难题。入 20 世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913 年，美国著名数学家、哈佛大学的伯克霍夫在肯普的基础上，结合自己创新的技巧，证明了某些大的构形可约。美国数学家富兰克林于 1939 年证明了 22 国以下的地图都可以用四色着色。1950 年，有人从 22 国推进到 35
7、国。1960 年，有人又证明了 39 国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了 50 国。不过看来这种进展确实十分缓慢。 随着电子计算机演算速度的迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了证明四色猜想的进程。1976 年，在 J. Koch 的算法支持下，美国伊利诺斯大学的哈肯(Wolfgang Haken)在 1970 年着手改进“放电过程”，后与阿佩尔(Kenneth Appel)合作编制了一个很好的程序。他们于 1976 年 6 月在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了 1200 个小时，作了 100 亿判断，终于完成了四色定理的证明。五、 四色问题的后续四色猜想的计算机
8、证明，轰动了世界。它不仅解决了一个历时 100 多年的难题，而且有可能成为数学史上，采用计算机证明数学定理的奠基之作。这是一百多年来吸引许多数学家与数学爱好者的大事，当两位数学家将他们的研究成果发表的时候，当地的邮局在当天发出的所有邮件上都加盖了“四色足够”的特制邮戳，以庆祝这一难题获得解决。一个多世纪以来，在“四色猜想”的研究证明过程中，不少新的数学理论随之产生，也发展了很多数学计算技巧。如将地图的着色问题化为图论问题，丰富了图论的内容，所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。不仅如此，“四色猜想”在有效地设计航空班机日程表，设计计算机的编码程序上都起到了推动作用。地图四色猜想是第
9、一个主要由计算机完成证明的数学难题。尽管这一证明，由于不能由人工直接验证，而且也缺乏数学通常的解题规范，目前尚未被所有的数学家接受。人们并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有可能存在一种更加简捷明快的书面证明方法。所以直到现在，仍然有不少的数学家和众多数学爱好者都在寻找更简洁的证明方法。六 、 四 色 问 题 之 小 插 曲接 下 去 的 戏 就 得 由 闵 可 夫 斯 基 来 演 了 。令 闵 可 夫 斯 基 尴 尬 的 一 堂 课闵 可 夫 斯 基19 世 纪 末 ， 德 国 有 位 天 才 的 数 学 教 授 叫 闵 可 夫 斯 基 ， 他 曾 是 爱 因 斯 坦 的老 师 。 爱
10、因 斯 坦 因 为 经 常 不 去 听 课 ， 便 被 他 骂 作 “懒 虫 ”。 万 万 没 想 到 ，就 是 这 个 “懒 虫 ”后 来 创 立 了 著 名 的 狭 义 相 对 论 和 广 义 相 对 论 。 闵 可 夫 斯 基受 到 很 大 震 动 ， 他 把 相 对 论 中 的 时 间 和 空 间 统 一 成 “四 维 时 空 ”， 这 是 近代 物 理 发 展 史 上 的 关 键 一 步 。 在 闵 可 夫 斯 基 的 一 生 中 ， 把 爱 因 斯 坦 骂 作 “懒 虫 ”恐 怕 还 算 不 上 是 最尴 尬 的 事 一 天 ， 闵 可 夫 斯 基 刚 走 进 教 室 ， 一 名
11、学 生 就 递 给 他 一 张 纸 条 ，上 面 写 着 ： “如 果 把 地 图 上 有 共 同 边 界 的 国 家 涂 成 不 同 颜 色 ， 那 么 只 需 要 四种 颜 色 就 足 够 了 ， 您 能 解 释 其 中 的 道 理 吗 ？ ” 闵 可 夫 斯 基 微 微 一 笑 ， 对 学 生 们 说 ： “这 个 问 题 叫 四 色 问 题 ， 是 一 个著 名 的 数 学 难 题 。 其 实 ， 它 之 所 以 一 直 没 有 得 到 解 决 ， 仅 仅 是 由 于 没 有 第 一流 的 数 学 家 来 解 决 它 。 ” 为 证 明 纸 条 上 写 的 不 是 一 道 大 餐 ，
12、只 是 小 菜 一 碟 ，闵 可 夫 斯 基 决 定 当 堂 掌 勺 ， 问 题 就 会 变 成 定 理 下 课 铃 响 了 ， 可 “菜 ”还 是 生 的 。 一 连 好 几 天 ， 他 都 挂 了 黑 板 。 后 来 有一 天 ， 闵 可 夫 斯 基 走 进 教 室 时 ， 忽 然 雷 声 大 作 ， 他 借 此 自 嘲 道 ： “哎 ， 上帝 在 责 备 我 狂 妄 自 大 呢 ， 我 解 决 不 了 这 个 问 题 。 ”他 虽 然 没 有 成 功 ， 可 自 认 第 一 流 倒 也 并 非 自 不 量 力 。 要 知 道 ， 19 世 纪 末20 世 纪 初 ， 德 国 格 丁 根 大 学 能 成 为 世 界 数 学 中 心 ， 就 是 由 于 他 和 希 尔 伯 特 、克 莱 因 “三 巨 头 ”的 努 力 。 四 色 瘟 疫 在 英 国 蔓 延 时 ， 还 真 没 有 一 个 研 究 过 它的 数 学 家 比 得 上 闵 可 夫 斯 基 。
